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4.1.1　实数指数幂及其运算
[学习目标]　1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质.
导语
古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生,这就是本节课我们要学习的根式.
一、n次方根
问题1　若x2=3,这样的x有几个 它们叫做3的什么 怎样表示
提示　这样的x有2个,它们叫做3的平方根,表示为,-.
问题2　如果x2=a,那么x叫做a的什么 这样的x有几个 x3=a呢
提示　如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根),当a>0时,这样的x有两个;当a=0时,a只有一个平方根;当a<0时,a在实数范围内没有平方根.如果x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),这样的x有且只有一个.
问题3　类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根的定义,你认为n次方根应该是什么
提示　比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.
知识梳理
1.a的n次方根的概念
一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根.
2.根式的意义和性质
当有意义的时候,称为根式,n称为根指数,a称为被开方数.
根式的性质:
(1)()n=a.
(2)=
注意点:
(1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0.
(2)()n与意义不同,比如=-3,=3,而没有意义,故()n≠.
(3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序.
例1　(1)化简下列各式:
①+()5;
②+()6;
③.
解　①原式=(-2)+(-2)=-4.
②原式=|-2|+2=2+2=4.
③原式=|x+2|=
(2)已知-3解　原式=-=|x-1|-|x+3|,
∵-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
延伸探究　在本例(2)中,若将“-3解　原式=-=|x-1|-|x+3|.
∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,
∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.
反思感悟　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围.
跟踪训练1　化简下列各式:
(1);
(2)+;
(3)(a≤1);
(4)+.
解　(1)=-2.
(2)+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
(3)∵a≤1,
∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(4)+=a+|1-a|=
二、根式、分数指数幂的化简与求值
问题4　被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如,a>0,是否也可以表示为分数指数幂的形式 如何表示
提示　======.
问题5　根据所学知识,猜测23,2π,24之间的大小关系.
提示　23<2π<24.
知识梳理
1.分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 当a>0时,规定==()m=
负分数指数幂 当a>0时,规定=(n,m∈N+)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
2.有理数指数幂的运算法则
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q);
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q);
(3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).
拓展:(1)=as-t(a>0,s,t∈Q).
(2)=(a>0,b>0,s∈Q).
3.实数指数幂
一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理数指数幂的运算法则仍然成立.
注意点:
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
例2　(1)若(x-2有意义,则实数x的取值范围是 (　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
答案　C
解析　由负分数指数幂的意义可知,
(x-2=,
所以x-2>0,即x>2,
所以x的取值范围是(2,+∞).
(2)根式(a>0)的分数指数幂的形式为 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　===.
(3)(多选)下列各式正确的是(式中字母都是正数) (　　)
A.=(m+n
B.=a-2b2
C.=(-3
D.=
答案　BD
解析　选项A中,(m+n=,因此不正确;
选项B中,=a-2b2,因此正确;
选项C中,==,因此不正确;
选项D中,===,因此正确.
反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律:根指数分数指数幂的分母.
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.
(2)技巧:当表达式中的根号较多时,由里向外用分数指数幂的形式写出来,然后再利用相关的运算性质进行化简.
跟踪训练2　将下列各式化为分数指数幂的形式:
(1)(x>0);
(2)(a>0,b>0).
解　(1)原式==
====.
(2)原式=[ab3(ab5=(a··b3·
=(=.
例3　计算与化简:
(1)+2-2×-0.010.5;
(2)0.06-+[(-2)3+16-0.75;
(3)·(a>0,b>0).
解　(1)原式=1+×-
=1+-=.
(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3
=-1++=.
(3)原式=····
=a0b0=.
反思感悟　利用指数幂的运算法则化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.
(2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算.
(3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
跟踪训练3　计算与化简:
(1)+(0.002-10(-2)-1+(-)0;
(2)(··z-1)·(x-1··z3(x>0,y>0,z>0).
解　(1)原式=(-1·+-+1=+50-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
(2)原式=(z-1)·(z-1)
=··z-1-1=xz-2.
三、指数式的条件求值问题
例4　已知+=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)+.
解　(1)∵+=3,∴=9,
即a+2+a-1=9,∴a+a-1=7.
(2)∵a+a-1=7,∴(a+a-1)2=49,
即a2+2+a-2=49.
∴a2+a-2=47.
(3)+=()3+()3
=(+)(a-1+a-1)=3×(7-1)=18.
反思感悟　条件求值问题的常用方法
(1)整体代入:从已知条件中解出所含字母的值,然后再代入求值,这种方法一般是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值.
(2)求值后代入:所求结果涉及的某些部分,可以作为一个整体先求出其值,然后再代入求最终结果.
跟踪训练4　设-=m,则等于 (　　)
A.m2-2 B.2-m2
C.m2+2 D.m2
答案　C
解析　将-=m平方得(-)2=m2,
即a-2+a-1=m2,所以a+a-1=m2+2,
即a+=m2+2,得=a+=m2+2.
1.知识清单:
(1)n次方根的概念.
