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11.3.2 多边形的内角和
教学设计
一、教学目标：
1.探索并证明多边形内角和公式.
2.运用多边形内角和公式解决简单问题.
二、教学重、难点：
重点：理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式.
难点：灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.
三、教学过程：
（一）复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？
新知讲解
如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得:∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠DAC+∠BAC+∠B+∠BCA+∠DCA+∠D
=（∠DAC+∠DCA+∠D）+（∠BAC+∠B+∠BCA）
=180°+180°
=360°
思考：你还有其他证明方法吗？
归纳：四边形的内角和为360°
类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？
归纳：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
例题讲解
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )=360°－180°=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？
解：由多边形的内角和公式（n-2）180°可得
六边形的内角和=（6-2）×180°=720°
即∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=720°
∵∠1=180°-∠FAB，∠2=180°-∠ABC，∠3=180°-∠BCD
∠4=180°-∠CDE，∠5=180°-∠DEF，∠6=180°-∠EFA
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-720°=360°
这就是说，六边形形的外角和为360°。
思考：当n＞3时，n边形的外角和等于多少度？
n边形的外角和=n×180°-（n-2）×180°
=180°n-180°n+360°
=360°
结论：n边形的外角和等于360°。
当堂练习
1. 一个十二边形的内角和等于（ D ）
A.2160° B.2080° C.1980° D.1800°
2.一个多边形的内角和时900°，则这个多边形的边数是（ C ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是__六____边形
四、课堂小结
通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？
①多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。
②体会数学中的类比和转化的数学思想。
作业
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11.3.2 多边形的内角和
精准作业
课前诊测
从四边形的一个顶点出发，可以画1条对角线，它把四边形分成了_____个三角形；
从五边形的一个顶点出发，可以画____条对角线，它们把五边形分成了_____个三角形.
必做题
十边形的内角和是_______
一个多边形的内角和为720°，则这个多边形是______
一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数是____
探究题
有一张长方形纸片，现在用剪刀剪去它的一个角，剩下的纸片所有的内角和是多少？
答案：
课前诊断
1.2
2.2；3
必做题
1.1440°
2.六边形
5
探究题
解：减去一个角后剩下的纸片形状有三种情况：
①三角形，内角和为180°
②四边形，内加和360°
③五边形，内角和为540°(共14张PPT)
11.3.2 多边形的内角和
人教版.八年级上册
学习目标
1.探索并证明多边形内角和公式.
2.运用多边形内角和公式解决简单问题.
知识回顾
思考
我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
探究新知
思考：任意四边形的内角和等于多少度？
A
B
C
D
在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得:∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠DAC+∠BAC+∠B+∠BCA+∠DCA+∠D
=（∠DAC+∠DCA+∠D）+（∠BAC+∠B+∠BCA）
=180°+180°
=360°
你还有其他证明方法吗？
探究新知
180°×2=360°
180°×3-180°=360°
180°×4-360°=360°
四边形的内角和是360
探究新知
边数 3 4 5 6 n
从一个顶点出发的对角线的条数 0 1
对角线分成的 三角形的个数 1 2
多边形的内角和 180° 180°×2 =360°
3
3
n-3
2
4
n-2
180°×3
=540°
180°×4
=720°
180°(n-2)
归纳总结
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
多边形内角和公式（n-2）180°
例题讲解
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
B
C
D
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°
=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )
=360°－180°
=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
例题讲解
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？
解：由多边形的内角和公式（n-2）180°可得
六边形的内角和=（6-2）×180°=720°
即∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=720°
∵∠1=180°-∠FAB，∠2=180°-∠ABC，∠3=180°-∠BCD
∠4=180°-∠CDE，∠5=180°-∠DEF，∠6=180°-∠EFA
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-720°=360°
归纳总结
思考：当n＞3时，n边形的外角和等于多少度？
n边形的外角和=n×180°-（n-2）×180°
=180°n-180°n+360°
=360°
多边形外角和等于360°
当堂练习
1. 一个十二边形的内角和等于（ ）
A.2160° B.2080° C.1980° D.1800°
2.一个多边形的内角和时900°，则这个多边形的边数是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是________边形
D
C
六
课堂小结
通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？
①多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。
②体会数学中的类比和转化的数学思想。
作业布置
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11.3.2 多边形的内角和
导学案
学习目标：
1.探索并证明多边形内角和公式.
2.运用多边形内角和公式解决简单问题.
一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？
二、新知讲解
如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得:∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠DAC+∠BAC+∠B+∠BCA+∠DCA+∠D
=（∠DAC+∠DCA+∠D）+（∠BAC+∠B+∠BCA）
=180°+180°
=360°
思考：你还有其他证明方法吗？
归纳：四边形的内角和为360°
类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？
归纳：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
三、例题讲解
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )=360°－180°=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？
解：由多边形的内角和公式（n-2）180°可得
六边形的内角和=（6-2）×180°=720°
即∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=720°
∵∠1=180°-∠FAB，∠2=180°-∠ABC，∠3=180°-∠BCD
∠4=180°-∠CDE，∠5=180°-∠DEF，∠6=180°-∠EFA
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×6-720°=360°
这就是说，六边形形的外角和为360°。
思考：当n＞3时，n边形的外角和等于多少度？
n边形的外角和=n×180°-（n-2）×180°
=180°n-180°n+360°
=360°
结论：n边形的外角和等于360°。
四、当堂练习
1. 一个十二边形的内角和等于（ D ）
A.2160° B.2080° C.1980° D.1800°
2.一个多边形的内角和时900°，则这个多边形的边数是（ C ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是__六____边形
五、课堂小结
通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？
六、作业
见精准作业

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