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第十九章　一次函数（12类压轴题专练）
题型一 两个一次函数图象共存问题
例题：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
1．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）一次函数与在同一平面直角坐标系内的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）下列图形中，表示一次函数与正比例函数（m、n为常数，且）的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 一次函数中的规律探究问题
例题：（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________，点的坐标是________．
变式训练
1．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，……，都是等腰直角三角形，点B，，，，…，都在x轴上，点与原点重合，点A，，，，…，都在直线l：上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______．
2．（2022上·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，按此规律进行，则点的坐标为________．

题型三 一次函数与三角形全等问题
例题：（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与△AOB全等，试确定点Q的横坐标．
变式训练
1．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
2．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，，，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）．
(1)求直线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时的面积是6；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
题型四 一次函数与三角形存在问题
例题：（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形 若存在，求出点P的坐标.
变式训练
1．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 一次函数中折叠问题
例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点
(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
变式训练
1．（2022·广东·平洲一中八年级期中）已知：直线y＝x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处，
(1)求A点的坐标 _______和B点的坐标 _______；
(2)求AB的长？
(3)求出OC的长？
2．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线： 与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．
(1)求直线和的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
题型六 利用一次函数解决分配方案问题
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
变式训练
1．（2021下·广东广州·八年级统考期末）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．
（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？
2．（2020下·甘肃庆阳·八年级校考期末）某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
题型七 利用一次函数解决最大利润问题
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25
销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？
变式训练
1．（2022·广东深圳·统考一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
题型八 利用一次函数解决行程问题
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像；折线表示乙班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像，图中轴，与相交于点．请根据图像解答下列问题：
(1)学校到科技馆的路程为______米；线段对应的函数表达式为______（）；
(2)求线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段与线段的交点的坐标为______，点坐标表示的实际意义是_________．
变式训练
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)求出图中函数，的图象交点的坐标；
(2)求关于的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”）
②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？
题型九 利用一次函数解决几何问题
例题：（2022上·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动.若，两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出，，三个点的坐标；
(2)当，两点出发时，求的面积；
(3)设两点运动的时间为，用含的式子表示运动过程中的面积；
(4)在点，运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是______
变式训练
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2．
(1)求点的坐标；
(2)直线过点，求该直线的表达式；
(3)在轴上找一点，使得三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线与轴交于点，在该直线上找一点，使得三角形的面积为．
题型十 一次函数——分段函数
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有_____．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝_____．
变式训练
1．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
题型十一 绝对值的一次函数
例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数y=的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数y=的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
变式训练
1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是_________；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为_________；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
题型十二 新定义型一次函数
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”．
(1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______；
