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绝对值
【知识梳理】
一、绝对值：
（1）绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。
（注意：正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数）
（2）|a|具有非负性，即|a|≥0。（注意：|a|·|b|=|a·b|）
二、有理数比大小：
（1）正数＞0＞负数；
（2）正数的绝对值越大，这个数越大；
（3）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（5）大数-小数 ＞ 0，小数-大数＜ 0.
【课堂练习】
选择题
1.下列各式中不成立的是．
A. B. C. D.
2.已知四个有理数在数轴上的对应点，，，的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是( )
A. 点表示的数 B. 点表示的数 C. 点表示的数 D. 点表示的数
3.下列说法正确的是( )
A. 一个数的前面添上一个“”，一定是负数
B. 有理数的绝对值一定是正数
C. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等
D. 如果一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数
4.当时，则一定是( )
A. 负数 B. 正数 C. 负数或 D.
5.有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.，两数在数轴上位置如图所示，，，，用“”连接，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，数轴上个点表示的数分别为、、、若，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，从，，，中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“绝差操作”例如：为一次“绝差操作”，为“绝差操作”的一种运算结果．下列说法中正确的个数是 ( )
存在“绝差操作”的两种运算结果的和为；
存在“绝差操作”的两种运算结果的差为；
所有的“绝差操作”共有种不同的运算结果．
A. B. C. D.
二、填空题
9.绝对值不大于的整数共有 个
10.粗心的小马在画数轴时只标了单位长度一格表示单位长度为和正方向，而忘了标上原点如图所示，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是 ．
11.若，，，则，，的大小关系是________用“”连接．
12.代数式的最小值是___．
13.正整数小于，并且满足等式，其中表示不超过的最大整数，例如：，这样的正整数有_________个．
三、解答题
14.一辆货车从货场出发，向东走了到达批发部，继续向东走到达商场，又向西走了到达超市，最后回到货场．
规定向东为正方向，以货场为原点，取为单位长度，画出数轴并在数轴上标明货场，批发部，商场，超市的位置．
超市到货场有多远
求各次路程的绝对值的和，并说明这个数据的实际意义．
15.若、、，比较、、的大小．
16.同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
数轴上表示与两点之间的距离是______
数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为______．
同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______．
由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【课后巩固】
1.下列比较大小结果正确的是( )
A. B. C. D.
2.四个数满足，那么所有可能的值的和是( )
A. B. C. D.
3.有理数、、在数轴上位置如图，则的值为______．
4.现有四种说法：表示负数；若，则；绝对值最小的有理数是；若，则；若，则，其中正确的是______填序号．
5.【观察与归纳】
观察下列各式的大小关系：
归纳：________用“”“”“”“”或“”填空
【理解与应用】
根据上题中得出的结论，若，，求的值．
6.定义：在数轴上，若，两点到原点的距离之和等于点到原点的距离，则称为，两点的“和距点”例如，数轴上，表示的点是表示，的点的“和距点”；表示的点是表示，的点的“和距点”已知数轴上，，三点表示的数分别是，，，为，两点的“和距点”．
若，点在轴的正半轴上，则 ；
若也是，两点的“和距点”，求出的值；
若，请直接写出的值．
7.已知是大于等于的整数，观察下列给出的式子：，，
完成下列各题：
________
________ _________ 用“”或“”填空
设证明：．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
【解析】解：，该式成立，故本选项不符合题意；
B.，，，该式成立，故本选项不符合题意；
C.，原式不成立，故本选项符合题意；
D.，该式成立，故本选项不符合题意．
故选C．
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
【解析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则根据绝对值的意义得到．故选C．
5.【答案】
【解析】解：由数轴得，，
，，，
原式．
故选：．
本题考查数轴及绝对值，解题的关键是根据数轴得到字母大小，从而得到式子与的关系．
6.【答案】
【解析】解：令，，则，，
则可得．故选：．
本题考查了有理数的大小比较及数轴，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：因为，所以和之间的距离为，
因为，所以和之间的距离为，
所以和之间的距离为，因为，
所以，所以，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，共有以下几种情况：
情况：，
情况：，
情况：，
情况：，
情况：，与情况相同，
情况：，与情况相同．
可知，所有的“绝差操作”共有种不同的运算结果，故正确；
情况与情况运算结果之和为，故正确；
将上述种结果，任意选取两组的结果相减，没有结果的差为，故错误．
综上可知，正确的有，共个，故选B．
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
，即，
，．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：，，的最小值是．
13.【答案】
【解析】此题考查了有理数的大小比较以及新定义，解题的关键是理解题意．由等式，以及若不是整数，则知，，，，即是的倍数，因此小于的这样的正整数有个．故答案为．
14.【答案】【小题】略
【小题】
【小题】，货车一共行驶了
15.【答案】，又因为、均为负数，所以，同理，，可得，所以．
16.【答案】解：；
；
、、、、；
有最小值，最小值为；
有最小值，最小值为．
【解析】解答：数轴上表示与两点之间的距离是：，故答案为；
数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为：；
因为表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，，所以这样的整数有、、、、，故答案为：、、、、；
有最小值，
理由是：因为理解为：在数轴上表示到、和的距离之和，
因为当时，的值有最小值，最小值为；
有最小值，
理由是理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，
所以当在与之间时，的值有最小值，最小值为．
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】解：由，，因为，所以，可知不符合题意；
由，可知，所以，可知不符合题意；
由，，因为，所以，可知不符合题意；
由，因为，所以，可知符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】先根据绝对值的性质化简各等式，再将，用含的式子表示，最后分类讨论的值，进而可得出答案．
解：，
，，，
，，，
或，
，，，，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
所有可能的值的和是：，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：由有理数、、在数轴上位置可知，，，，且，
，，，
，故答案为：．
4.【答案】
【解析】解：当时，是，故错误；
当，则，故错误；
绝对值最小的有理数是，故正确；
若，则或，故错误；
若，则，故正确；
其中正确的有：
5.【答案】解；
由上题结论可知，因为，，，所以、 异号．
当为正数，为负数时，，则，，或；
当为负数，为正数时，，则，，或；
综上所述，为或．
【解析】根据提供的关系式得到规律即可；
根据中的结论分当为正数，为负数时和当为负数，为正数时两种情况分类讨论即可确定答案．
6.【答案】【小题】
【小题】由题意，得，且，所以所以
【小题】或
【解析】 略 略
由题意，得当时，，解得；当时，不合题意，舍去；当时，，解得不合题意，舍去；当时，不合题意，舍去；当时，，解得综上所述，的值为或．
7.【答案】解： ；
；；
证明： ，
．
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