(2)根式与分数指数幂的化简与求值.
(3)指数式的条件求值问题.
2.方法归纳:转化化归、整体代换法.
3.常见误区:
(1)对于,当n为偶数时,a≥0.
(2)在运用分数指数幂的运算法则化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
(3)条件求值问题,一般先化简,再代入求值.有时通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
1.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是 (　　)
A.a≥2 B.2≤a<4或a>4
C.a≠2 D.a≠4
答案　B
解析　要使原式有意义,需满足
解得2≤a<4或a>4.
2.(多选)下列各式错误的是 (　　)
A.=-3 B.=a
C.=2 D.=2
答案　ABD
解析　=3,故A错误;=|a|,故B错误;=2,故C正确;=-2,故D错误.
3.(a>0)的化简结果是 (　　)
A.1 B.a
C. D.
答案　D
解析　原式===.
4.计算:-(-9.6)0-+(1.5)-2=　　　　.
答案　
解析　原式=-1-+
=-1-+=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.若+有意义,则a的取值范围是 (　　)
A.a≥0 B.a≥1
C.a≥2 D.a∈R
答案　B
解析　∵∴a≥1.
2.化简[的结果为 (　　)
A.5 B.
C.- D.-5
答案　B
解析　[===.
3.-(1-0.5-2)÷的值为 (　　)
A.- B.
C. D.
答案　D
解析　原式=1-(1-22)÷
=1-(-3)×=.
4.(多选)下列各式,其中正确的是 (　　)
A.若a∈R,则(a2-a+1)0=1
B.=x+y
C.=
D.若=-,则a=0
答案　AD
解析　A项,因为a2-a+1=+>0,
所以(a2-a+1)0=1成立;
B项,无法化简;
C项,<0,>0,故不相等;
D项,因为与-互为相反数,所以a=0成立.
5.已知ab=-5,则a+b的值是 (　　)
A.2 B.0
C.-2 D.±2
答案　B
解析　由题意知ab=-5,
所以b=-,a=-,且ab<0,
a+b
=a+b=a+b=0.
6.已知3a-1+3a-2+3a-3=117,则(a+1)(a+2)(a+3)等于 (　　)
A.120 B.210
C.336 D.504
答案　C
解析　3a-1+3a-2+3a-3=(9+3+1)×3a-3=117,得3a-3=9,解得a=5,
所以(a+1)(a+2)(a+3)=336.
7.(5分)已知3a=2,3b=,则32a-b=　　　　.
答案　20
解析　32a-b====20.
8.(5分)计算:++-·=　　　　.
答案　2-3
解析　原式=+++1-22=2-3.
9.(10分)化简与计算:
(1)+0.1-2+-3π0+;(5分)
(2)÷(a>0,b>0).(5分)
解　(1)原式=++-3+
=+100+-3+=100.
(2)原式=[·]÷(·
=()÷(
=()÷()==.
10.(12分)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.
解　因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,
所以
===.
因为a>b>0,所以>>0,
所以==.
11.计算(n∈N+)的结果为 (　　)
A. B.22n+5
C.2n2-2n+6 D.27-2n
答案　D
解析　原式===27-2n.
12.已知x2+x-2=2,且x>1,则x2-x-2等于 (　　)
A.2或-2 B.-2
C. D.2
答案　D
解析　方法一　∵x>1,∴x2>1,
由x2+x-2=2,解得x2=+1,
∴x2-x-2=+1-=+1-(-1)=2.
方法二　令x2-x-2=t, ①
又x2+x-2=2, ②
由①2-②2,得t2=4.
∵x>1,∴x2>x-2,∴t>0,
∴t=2,即x2-x-2=2.
13.(5分)设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=　　　　,(2α)β=　　　　.
答案　　
解析　由根与系数的关系得α+β=-2,αβ=.
则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=.
14.(5分)已知a1,n∈N+,化简+=　　　　.
答案　
解析　∵a当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;
当n是偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.
∴+=
15.(5分)已知2x=72y=A,其+=2,x>0,y>0,则A=　　　　.
答案　7
解析　∵2x=72y=A,∴=2,=72=49,
∴=·=2×49=98,
∵+=2,A>0,∴A=9=7.
16.(12分)(1)已知2x+2-x=a(a为常数),求8x+8-x的值;(6分)
(2)已知x+y=12,xy=9且x解　(1)∵4x+4-x=(2x)2+(2-x)2
=(2x+2-x)2-2·2x·2-x=a2-2,
∴8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
=(2x+2-x)[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2]
=(2x+2-x)(4x+4-x-1)
=a(a2-2-1)=a3-3a.
(2)=
=. ①
∵x+y=12,xy=9, ②
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又∵x将②③代入①,得==-.4.1.1　实数指数幂及其运算
[学习目标]　1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质.
一、n次方根
问题1　若x2=3,这样的x有几个 它们叫做3的什么 怎样表示
问题2　如果x2=a,那么x叫做a的什么 这样的x有几个 x3=a呢
问题3　类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根的定义,你认为n次方根应该是什么
知识梳理
1.a的n次方根的概念
一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为　　　　　　.