(2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值．
变式训练
1．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
(1)点在的“逆反函数”图象上，则_；
(2) 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
(3)若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
2．（2022上·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为_．
(2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
(3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标．
第十九章　一次函数（12类压轴题专练）
答案全解全析
题型一 两个一次函数图象共存问题
例题：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解．
【详解】解：若，则，
此时直线经过一、二、四象限；直线经过一、三象限；
无此种情况的选项；
若，则，
此时直线经过一、三、四象限；直线经过二、四象限；
选项B符合题意；
故选：B
变式训练
1．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）一次函数与在同一平面直角坐标系内的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图像，根据函数图像所在象限可判断出，的取值范围．一次函数图像的性质：当，时，图像经过一、二、三象限；当，时，图像经过一、三、四象限；当，时，图像经过二、三、四象限；当，时，图像经过一、二、四象限．通过分类讨论，的正负情况解题是解题的关键．
【详解】解：A．由图像知：中的，，中的，，故此选项不符合题意；
B．由图像知：中的，，中的，，故此选项符合题意；
C．由图像知：中的，，中的，，故此选项不符合题意；
D．由图像知：中的，，中的，，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）下列图形中，表示一次函数与正比例函数（m、n为常数，且）的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数图象的升降及直线与y轴交点的位置即可确定m、n的符号，从而确定的符号，再与正比例函数的一次项系数的符号比较．
【详解】解：A、由一次函数图象知，，则，由正比例函数图象知，，故正确；
B、由一次函数图象知，，则，由正比例函数图象知，，矛盾，故不正确；
C、由一次函数图象知，，则，由正比例函数图象知，，矛盾，故不正确；
D、由一次函数图象知，，则，由正比例函数图象知，，矛盾，故不正确；
故选：A．
题型二 一次函数中的规律探究问题
例题：（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________，点的坐标是________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点的坐标规律，找到规律是解题的关键．由得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点Bn的坐标．
【详解】解：∵，点在直线上，
∴，
∴，
即，
∴或（舍去），
∴，
∴点的坐标为，
∵是等腰直角三角形，
∴， ，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得，，，…，．
故答案为：，．
变式训练
1．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，……，都是等腰直角三角形，点B，，，，…，都在x轴上，点与原点重合，点A，，，，…，都在直线l：上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______．
【答案】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，规律型问题等知识．分别求出，，，，……，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：当时，，
∴点A的坐标为，
根据题意得：点C的坐标为，
∵是等腰直角三角形，
∴可设点的坐标为，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
设点的坐标为，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
设点的坐标为，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
同理点的坐标为，
……
点的坐标为．
故答案为：；
2．（2022上·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形，按此规律进行，则点的坐标为________．

【答案】
【分析】先根据一次函数方程式求出点的坐标，再根据点的坐标求出、的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标．
【详解】解：直线，点坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为；
∴以为边作正方形，则，
∴，点的坐标为，的坐标为，
根据这种方法可求得的坐标为，故点的坐标为，的坐标为，
以此类推便可求出点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．
题型三 一次函数与三角形全等问题
例题：（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与△AOB全等，试确定点Q的横坐标．
【答案】7或8
【分析】根据与△AOB全等分两种情况分类讨论即可解答．
【详解】解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，
∴ ，即；
∵与△AOB全等，
∴分两种情况：
当时，△AOB，如图所示，
则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，△OAB，如图所示，
则，
∵ ，
∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【答案】D
【分析】先求解的坐标，再利用全等三角形的性质求解 再结合轴对称的性质可得答案.
【详解】解： 直线与x轴、y轴交于A、B两点，
令 则
令，则
如图，当关于轴对称时，
此时△CM1O△ABO
此时
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，熟悉全等三角形的基本图形是解本题的关键.
2．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，，，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）．
(1)求直线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时的面积是6；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P坐标为；
(3)存在，符合条件的点P的坐标为，，，．
【分析】（1）通过求出点A坐标，用待定系数法即求出解析式；
（2）先画图，确定面积可以为底，P到y轴距离为高求得，作出辅助线帮助思考．求出P到y轴距离后，要注意分类讨论；
（3）题目问法说明两三角形三边对应关系不确定，故需要分类讨论．观察，得到即为斜边．所以也是直角三角形且为对应斜边，因此只能，两直角边对应关系不确定，分两类与．具体每类再分析时，发现长度求出后对应坐标值可正可负，结合图像分析再分类讨论．
【详解】（1）解：∵直线l：与y轴交于点B，
∴，，
∵，
∴，即，
∵点A在直线l上，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：过P作轴于C，如图1，
∴，
∴，
∴点P的横坐标为4或，
∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合，
∴横坐标不为4，纵坐标为：，
∴点P坐标为时，的面积是6；
（3）解：存在满足条件的P、Q，
∵，，
∴，，
∴以O，P，Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，
