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22.2二次函数与一元二次方程同步培优卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．二次函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
3．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．关于x的一元二次方程的根是，
C．
D．
6．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．点在该函数图象上
B．当且时，
C．该函数图象与x轴一定没有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧
7．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．5
8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知点在抛物线上，则 ．
10．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是 ．
11．抛物线与轴的两交点间的距离是 ．
12．抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ．
13．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ．
x 0.4 0.5 0.6 0.7
14．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接，．若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰三角形时，点的坐标为 ．

15．如图是抛物线的一部分，对称轴为直线，若其与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
16．若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有 ．
三、解答题
17．已知二次函数的图象与x轴交于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求自变量x的值．
18．已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)求此抛物线的顶点坐标．
19．已知抛物线，其中，且．
(1)直接写出关于x的一元二次方程的一个根；
(2)证明：抛物线的顶点A在第三象限．
20．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值．
21．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 0 3

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)根据图象说明：当x 取何值时，y的值大于0？
22．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
(3)点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A A C D C C
1．C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断．
【详解】解：二次函教的图象在轴的下方，
抛物线开口向下，与轴无交点，
即，，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答关键是由对称轴、抛物线与求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．先求出抛物线的对称轴，由抛物线与x轴的交点和对称轴就可以求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，又因为抛物线开口向上，所以在x轴上方部分，，由抛物线与x轴两交点的横坐标，就可以求解．
【详解】解：∵函数
∴函数图像开口向上，对称轴是直线，
∵图像经过点，，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴在x轴上方部分，，
∴或．
故选A．
3．A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，对称性得到对称轴为，即可．
【详解】解：∵的两个实数根分别为，，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为，
∴对称轴为；
故选A．
4．A
【分析】本题考查抛物线与轴的交点判断一元二次方程根的情况，根据数形结合的方法可得答案．
【详解】解：函数图象开口向下．图象交x轴于点A、B，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定的符号，再结合对称轴求解抛物线与轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．
【详解】解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴，
，，
∵对称轴为，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵抛物线与轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意；
∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴∵，
∴，故C符合题意；
∴；
∴错误，故D不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．把代入该函数解析式即可判断A；当时求出该函数解析式，求出该函数图象的对称轴和顶点，由函数的性质可以判断B；根据可以判断C；求出该函数的对称轴即可判断D．
【详解】解：当时，，
而不一定等于，
∴点不一定在该函数图象上，
故A错误，不符合题意；
当时，，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为15，
∴当时，，
故B错误，不符合题意；
，
∵，
∴该函数图象与x轴一定有交点，
故C错误，不符合题意；
对称轴为直线，
∵，
∴，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，
故D正确，符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项．
【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和
∴对称轴为直线，
∵，
∴点比点更靠近对称轴，
∴，整理得，
∴当时，有，
解得；
当时，有，
解得，
综上所述，或，
∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案．
【详解】解：令解得：
一次函数与轴交点为，
排除A和D，
令，解得，
二次函数与轴交点为和，
一次函数与二次函数的交点为，
排除B，
故选：C．
9．4或
【分析】本题考查抛物线上点的特征，将点代入抛物线的解析式进行求解即可．
【详解】解：点代入，得：，
解得：，
故答案为：4或．
10．或
【分析】本题考查二次函数与线段交点问题，解题关键是掌握二次函数性质与判别式，通过数形结合的方法求解．
分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在x轴下方时，分别求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
当抛物线顶点落在线段上时，如图，
∵抛物线与线段有且只有一个交点，
∴，
解得：；
当抛物线顶点落在x轴下方时，
当时，，
当时，，
∵抛物线与线段有且只有一个交点，
∴ 或，
解得：，
综上，k的取值范围是或．
故答案为：或．
11．4
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：令，则，
，
解得或，
抛物线与轴的两交点坐标为、，
抛物线与轴的两交点间的距离是，
故答案为：4．
12．
【分析】本题主要考查了抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出y的值．
根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】抛物线顶点坐标是；
令，
∴与轴的交点坐标是．
故答案为：，．
13．
【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围．
【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间，
∴对应的x的值在与之间，
即．
故答案为：．
14．或或
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，等腰三角形的定义，两点间距离公式，勾股定理，依据题意，分别令，，可求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再由点关于抛物线对称轴的对称点为，可得，又由点在的垂直平分线上，在第一象限，进而可设()，然后根据是等腰三角形，进行分类讨论解答即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：由题意令，
∴，
∴或，
∴，，
又令，
∴，
∴，
又∵抛物线为，
∴对称轴为直线，
∵点关于抛物线对称轴的对称点为，
∴，
∴，
又点在的垂直平分线上，在第一象限，
∴可设（），
∵是等腰三角形，
∴分以下三种情形，
在的垂直平分线上，
∴，
由两点间距离公式可得，，
整理得，，
∴，
∴；
当时，
∵到对称轴的距离为，
∴，
∴或，
∵，在第一象限，
∴，不合题意，
∴，
∴；
当时，
∵点到对称轴的距离为，
∴，
∴或，
∵在第一象限，
∴不合，舍去，
∴，
∴；
综上，或或，
故答案为：或或．
15．或
【分析】本题考查了抛物线的对称性，数形结合思想，求不等式的解集，先求得抛物线与x轴的两个交点坐标，后计算即可．
【详解】∵抛物线的一部分，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，另一个交点坐标为，
∴，
解得，
∵，
∴或，
故答案为：或．
16．②③⑤
【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据当时，，可判断③，根据图象的特点可以判断④，根据抛物线与x轴的交点可判断⑤，根据a，b，c的关系即可判断⑥．
【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线交于y轴的正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，，故①错误，②正确；
由图可知，当时，，
∴，故③正确
由图可知，当时，函数图象在x轴上方，此时或，故④错误；
由图可知抛物线与x轴有2个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的根，
∴，故⑤正确．
∵，当时，，
∴，即，故⑥错误，
∴正确的有②③⑤，
故答案为：②③⑤．
17．(1)；
(2)当时，自变量的值为或6
【分析】此题考查了二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）将与坐标代入二次函数解析式求出与的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）把代入解析式解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：将，代入解析式得：
，
解得：，．
则抛物线解析式为；
（2）解：当时，即，
解得：，，
当时，自变量的值为或6．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
（1）当时，解方程即可得到、的坐标，将代入即可得到点的坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
，，
，，
将代入得：，
；
（2）解：
，
顶点坐标是：．
19．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等：
（1）根据已知条件可知抛物线经过点，据此可得答案；
（2）根据顶点坐标公式得到抛物线的顶点坐标为，再由已知条件得到，，据此即可证明结论．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∵，
∴当时，，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴关于x的一元二次方程的一个根为；
（2）证明：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴顶点在第三象限．
20．
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴，，
∴
设，，
则，
∴，
∴
21．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、图解法求一元二次不等式，（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用描点法作图即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）解：这个二次函数的图象如图所示：

（3）解：由图可得，当或时，．
22．(1)，，
(2)；；
(3)Q点的坐标为
【分析】（1）分别令和，即可求点、、的坐标；
（2）先求出的面积，可求的面积为1，从而可以求出的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出的坐标；
（3）过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明，求出点的坐标，再求出直线的函数解析式，令即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：令，得：
，
解得：，，
，，
令，得：
，
，
点、、的坐标分别为：、、．
（2）解：，
，
设点的纵坐标为，则有：
，
，
当时，
，
解得：，
，
当时，
，
解得：，，
，或，，
点的坐标为：或，或，．
（3）如图，点在轴正半轴上，且，

过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
设，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
则有：，
解得：，
，
由，得，
点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，此题综合性强，属于压轴题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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