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课堂导学（变化率及导数的概念）
【知识点】
1.瞬时速度的概念：物体在 的速度称为瞬时速度.
2.平均变化率的概念：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到 . 这时，的变化量为，的变化量为 ，把比值，即 叫做函数从到的平均变化率.
3.瞬时变化率（导数的物理意义）的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个 的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的 （也称为瞬时变化率），记作 或，即.
4.导数的几何意义：函数在处的导数 就是在点的斜率，即.这就是导数的几何意义.
【典例】
例1.（课本P59改编）全红婵在一次跳水中，身体重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，记为，请回答以下问题：
（1）全红婵参加的项目是（ ）
A.女子三米跳板 B.女子十米跳台 C.男子三米跳板 D.男子十米跳台
（2）当 时，全红婵达到最高，最高时 ；
（3）计算全红婵从起跳到达到最高点的这个时段的平均速度为 ；
（4）计算当，全红婵的平均速度 ；
（5）当时，
①在之前或之后任意取一个时刻（且）
计算与之间的平均速度 ；
②当无限趋近与0是，无限趋近于定值 ，即为全红婵在时的瞬时速度.
例2.已知函数，回答以下问题
（1）当时候，函数的平均变化率为 ；
（2）当时候，函数的平均变化率为 ；
（3）当时，函数的瞬时变化率为 .
例3.（割线斜率与切线斜率）已知函数，回答以下问题
（1）函数在与（且）两点间的割线斜率为 ；
（2）当无限趋近与0是，割线斜率无限趋近于定值 ，即为在时的切线斜率；
（3）当时，函数的切线斜率为 .
例4.已知函数，求在处的切线方程.
【作业】
一、选择题
1. 函数，当自变量由变化到时，函数的变化率
（A） （B）
（C） （D）
2.若函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为( )
A.-5 B.-3 C.3 D.5
3.曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
4. 在曲线y＝x2＋1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1＋Δx，2＋Δy），则为（　　）
A. Δx＋＋2　　　　 B. Δx－－2
C. Δx＋2 D. 2＋Δx－
5.（多选题）若当时，，则下列结论中正确的是( )
A.当时，
B.当时，
C.曲线上点处的切线斜率为-1
D.曲线上点处的切线斜率为-2
二、填空题
6. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示。在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，其三者的大小关系是________。
三、解答题
7.若一物体运动方程如下（位移：m，时间：s）：
求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；
（2）物体在t＝1时的瞬时速度；
（3）物体的初速度v0。
8.求函数y＝3x2在x＝1处的切线方程课堂导学
（5.1变化率问题、导数的概念及其几何意义）
【知识点】
1.瞬时速度的概念：物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.
2.平均变化率的概念：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到 . 这时，的变化量为，的变化量为 ，把比值，即 叫做函数从到的平均变化率.
3.瞬时变化率（导数的物理意义）的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个 确定 的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的 导数 （也称为瞬时变化率），记作
或，即.
4.导数的几何意义：函数在处的导数 就是在点的斜率，即.这就是导数的几何意义.
【典例】
例1.（课本P59改编）全红婵在一次跳水中，身体重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，记为，请回答以下问题：
（1）全红婵参加的项目是（ B ）
A.女子三米跳板 B.女子十米跳台 C.男子三米跳板 D.男子十米跳台
（2）当 时，全红婵达到最高，最高时 ；
（3）计算全红婵从起跳到达到最高点的这个时段的平均速度为 ；
（4）计算当，全红婵的平均速度 ；
（5）当时，
①在之前或之后任意取一个时刻（且）
计算与之间的平均速度 ；
②当无限趋近于0时，无限趋近于定值 ，即为全红婵在时的瞬时速度.
解：（1）当时，，所以身体重心离水面11米，是十米跳台；
（2）抛物线的对称轴公式时，；
（3）即当时，（米/秒）
（4）当时，；
（5）①
②当无限趋近于0时，无限趋近于定值，即为全红婵在时的瞬时速度.
总结：平均速度与瞬时速度的区别与联系
1.区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关；
2.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
例2.已知函数，回答以下问题
（1）当时候，函数的平均变化率为 ；
（2）当时候，函数的平均变化率为 ；
（3）当时，函数的瞬时变化率为 .
解：（1）；
（2）；
（3）先算
再取极限，当时，
导数的定义：对于函数，记，
若当无限趋近于0时，无限趋向于一个确定的值，则记这个值为，即.
例3.（割线斜率与切线斜率）已知函数，回答以下问题
（1）函数在与（且）两点间的割线斜率为 ；
（2）当无限趋近与0是，割线斜率无限趋近于定值 ，即为在时的切线斜率；
（3）当时，函数的切线斜率为 .
例4.已知函数，求在处的切线方程.
【作业】
三、练习检测
1. 函数，当自变量由变化到时，函数的变化率（ D）
（A） （B）
（C） （D）
2.若函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为( C )
A.-5 B.-3 C.3 D.5
2.答案：C
解析：由题意，得，即，解得.
3.曲线在点处的切线方程为( C )
A. B.
C. D.
3.答案：C
解析：因为，则曲线在点处的切线斜率，则切线方程为，即为.
4. 在曲线y＝x2＋1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1＋Δx，2＋Δy），则为（　C　）
A. Δx＋＋2　　　　 B. Δx－－2
C. Δx＋2 D. 2＋Δx－
4.【答案】C
【解析】∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝（1＋Δx）2＋1－2＝2Δx＋（Δx）2，∴＝2＋Δx。
5.（多选）若当时，，则下列结论中正确的是( AD )
A.当时，
B.当时，
C.曲线上点处的切线斜率为-1
D.曲线上点处的切线斜率为-2
5.答案：AD
解析：由题意，得曲线上点处的切线斜率为-2，故C错误，D正确；当时，，则当时，，故A正确，B错误.故选AD.
6. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示。在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，其三者的大小关系是________。
6.【答案】3>2>1
【解析】∵，，
由图象可知：kMA2>1。
3、解答题
7.若一物体运动方程如下（位移：m，时间：s）：
求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；
（2）物体在t＝1时的瞬时速度；
（3）物体的初速度v0。
【思路分析】（1）求，注意解析式的选择。
（2）先求，再求瞬时速度s′（1）。
（3）初速度v0为t＝0时的瞬时速度s′（0）。
【解析】（1）∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
∴物体在t∈[3，5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48，
∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为
＝＝24（m/s）。
（2）物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率。
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
s′（1）＝ ＝ （3Δt－12）＝－12（m/s），
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s。
（3）求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度。
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
，
∴物体在t＝0处的瞬时速度为
s′（0）＝ ＝ （3Δt－18）＝－18 （m/s），
即物体的初速度为－18 m/s。
8.求函数y＝3x2在x＝1处的切线方程.
【思路分析】求函数f（x）在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′（x0）。
【解析】 ∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝3（1＋Δx）2－3＝6Δx＋3（Δx）2，
∴＝6＋3Δx，
∴f′（1）＝＝（6＋3Δx）＝6。
所以y＝3x2在x＝1处的切线的斜率，
且当x＝1时，，即切点为，
由直线方程的点斜式得，切线方程为，即.

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