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4.1.2　指数函数的性质与图象
第1课时　指数函数的概念、性质与图象
[学习目标]　1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.
导语
古希腊著名数学家阿基米德与国王下棋.国王输了,问阿基米德要什么奖赏 阿基米德说:“我只要在棋盘上的第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒…….按此方法放到第64个格子就行了.”国王一听,随即答应了.但是所有64个方格上的颗粒总数为1+2+4+8+…+263,经过计算约为18.447亿吨大米!国王如何赏得起 我们就从这个关于数学指数增长的故事开始今天的学习吧!
一、指数函数的概念
问题1　用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再画出指数函数y=2x与y=的图象.
x -2 -1 0 1 2
y=2x
y=
提示　(1)　　1　2　4　4　2　1　　
(2)y=2x和y=的图象如图所示.
知识梳理
指数函数的定义
一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
注意点:
指数函数解析式的三个特征
(1)ax的系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数a.
(3)自变量x为指数.
例1　(1)下列函数中是指数函数的是 (　　)
A.y=2·3x B.y=
C.y=3x D.y=(-2)x
答案　C
解析　A中,3x的系数是2,故A不是指数函数;B中,的指数是x+1,不是自变量x,故B不是指数函数;C中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故C是指数函数;D中,底数-2<0,故D不是指数函数.
(2)已知指数函数y=(2b-3)ax经过点(1,2),则a=　　　　,b=　　　　.
答案　2　2
解析　由指数函数定义可知2b-3=1,即b=2.将点(1,2)代入y=ax,得a=2.
反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
跟踪训练1　(1)若函数y=a2(2-a)x是指数函数,则 (　　)
A.a=1或-1 B.a=1
C.a=-1 D.a>0且a≠1
答案　C
解析　因为函数y=a2(2-a)x是指数函数,
所以即a=-1.
(2)已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)=　　　　.
答案　125
解析　设f(x)=ax(a>0且a≠1),由f=得===,
所以a=5,即f(x)=5x,所以f(3)=53=125.
二、简单指数函数的图象
问题2　再选取底数,a=3,a=4,a=,a=,在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象,观察这些图象的位置和变化趋势.
提示　
知识梳理
函数y=ax(a>0且a≠1)的图象
a>1 0图象
注意点:
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时,有a0=1,故指数函数过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
例2　(1)下列几个函数的图象如图所示:①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx.则a,b,c,d与0和1的关系是 (　　)
A.0B.0C.0D.1答案　B
解析　由指数函数图象知当底数大于1时为增函数,并且底数越大增加的越快,因此得到c>d>1,当底数大于0小于1时,1>a>b>0,所以0(2)若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有 (　　)
A.00 B.a>1,且b>0
C.01,且b<0
答案　C
解析　函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象是由函数y=ax的图象经过向上或向下平移而得到的,因其图象不经过第一象限,所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象限,则需将函数y=ax(0反思感悟　(1)解决指数函数图象问题的注意点
①熟记当底数a>1和0②在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
(2)与指数函数相关的定点问题
由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)过定点(0,1),可令所给函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵坐标即可.
跟踪训练2　(1)函数y=ax-3+3(a>0且a≠1)的图象过定点　　　　.
答案　(3,4)
解析　因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1),
所以在函数y=ax-3+3中,
令x-3=0,得x=3,此时y=1+3=4,
即函数y=ax-3+3的图象过定点(3,4).
(2)函数y=a|x|(a>1)的图象是 (　　)
答案　B
解析　函数y=a|x|是偶函数,
当x>0时,y=ax.
由已知a>1,所以y=ax在(0,+∞)上是增函数.
又当x=0时,函数y=a0=1,
即过定点(0,1),所以选项B的图象符合.
三、简单指数型函数的性质
问题3　由问题2中的函数图象,比一比y=ax与y=(a>0且a≠1)的图象有哪些相同点 有哪些不同点
提示　相同点:定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点;不同点:单调性、函数值的变化.我们还发现y=ax与y=(a>0且a≠1)这两个底数互为倒数的函数图象关于y轴对称.
知识梳理
函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 定义域为R
值域 值域为(0,+∞)
过定点 过定点(0,1)
函数值 的变化 当x>0时,y>1; 当x<0时, 00时, 01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
例3　求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
解　(1)∵x应满足x-4≠0,∴x≠4,
∴定义域为{x|x≠4,x∈R}.
∵≠0,∴≠1,
∴y=的值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)定义域为R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1,
∴此函数的值域为[1,+∞).
(3)由题意知1-≥0,
∴≤1=,
∴x≥0,∴定义域为[0,+∞).
∵x≥0,∴≤1.
又∵>0,∴0<≤1.
∴0≤1-<1,
∴0≤y<1,∴此函数的值域为[0,1).
反思感悟　y=af(x)(a>0且a≠1)型的定义域与值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
跟踪训练3　(1)函数f(x)=+的定义域是　　　　.
答案　[2,4)∪(4,+∞)
解析　依题意有
解得x∈[2,4)∪(4,+∞).
(2)函数y=在(0,3)上的值域为　　　.
