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2024-2025学年度九年级数学上册学案
3.6二次函数的应用（3）
【学习目标】
1.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，解决设计生活中的最值问题，了解数学的应用价值;
2.利用二次函数解决实际最值问题.
【知识梳理】
1.建立直角坐标系解决二次函数问题
(1)建立合适的 .(2)根据题意找出有关点的坐标.(3)列出含有未知参数的式子并解决问题.
【典型例题】
知识点一应用二次函数解决问题
1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是 m.
2.为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【巩固训练】
1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm，当x＝3时，
y＝18，那么当成本为72元时，边长为 .
2.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝x2(x>0)．
若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为 .
3.如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
(
3题图
)(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
(
4
题图
)4.如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．
(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，
求线段QD长度的最大值．
　
(
5
题图
)5.已知,如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标.
3.6二次函数的应用（3）
【典型例题】1.10
【巩固训练】1.A 2.C
3. 解：(1)当y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)，
∴点A、B、C的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)；
(2)设△BCM的面积为S，点M的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，
则OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝－a2＋2a＋3，BN＝3－a，
根据题意，得S△BCM＝S四边形OCMN＋S△MNB－S△COB
＝(OC＋MN)·ON＋MN·NB－OC·OB
＝[3＋(－a2＋2a＋3)]a＋(－a2＋2a＋3)(3－a)－ ×3×3
＝－a2＋a＝－(a－)2＋，
∴当a＝时，S△BCM有最大值，
此时，ON＝a＝，BN＝3－a＝，
∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠PBN＝45°，
∴PN＝BN＝，
根据勾股定理，得PB＝＝，
∴△BPN的周长＝PN＋BN＋PB＝＋＋＝3＋；
(3)抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点E(1，0)，如解图，
设Q(1，y)，根据勾股定理CN2＝CO2＋ON2＝()2＋32＝，
过点Q作QD⊥y轴于点D，则D(0，y)，利用勾股定理可得：
CQ2＝CD2＋DQ2＝(y－3)2＋12＝y2－6y＋10，
NQ2＝QE2＋EN2＝y2＋，
∵△CNQ为直角三角形，
∴有以下三种情况：
①当CN2＋CQ2＝NQ2，即∠NCQ＝90°时，
＋y2－6y＋10＝y2＋，解得y＝，
∴Q(1，)；
②当CN2＋NQ2＝CQ2，即∠CNQ＝90°时，
＋y2＋＝y2－6y＋10，解得y＝－，
∴Q(1，－)；
③当CQ2＋NQ2＝CN2，即∠CQN＝90°时，
y2－6y＋10＋y2＋＝，解得y＝，
∴Q(1，)或(1，)．
综上所述，△CNQ为直角三角形时，
点Q的坐标为(1，)或(1，)或(1，－)或(1, )．
4.解：(1)∵点A(－3，0)与点B关于直线x＝－1对称，
∴点B的坐标为(1，0)；
(2)∵a＝1，
∴y＝x2＋bx＋c，
∵抛物线过点(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3，
∴点C的坐标为(0，－3)
①设点P的坐标为(x，y)，由题意得
S△BOC＝OB·OC＝×1×3＝，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×＝6.
当x>0时，S△POC＝OC·x＝×3×x＝6，
∴x＝4，
∴y＝42＋2×4－3＝21；
当x<0时，S△POC＝OC·(－x)＝×3×(－x)＝6，
∴x＝－4，
∴y＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5，
∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)；
②设点A、C所在直线的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
把A(－3，0)、C(0，－3)代入得，
解得：
∴y＝－x－3，
设点Q的坐标为(x，－x－3)，其中－3≤x≤0，
∵QD⊥x轴，且点D在抛物线上，
∴点D的坐标为(x，x2＋2x－3)，
∴QD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x＝－(x＋)2＋
∵－3<－<0，
∴当x＝－时，QD有最大值，
∴线段QD长度的最大值为
5.解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于点C(0，4)且经过A(4，0)，
可得，解得，
∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；
设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G
由－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，
(
4题图
)∴点B的坐标为(－2，0)
∴AB＝6，BQ＝m＋2，
∵QE∥AC，
∴∠BQE＝∠BAC，∠BEQ＝∠BCA，
∴△BQE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴EG＝，
∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG＝(m＋2)(4－)
＝－m2＋m＋＝－(m－1)2＋3.
∵－2≤m≤4，
∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0)
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