①，
∴，即P点横坐标为或，如图2和图3，
，，
∴点P或；
②，
∴，即点P、点Q纵坐标为或，如图4和图5，
，
解得：，
，
解得：，
∴点或，
综上所述，符合条件的点P的坐标为，，，．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了三角形及全等三角形判定，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分析，解题时应注意在坐标系里线段长度对应坐标的绝对值，所以坐标可正可负要分类讨论．全等三角形存在性问题要通过画图分析，找到确定对应的边角，再根据不确定对应的边角分类讨论．
题型四 一次函数与三角形存在问题
例题：（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形 若存在，求出点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；
(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
所以点的坐标为；
（2）解：代入A、两点可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
设原点到直线的距离为，
则，
解得：，
故原点到直线的距离为；
（3）解：存在，
设点的坐标为，根据题意可知不为直角，
所以当是直角三角形分两种情况：
①当时，此时点的坐标为；
②当，，
故，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．
变式训练
1．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B的坐标为，点C的坐标为
(2)12
(3)存在，点M的坐标是或或
【分析】（1）在中，令，则；令，则，从而可得答案；
（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）设点M的坐标为，求解直线的表达式是，由，可得，当点M在线段上时，如图①，则，此时，当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；时，，则点的坐标是．从而可得答案．
【详解】（1）解：在中，令，则；令，则．
故点B的坐标为，点C的坐标为．
（2）∵，，
∴．
（3）存在点M使． 理由如下：
设点M的坐标为，直线的表达式是．
∵，
∴，解得．
∴直线的表达式是．
∵，
∴．
∴．
当点M在线段上时，如图①，则，此时，
∴点M的坐标是．
当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；
时，，则点的坐标是．
综上所述，点M的坐标是或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
题型五 一次函数中折叠问题
例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点
(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或
【分析】（1）把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，然后把代入，求出；
（2）①根据折叠的性质得出，勾股定理即可求解；
②过点作轴于点，作轴于点，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；
③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标．
【详解】（1）解：把代入，
×（-4），
，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案为：．
（2）①∵直线：令，解得，
∴点的坐标为，
∵
∴，
∵折叠，
∴；
②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，
，
∴，
，
点的坐标为；
③ 如下图，
当时，由翻折得，
，
，
，
，
点的坐标为；
如图，
当时，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．
变式训练
1．（2022·广东·平洲一中八年级期中）已知：直线y＝x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处，
(1)求A点的坐标 _______和B点的坐标 _______；
(2)求AB的长？
(3)求出OC的长？
【答案】(1)(-8，0) 、(0，6)
(2)10
(3)3
【分析】（1）分别令，即可得出点A和点B坐标．
（2）点A和点B坐标已知，根据坐标系内两点距离公式即可解出．
（3）根据已知条件可得出，设OC长为x，列出等式解方程即可．
(1)
∵直线y＝x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B
∴分别令，
解得：时
时
∴点A坐标为(-8，0)，点B坐标为(0，6)．
故答案为(-8，0) 、(0，6) ．
(2)
∵点A坐标为(-8，0)，点B坐标为(0，6)
∴．
(3)
∵将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处
∴
∴
∴
∵点A坐标为(-8，0)，点B坐标为(0，6)
∴，
设OC的长为x
则，
∵
∴
解得
故OC长为3．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点、折叠的性质、三角形面积及坐标系中两点的距离公式等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
2．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线： 与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．
(1)求直线和的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】(1)把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．
(2) 作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，点P即所求，设直线表达式为，确定解析式，并求出与y轴的交点坐标即可．
(3) 分两种情况求解即可．
【详解】（1）将代入得，
解得，
故直线的解析式为；
把代入，得，
解得，
故直线的解析式为．
（2）作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，则点P满足的值最小，
∵，，
∴，，
∴，，设直线表达式为，
∴，
解得，
∴直线表达式为，
令，
∴．
（3）设点，
如图，当时，过点A作于点G，
∵，，沿直线翻折得到△ADE，
∴，，，，
∴==135°，
∴，，
解得，
故点；
如图，当时，过点D作于点G，
∵，，沿直线翻折得到△ADE，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故点；
综上所述，点或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．
题型六 利用一次函数解决分配方案问题
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
【答案】（1）三人间客房8间，双人间客房13间；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元
【分析】（1）根据在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，一天一共花去住宿费6300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得x为何值时，费用最低，并写出最低费用时的住宿方案．
【详解】解：（1）设租住了三人间客房a间，双人间客房b间，
根据题意得：，
解得：，
答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间；
（2）由题意可得，
y600×0.5600×0.5＝﹣50x+7500，
即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+7500；
