资源简介

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21.3 实际问题与一元二次方程（3）精准作业设计
课前诊断
某厂2022年的产量是100万件，计划2024年生产达到144万件，假设2022年到2024年这种产品的年增长率相同.
求该产品的年增长率；
2025年这种产品的产量应达到多少万件？
精准作业
必做题
2.在一块长 60 cm，宽 40 cm 的长方形草坪上修两条宽度相同的小路，如图所示，如果要使整个草坪的面积是 800 cm2，求小路的宽.
3.某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场.鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个 2 米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为 30 米.
(1) 若墙长为 18 米，要围成的鸡场面积是120 平方米，则鸡场的长和宽各为多少米
(2) 围成的鸡场面积能达到180 平方米吗 说明理由.
探究题
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm ？
精准作业答案
1．解：（1）设该产品的年增长率为x.
解得：x1 = 0.2 ，x2 = -2.2（舍去）
答：该产品的年增长率为0.2
（2）（万件）
答：2025年这种产品的产量应达到172.8万件.
解：设小路的宽为cm
则 (60-)(40-)=800
整理得
解得：x1 = 20 ，x2 =80（舍去）
答：小路的宽为 cm
3.解：(1)设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为 (30 + 2 - 2x) 米.
依题意得： x(30 + 2 - 2x) = 120 ，
整理得： x2 - 16x + 60 = 0 ，
解得： x1 = 10 ，x2 = 16.
当 x = 10 时，30 + 2 - 2x = 12 ＜18，符合题意，
当 x = 16 时，30 + 2 - 2x = 20 ＞18，不符合题意，舍去.
答：鸡场长为 12 米，宽为 10 米.
(2) 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米，理由如下：
设垂直于墙的边长为 y 米，则平行于墙的边长为 (30 + 2 - 2y) 米.
依题意得： y(30 + 2 - 2y) = 180 ，
整理得： y2 - 16y + 90 = 0 ，
∵Δ = -104 ＜ 0，
∴ 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米.
4.解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm .
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm.
则
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm .(共16张PPT)
人教版九年级（上）
21.3 实际问题与一元二次方程（3）
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．（重点）
2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．（重点）
3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．（难点）
学习目标
问题1 我们学习了哪些基本几何图形？
问题2 怎样求他们的面积呢？有哪些计算公式？
复习引入
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
新知探究
怎样设未知数呢？
问题 根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是 27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推：
设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
27 cm
21cm
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
27 cm
21cm
试一试
解：设上、下边衬的宽均为 9x cm，则左、右边衬的宽为7 x cm.
解得：（舍去），
上、下的边衬的宽为：
左、右的边衬的宽为：
解：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm，
左、右的边衬的宽为：
上、下的边衬的宽为：
解得
列方程得：
答：上、下边衬的宽为1.8cm，左、右边衬的宽为1.4cm.
在几何图形的面积问题中：
规则图形：面积公式.
不规则图形：割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
例 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
还有其他列法吗？
方法一：
典例分析
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 : x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
方法二：
解决有关图形面积问题：
(注：这里的横坚斜小路的的出入口宽度都相等)
平移转化
改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？
A
B
D
C
解：设小路的宽应为 x m.
根据题意得：(16 - 2x)(9 - x) = 12，
解得：x1 = 1，x2 = 16 (舍去).
答：小路的宽应 1 m.
x
x
小试牛刀
_____________
主要内容
几何面积问题
常见图形的面积公式
运用策略
规则图形
不规则图形
________
面积公式求解
割补法
课堂小结
布置作业
见精准作业单！
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21.3 实际问题与一元二次方程（3） 教学设计
学习目标：
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．（重点）
2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．（重点）
3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．（难点）
一、复习引入
问题1 我们学习了哪些基本几何图形？
问题2 怎样求他们的面积呢？有哪些计算公式？
教师引导，同学们回答，用口述的形式进行.
二、新知探究
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
教师引导同学们一起审题、分析问题，找准等量关系，解决问题.
法一 解：设上、下边衬的宽均为 9x cm，则左、右边衬的宽为7 x cm.
解得：（舍去），
左、右的边衬的宽为：
法二 解：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm，
列方程得：
解得：
上、下的边衬的宽为：
左、右的边衬的宽为：
在几何图形的面积问题中：
规则图形：面积公式.
不规则图形：割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
典例分析
例 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
解：设道路的宽为 x m. 则
方法二：
解：设道路的宽为 x m. 则
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 : x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
学生自己动手解答，教师总结、归纳.
小试牛刀
改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？
解：设小路的宽应为 x m.
根据题意得：(16 - 2x)(9 - x) = 12，
解得：x1 = 1，x2 = 16 (舍去).
答：小路的宽应 1 m.
五、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
六、布置作业
见精准作业单
七、板书设计
21.3 实际问题与一元二次方程（3）中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 实际问题与一元二次方程（3） 导学案
学习目标：
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．（重点）
2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．（重点）
3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．（难点）
一、复习引入
问题1 我们学习了哪些基本几何图形？
问题2 怎样求他们的面积呢？有哪些计算公式？
二、新知探究
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
三、典例分析
例 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
四、小试牛刀
改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？
五、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
六、布置作业
见精准作业单

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