答案　
解析　令x2-2x=t,因为x∈(0,3),则t∈[-1,3),
函数y=在[-1,3)上单调递减,
则y≤=2,且y>=,
即函数的值域为.
1.知识清单:
(1)指数函数的概念.
(2)指数函数的图象.
(3)指数函数的性质:定义域、值域、单调性及过定点.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:
(1)在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0(a>0且a≠1).
(2)形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题,要使f(x)=0.
1.若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)是指数函数,则k+b等于 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
答案　B
解析　由题意可知解得
所以k+b=1.
2.函数y=(a>1)的图象的大致形状是 (　　)
答案　C
解析　由题意得y=(a>1)
=(a>1)
所以当x>0时,其图象与y=ax(a>1)在第一象限内的图象一样;当x<0时,其图象与y=ax(a>1)的图象关于x轴对称,故选项C的图象符合题意.
3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.
答案　(-1,3)
解析　令x+1=0,得x=-1,
此时y=1+2=3,
即函数y=ax+1+2的图象过定点(-1,3).
4.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是　　　　.
答案　(-1,0)∪(0,1)
解析　由x<0,得0<2x<1.
∵x>0,∴-x<0,0<2-x<1,
∴-1<-2-x<0.
∴函数f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1).
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共18分
1.(多选)若函数f(x)=·ax(a>0且a≠1)是指数函数,则下列说法正确的是 (　　)
A.a=8 B.f(0)=-3
C.f=2 D.a=4
答案　AC
解析　因为函数f(x)是指数函数,所以a-3=1,所以a=8,所以f(x)=8x,所以f(0)=1,f==2,故B,D错误,A,C正确.
2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则 (　　)
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.01
D.0答案　C
3.函数f(x)=+的定义域为 (　　)
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
答案　A
解析　由题意,自变量x应满足
解得-34.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数,则实数a的取值范围为 (　　)
A. B.(-∞,0)
C. D.
答案　B
解析　∵y=(1-2a)x是R上的增函数,
则1-2a>1,∴a<0.
5.函数y=的值域是 (　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
答案　D
解析　由知,当-1<2x-1<0时,
y∈(-∞,-1);当2x-1>0时,y∈(0,+∞);
综上,函数的值域是(-∞,-1)∪(0,+∞).
6.已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为 (　　)
A.3 B.5
C.7 D.9
答案　C
解析　由题意得
解得所以f(x)=+3,
所以f(-2)=+3=4+3=7.
7.(5分)函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点　　　　.
答案　(2,2)
解析　∵a0=1,∴当x=2时,ax-2+1=2,
∴函数y=ax-2+1必经过点(2,2).
8.(5分)函数f(x)=-1,x∈[-1,2]的值域为　　　　.
答案　
解析　∵-1≤x≤2,
∴≤≤3.
∴-≤-1≤2.
∴函数f(x)的值域为.
9.(10分)已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;(4分)
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.(6分)
解　(1)因为函数f(x)的图象经过点,
所以a2-1=,则a=.
(2)由(1)知f(x)=(x≥0),
由x≥0,得x-1≥-1.
于是0<≤=2,
所以函数的值域为(0,2].
10.(10分)求下列函数的定义域和值域.
(1)y=;(5分)
(2)y=5-x-1.(5分)
解　(1)由1-x≥0,得x≤1.
∴定义域为(-∞,1].
设t=≥0,则3t≥30=1,
∴值域为[1,+∞).
(2)定义域为R,
∵5-x>0,∴5-x-1>-1,
∴值域为(-1,+∞).
11.(多选)下列说法中正确的是 (　　)
A.任取x>0,均有3x>2x
B.y=()-x是增函数
C.y=2|x|的最小值为1
D.在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称
答案　ACD
解析　任取x>0,均有3x>2x,故A正确;
y=()-x=是减函数,故B错误;
y=2|x|的最小值为1,故C正确;
在同一坐标系中,y=2x与y=2-x=的图象关于y轴对称,故D正确.
12.函数y=ax-a(a>0且a≠1)的大致图象可能是 (　　)
答案　C
解析　如果函数的图象是A,那么由1-a=1,得a=0,这与a>0且a≠1相矛盾,故A不可能;如果函数的图象是B,那么由a1-a<0,得0<0,这是不可能的,故B不可能;如果函数的图象是C,那么由0<1-a<1,得0如果函数的图象是D,那么由a1-a<0,得0<0,这是不可能的,故D不可能.
13.(5分)函数y=0.的定义域为　　　　　　　　,值域为　　　　　　　　.
答案　{x|x≠±1}　(0,1)∪
解析　由x2-1≠0,得x≠±1,
∴函数y=0.的定义域为{x|x≠±1}.
∵x2-1≥-1且x2-1≠0,∴≤-1或>0,
∴0<0.<1或0.≥,
∴函数y=0.的值域为(0,1)∪.
14.(5分)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于　　　　.
答案　-3
解析　由已知,得f(1)=2;
又当x>0时,f(x)=2x>1,
而f(a)+f(1)=0,
∴f(a)=-2,即a≤0,
∴a+1=-2,解得a=-3.