（3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50，
∴y随x的增大而减小，
∴当x满足、为整数，且最大时，住宿费用最低，
∴当x＝48时，y取得最小值，此时y＝﹣50×48+7500＝5100，=16，=1，
∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿费不是最低，
答：一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案为：租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
变式训练
1．（2021下·广东广州·八年级统考期末）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．
（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？
【答案】（1）购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；（2）；（3）该校至少需要投入资金元．
【分析】（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）根据（1）的结论可得购买型篮球的费用和购买型篮球的费用，再求和，然后根据两种型号的篮球个数均大于0求出的取值范围即可；
（3）先根据“购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍”建立不等式求出的取值范围，再利用一次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；
（2）由题意得：购买型篮球的个数为个，
则，
即，
，
，
则关于的函数关系式为；
（3）购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，
，
解得，
又，
，
对于一次函数，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
因此，在内，，
答：该校至少需要投入资金元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．
2．（2020下·甘肃庆阳·八年级校考期末）某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；（2）；（3）购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元．
【分析】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，再建立二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）分和两种情况，结合（1）的结论，根据促销活动列出等式即可得；
（3）先求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得．
【详解】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，
由题意得：，
解得，
答：每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；
（2）设购买足球个，则购买羽毛球拍个，
由题意，分以下两种情况：
①当时，，
②当时，，
综上，关于的函数关系式为；
（3）由题意得：，
解得，
为正整数，
的最小值为17，
，
，
由一次函数的性质可知，在内，随x的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为（元），
此时，
答：购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用、二元一次方程组的应用，依据题意，正确建立一次函数和方程组是解题关键．
题型七 利用一次函数解决最大利润问题
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25
销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？
【答案】(1)网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆
(2)A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，
根据题意得：，
解得：．
答：网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆；
（2）解：设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，
根据题意得：
解得：，
设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，
则，
即．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，，
．
答：A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元．
变式训练
1．（2022·广东深圳·统考一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克
(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y元，
由题意可知：
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
，
解得：，即，
在中，，则y随m的增大而减小，
当时，y最大，且为（元），
购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
2．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元
(2)，，且x为整数
(3)商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元
【分析】（1）设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元，根据“用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同”列分式方程求解即可；
（2）直接根据题意列出函数关系式，再根据“从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍”求取值范围；
（3）根据一次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元，
由题意得：，
解得，
经检验是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元．
（2）解：根据题意，y与x之间的函数关系式为：
，
∵乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍，
∴，
解得，
又∵，
∴自变量 x的取值范围是，且x为整数．
（3）解：在中，
∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵，且x为整数
∴时，y取得最大值，最大值为，
此时，
答：商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元．
【点睛】本题考查了列分式方程求解，列一次函数关系式，求自变量取值范围，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型八 利用一次函数解决行程问题
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像；折线表示乙班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像，图中轴，与相交于点．请根据图像解答下列问题：
(1)学校到科技馆的路程为______米；线段对应的函数表达式为______（）；
(2)求线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段与线段的交点的坐标为______，点坐标表示的实际意义是_________．
【答案】(1)3600；
(2)
(3)；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米