2.根式的意义和性质
当有意义的时候,称为根式,　　　　称为根指数,a称为被开方数.
根式的性质:
(1)()n=　　　.
(2)=
例1　(1)化简下列各式:
①+()5;
②+()6;
③.
(2)已知-3延伸探究　在本例(2)中,若将“-3反思感悟　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围.
跟踪训练1　化简下列各式:
(1);
(2)+;
(3)(a≤1);
(4)+.
二、根式、分数指数幂的化简与求值
问题4　被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如,a>0,是否也可以表示为分数指数幂的形式 如何表示
问题5　根据所学知识,猜测23,2π,24之间的大小关系.
知识梳理
1.分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 当a>0时,规定=　　　,=()m=　　　　　　
负分数指数幂 当a>0时,规定=　　　　　　(n,m∈N+)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂　　　　　
2.有理数指数幂的运算法则
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q);
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q);
(3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).
拓展:(1)=as-t(a>0,s,t∈Q).
(2)=(a>0,b>0,s∈Q).
3.实数指数幂
一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的　　　　,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理数指数幂的运算法则仍然成立.
例2　(1)若(x-2有意义,则实数x的取值范围是 (　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
(2)根式(a>0)的分数指数幂的形式为 (　　)
A. B.
C. D.
(3)(多选)下列各式正确的是(式中字母都是正数) (　　)
A.=(m+n
B.=a-2b2
C.=(-3
D.=
反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律:根指数分数指数幂的分母.
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.
(2)技巧:当表达式中的根号较多时,由里向外用分数指数幂的形式写出来,然后再利用相关的运算性质进行化简.
跟踪训练2　将下列各式化为分数指数幂的形式:
(1)(x>0);
(2)(a>0,b>0).
例3　计算与化简:
(1)+2-2×-0.010.5;
(2)0.06-+[(-2)3+16-0.75;
(3)·(a>0,b>0).
反思感悟　利用指数幂的运算法则化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.
(2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算.
(3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
跟踪训练3　计算与化简:
(1)+(0.002-10(-2)-1+(-)0;
(2)(··z-1)·(x-1··z3(x>0,y>0,z>0).
三、指数式的条件求值问题
例4　已知+=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)+.
反思感悟　条件求值问题的常用方法
(1)整体代入:从已知条件中解出所含字母的值,然后再代入求值,这种方法一般是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值.
(2)求值后代入:所求结果涉及的某些部分,可以作为一个整体先求出其值,然后再代入求最终结果.
跟踪训练4　设-=m,则等于 (　　)
A.m2-2 B.2-m2
C.m2+2 D.m2
1.知识清单:
(1)n次方根的概念.
(2)根式与分数指数幂的化简与求值.
(3)指数式的条件求值问题.
2.方法归纳:转化化归、整体代换法.
3.常见误区:
(1)对于,当n为偶数时,a≥0.
(2)在运用分数指数幂的运算法则化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
(3)条件求值问题,一般先化简,再代入求值.有时通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
1.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是 (　　)
A.a≥2 B.2≤a<4或a>4
C.a≠2 D.a≠4
2.(多选)下列各式错误的是 (　　)
A.=-3 B.=a
C.=2 D.=2
3.(a>0)的化简结果是 (　　)
A.1 B.a
C. D.
4.计算:-(-9.6)0-+(1.5)-2=　　　　　　.
答案精析
问题1　这样的x有2个,它们叫做3的平方根,表示为,-.
问题2　如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根),当a>0时,这样的x有两个;当a=0时,a只有一个平方根;当a<0时,a在实数范围内没有平方根.如果x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),这样的x有且只有一个.
问题3　比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.
知识梳理
1.a的n次方根　2.n　(1)a
(2)a　|a|
例1　(1)解　①原式=(-2)+(-2)=-4.
②原式=|-2|+2=2+2=4.
③原式=|x+2|=
(2)解　原式=-=|x-1|-|x+3|,
∵-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
延伸探究　解　原式=-=|x-1|-|x+3|.
∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,
∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.
跟踪训练1　(1)-2　(2)0
(3)3-3a　(4)
问题4　======.
问题5　23<2π<24.
知识梳理
1.　　　0　没有意义　3.实数
例2　(1)C　(2)A　(3)BD
跟踪训练2　(1)　(2)
例3　解　(1)原式=1+×-=1+-=.
(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3
=-1++=.
(3)原式=····=a0b0=.
跟踪训练3　(1)-　(2)xz-2
例4　解　(1)∵+=3,
∴=9,
即a+2+a-1=9,∴a+a-1=7.
(2)∵a+a-1=7,∴(a+a-1)2=49,
即a2+2+a-2=49.
∴a2+a-2=47.
(3)+=()3+()3
=(+)(a-1+a-1)
=3×(7-1)=18.
跟踪训练4　C
随堂演练
1.B　2.ABD　3.D　4.

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