15.(多选)已知实数a,b满足=,给出下面几种关系,则其中可能成立的是 (　　)
A.0C.a答案　BCD
解析　在同一坐标系中作出函数y=与函数y=的图象,如图所示,
若=>1,
则a若0<=<1,则0若==1,则b=a=0.
16.(12分)已知函数y=.
(1)画出函数的图象(简图);(6分)
(2)由图象指出函数的单调区间;(3分)
(3)由图象指出当x取何值时函数有最值,并求出最值.(3分)
解　(1)方法一　y==
其图象由两部分组成:
一部分:y=(x≥0)的图象y=(x≥-1)的图象;
另一部分:y=3x(x<0)的图象y=3x+1(x<-1)的图象.
得到的函数图象如图中实线部分所示.
方法二　①可知函数y=是偶函数,其图象关于y轴对称,故先作出y=(x≥0)的图象,当x<0时,其图象与y=(x≥0)的图象关于y轴对称,从而得出y=的图象.
②将y=的图象向左平移1个单位即可得y=的图象,如图中实线部分所示.
(2)由图象知函数的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是(-1,+∞).
(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.4.1.2　指数函数的性质与图象
第1课时　指数函数的概念、性质与图象
[学习目标]　1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.
一、指数函数的概念
问题1　用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再画出指数函数y=2x与y=的图象.
x -2 -1 0 1 2
y=2x
y=
知识梳理
指数函数的定义
一般地,函数　　　　　　称为指数函数,其中a是常数,　　　　　　.
例1　(1)下列函数中是指数函数的是 (　　)
A.y=2·3x B.y=
C.y=3x D.y=(-2)x
(2)已知指数函数y=(2b-3)ax经过点(1,2),则a=　　　　,b=　　　　.
反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
跟踪训练1　(1)若函数y=a2(2-a)x是指数函数,则 (　　)
A.a=1或-1 B.a=1
C.a=-1 D.a>0且a≠1
(2)已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)=　　　　.
二、简单指数函数的图象
问题2　再选取底数,a=3,a=4,a=,a=,在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象,观察这些图象的位置和变化趋势.
知识梳理
函数y=ax(a>0且a≠1)的图象
a>1 0图象
例2　(1)下列几个函数的图象如图所示:①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx.则a,b,c,d与0和1的关系是 (　　)
A.0C.0(2)若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有 (　　)
A.00 B.a>1,且b>0
C.01,且b<0
反思感悟　(1)解决指数函数图象问题的注意点
①熟记当底数a>1和0②在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
(2)与指数函数相关的定点问题
由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)过定点(0,1),可令所给函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵坐标即可.
跟踪训练2　(1)函数y=ax-3+3(a>0且a≠1)的图象过定点　　　　.
(2)函数y=a|x|(a>1)的图象是 (　　)
三、简单指数型函数的性质
问题3　由问题2中的函数图象,比一比y=ax与y=(a>0且a≠1)的图象有哪些相同点 有哪些不同点
知识梳理
函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 定义域为　　　
值域 值域为　　　　　
过定点 过定点　　　　　
函数值 的变化 当x>0时, 　　　　　; 当x<0时, 　　　　 当x>0时, 　　　　　; 当x<0时, 　　　　
单调性 在R上是　　 在R上是　　
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
例3　求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;　(2)y=;
(3)y=.
跟踪训练3　(1)函数f(x)=+的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　.
(2)函数y=在(0,3)上的值域为　　　 .
1.知识清单:
(1)指数函数的概念.
(2)指数函数的图象.
(3)指数函数的性质:定义域、值域、单调性及过定点.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:
(1)在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0(a>0且a≠1).
(2)形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题,要使f(x)=0.
1.若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)是指数函数,则k+b等于 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
2.函数y=(a>1)的图象的大致形状是 (　　)
3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　　　.
4.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是　　　　　　　　　　　.
答案精析
问题1　(1)　　1　2　4　4　2　1　　
(2)y=2x和y=的图象如图所示.
知识梳理
y=ax　a>0且a≠1
例1　(1)C　(2)2　2
跟踪训练1　(1)C　(2)125
问题2
例2　(1)B　(2)C
跟踪训练2　(1)(3,4)　(2)B
问题3　相同点:定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点;不同点:单调性、函数值的变化.我们还发现y=ax与y=(a>0且a≠1)这两个底数互为倒数的函数图象关于y轴对称.
知识梳理
R　(0,+∞)　(0,1)　y>1　01　增函数　减函数
例3　解　(1)∵x应满足x-4≠0,
∴x≠4,
∴定义域为{x|x≠4,x∈R}.
∵≠0,∴≠1,
∴y=的值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)定义域为R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1,
∴此函数的值域为[1,+∞).
(3)由题意知1-≥0,
∴≤1=,
∴x≥0,∴定义域为[0,+∞).
∵x≥0,∴≤1.
又∵>0,∴0<≤1.
∴0≤1-<1,
∴0≤y<1,∴此函数的值域为[0,1).
跟踪训练3　(1)[2,4)∪(4,+∞)　(2)
随堂演练
1.B　2.C　3.(-1,3)
4.(-1,0)∪(0,1)

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