【分析】本题考查函数综合，涉及从函数图像中得到信息、待定系数法确定函数关系式、函数图像交点求法及其实际意义，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
（1）由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像即可得到答案；利用待定系数法将代入确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据题意，数形结合，得到、，利用待定系数法将、代入确定函数关系式即可得到答案；
（3）由（1），（2）所得函数表达式，联立方程组求解即可得到点的坐标，从而根据函数图像交点的实际意义即可得到答案．
【详解】（1）解：由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像可知，学校到科技馆的路程为3600米；
设线段的函数关系式为，
将代入得，
解得，
线段对应的函数表达式为
故答案为：3600；；
（2）解：甲班比乙班先出发5分钟，
，
设线段对应的函数表达式为，
将、代入得，
解得，
线段对应的函数表达式为；
（3）解：联立，
解得，
图像中线段与线段的交点的坐标为，点坐标表示的实际意义是当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米，
故答案为：；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米．
变式训练
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关键．
（1）直接运用待定系数法就可以求出、关于的函数图像关系式即可；
（2）分为两种情况：在相遇前，；当两车相遇后，，然后求解即可．
【详解】（1）解：设，将点代入，
可得，解得，
∴；
设，将点，代入，
可得，解得，
∴；
（2）①两车相遇前，可有，
即
解得；
②两车相遇后，可有，
即，
解得．
答：两车行驶或时两车相距300千米．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)求出图中函数，的图象交点的坐标；
(2)求关于的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”）
②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？
【答案】(1)点的坐标为
(2)关于的函数解析式为
(3)①；②当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元
【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据两条函数图象的交点的纵坐标为，代入函数解析式中计算即可；
（2）运用待定系数法求解析式即可；
（3）①根据行程问题算出骑行的时间，分别算出两种品牌的费用即可求解；②分两种情况讨论，第一种情况，；第二种情况，；由此即可求解．
【详解】（1）解：∵函数，的图象交点，且点的纵坐标为，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，
∴，解得，，
∴点的坐标为．
（2）解：函数经过点，，
∴设，
∴，解得，，
∴，
∴关于的函数解析式为．
（3）解：①，平均行驶速度均为，
∴行驶时间为，即，
∴骑行品牌的费用（元）；
骑行品牌共享电动车，且，
∴费用（元）；
∵，
∴小明选择骑行品牌共享电动车，
故答案为：；
②第一种情况，，
∴，解得，；
第二种情况，，
∴，解得，；
∴当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元．
题型九 利用一次函数解决几何问题
例题：（2022上·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动.若，两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出，，三个点的坐标；
(2)当，两点出发时，求的面积；
(3)设两点运动的时间为，用含的式子表示运动过程中的面积；
(4)在点，运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是______
【答案】(1)，，
(2)的面积为
(3)
(4)
【分析】（1）根据坐标与图形性质求出三个点的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分，两种情况，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案；
（4）计算边界点：当在上时，计算，通过画图发现，在时，点被包含在区域包含边界，从而可计算其时长．
【详解】（1）解：轴，轴，，，，
，，．
故答案为：，，；
（2）当两点出发时，如图1，，，
点在线段上，
的面积cm2；
（3）分两种情况：
①当时，在线段上，在上，如图，
由题意得：，
则；
②当时，在线段上，在上，如图，
过点作轴交的延长线于，
由题意得：
，，，，
，
则
；
综上所述，；
（4）①如图，点在上，过点作于，过作于，交于，
，
，
，
，
，
≌（SAS），
，
，
；
如图，当与重合时，点仍在的内部；
，
在点运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，几何动点问题，三角形的面积，线段三角形全等的判定与性质，从动态问题中得出一次函数的表达式等知识，是综合题，有一定的难度，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
变式训练
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2．
(1)求点的坐标；
(2)直线过点，求该直线的表达式；
(3)在轴上找一点，使得三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线与轴交于点，在该直线上找一点，使得三角形的面积为．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
(4)或
【分析】（1）由题意得，，则，故，即可求解；
（2）将点的坐标代入函数表达式，可得，即可求解；
（3）当时，则，即可求解；当或时，同理可解；
（4）首先确定点坐标，由三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，为等边三角形，且边长为2，
∴，，
∴，
过点作轴于点，
则，，
∴，
则点，
即点的坐标分别为：，；
（2）将点的坐标代入函数表达式，
可得 ，
则，
则该一次函数的表达式为；
（3）设点，
由点的坐标得，，，
当时，则有，
解得，则点；
当时，可有，
解得（舍去）或；
当时，可有，
解得．
综上所述，点的坐标为：或或或；
（4）对于直线，
令，即有，
解得，
∴，
∴，
则三角形的面积，
则，
将当时，将其代入，
可得，解得，
将当时，将其代入，
可得，解得，
即点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法则求一次函数解析式、一次函数的图像与性质、等边三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
题型十 一次函数——分段函数
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有_____．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝_____．
【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）
【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；
（2）根据函数图像进行逐一判断即可；
（3）根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 …
函数图像如下图所示：
（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误；
观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；
观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确；
故答案为：②③；
（3）∵直线与函数只有一个交点，
∴根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．
变式训练
1．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）-5；（2）；（3），
【分析】（1）将代入解析式求解即可；
（2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当时，②当时，③当时，根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为，从而求得m的值；
（3）设,，分类讨论①当经过点时，求得的最小值， ②当经过点时，③当与线段有交点时，④当经过点的时，⑤如图，当经过点时，分别判断图象G与的交点个数，得出符合题意的m的取值范围．
【详解】解：（1）当时，函数
∵点在图像G上
∴当时，．
（2）①当时，即时，对于函数，随着x的增大y也增大．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴．
∴当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
②当时，即时，对于函数，随着x的增大，y反而减小．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴，故当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
③当时，即时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小，当时有最大值．
当时，，当时，．
ⅰ当时，．
ⅱ当时，．
∴时，当时，函数最大值与最小值的差为．
综上述：．
（3）设,
①如图，当经过点时，
图象G与有一个公共点，
将代入，得：
解得
②当经过点时，将点代入
解得
当时，当图象G与有两个公共点
如图，当时，即，也经过点
此时，当图象G与有两个公共点
③当与线段有交点时，
将点代入，得
此时与交于点
当继续增大时，图象G与有四个公共点，
分别与线段各有一个交点，与线段各有一个交点；
④如图，当经过点的时，将代入
解得：
此时分别与各有一个交点，此时图象G与有三个公共点
当继续增大时，图象G与有两个公共点
⑤如图，当经过点时，图象G与有一个公共点，此时可以求得的最大值
将代入，得：
解得：
综上所述，当图象G与有两个公共点时，或．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键．
题型十一 绝对值的一次函数
例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数y=的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数y=的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
【答案】(1)任意实数
(2)2
(3)见解析
(4)0
(5)x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）
【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；
（2）把x=-1代入函数解析式，求出y的值即可；
（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（4）根据函数图象即可得出结论．
（5）根据函数图象解答即可．
（1）
∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为任意实数．
故答案为：任意实数；
（2）
∵当x=-1时，y=|-1-1|=2，
∴b=2．
故答案为：2；
（3）如图，
（4）
由函数图象可知，函数的最小值为0．
故答案为：0．
（5）
x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
变式训练
1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是_________；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为_________；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
【答案】(1)任意实数
(2)1
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以写出该函数的性质．
（1）
解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）
解：当x=-2时，m=|-2+1|=1，
故答案为：1；
（3）
解：描点、连线，画出函数的图象如图：
；
（4）
解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0；
②当x＞-1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可）
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
题型十二 新定义型一次函数
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”．
(1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______；
(2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值．
【答案】(1)；4
(2)2或
【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型：
（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
【详解】（1）解：把点代入，得：
，解得：；
∵点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，
∴点到两坐标轴的距离之和等于，
∴点是y关于x的正比例函数的“4阶和点”，
即．
故答案为：；4；
（2）解：设一次函数图象的“7阶和点”为，则，，
∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
当在第一象限时，，
∴；
∴一次函数图象的“7阶和点”为；
把代入得：
，解得：；
当在第二象限时，，由于，此种情形不存在；
当在第三象限时，，
∴；
∴一次函数图象的“7阶和点”为，
把代入得：
，解得：；
综上，k的值为2或．
变式训练
1．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
(1)点在的“逆反函数”图象上，则_；
(2) 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
(3)若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据定义得到“逆反函数”为，把代入即可求得；
（2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得或．
【详解】（1）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，
解得：
∴；
（3）∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键．
2．（2022上·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为_．
(2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
(3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可；
（2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可；
（3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即
解得
一次函数的“不动点”为
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，
，
又
解得
（3）直线上没有“不动点”，
直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
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