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第2课时　指数函数的图象与性质的应用
[学习目标]　1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.能够利用指数函数的图象和性质比较大小、解不等式.
导语
我们已经学习了指数函数的图象与性质,今天就探讨一下,利用这些知识去解决一些常见问题.
一、指数型函数图象的辨识
例1 (1)已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象可能是 (　　)
答案　B
解析　由f(x)=ax+b的图象可得f(0)=b<-1,f(1)=a+b>0,
所以a>1,b<-1,
故函数g(x)=ax+b为增函数,相对y=ax向下平移大于1个单位,故B符合.
(2)二次函数y=ax2+2bx的图象顶点横坐标的取值范围为(-2,-1),则y=-1的图象大致为 (　　)
答案　C
解析　因为二次函数y=ax2+2bx的图象顶点横坐标的取值范围为(-2,-1),所以-∈(-2,-1),即∈(1,2),所以0<-1<1,
则函数y=是减函数,又函数y=-1的图象是由函数y=的图象向下平移一个单位得到的,
故函数y=-1是减函数且图象过原点.
反思感悟　与指数函数相关的图象问题
(1)熟记当底数a>1和0(2)巧用图象变换
①平移变换:
y=ax的图象y=ax±b(b>0)的图象.
y=ax的图象y=ax±b(b>0)的图象.
②对称变换:
y=ax(a>0且a≠1)的图象 与y=a-x的图象关于y轴对称
与y=-ax的图象关于x轴对称
与y=-a-x的图象关于坐标原点对称
跟踪训练1　(1)函数y=2x-1的图象一定不经过第　　　　象限;若函数y=+b的图象不经过第一象限,则实数b的取值范围是　　　　.
答案　二、四　(-∞,-1]
解析　当x<0时,2x<1,y<0,在第三象限,
当x>0时,2x>1,y>0,在第一象限,
且当x=0时,y=0,
故y=2x-1的图象一定不经过第二、四象限.
若函数y=+b的图象不经过第一象限,
则当x∈[0,+∞)时,y=+b≤0,
又∵0<<1,且x∈[0,+∞),
∴y=是[0,+∞)上的减函数,
∴0<≤1,
∴+b≤1+b≤0,
解得b≤-1.
(2)已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
解　函数y=|2x-2|的图象如图中实线部分所示,要使直线y=2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0二、利用指数函数性质比较大小
例2　比较下列各组数的大小:
(1)1.52.5与1.53.2;
(2)与;
(3)1.50.3与0.81.2.
解　(1)∵函数y=1.5x在R上是增函数,2.5<3.2,
∴1.52.5<1.53.2.
(2)指数函数y=与y=的图象(如图),
由图知>.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1,
而0.81.2<0.80=1,
∴1.50.3>0.81.2.
反思感悟　比较指数式大小的3种类型及处理方法
跟踪训练2　比较下列各组数的大小:
(1)0.8-0.1与1.250.2;
(2)1.70.3与0.93.1;
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1).
解　(1)∵0<0.8<1,
∴y=0.8x在R上是减函数.
∵-0.2<-0.1,
∴0.8-0.2>0.8-0.1,
而0.8-0.2==1.250.2,
即0.8-0.1<1.250.2.
(2)∵1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看作指数函数y=ax的两个函数值.
当0∵0.5<0.6,∴a0.5>a0.6;
当a>1时,函数y=ax在R上是增函数.
∵0.5<0.6,∴a0.5综上所述,当0a0.6;
当a>1时,a0.5三、利用指数函数性质解不等式
例3　(1)若不等式<成立,则实数x的取值范围是　　　　.
答案　(-3,1)
解析　由于<等价于<5-x,
又y=5x为增函数,
故x2+x-3<-x,
即x2+2x-3<0,解得-3即实数x的取值范围是(-3,1).
(2)解关于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1).
解　①当0∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.
②当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,当0当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.
反思感悟　指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法:
当a>1时,f(x)>g(x);
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1=a0(a>0且a≠1),a-x=(a>0且a≠1)等.
跟踪训练3　(1)已知不等式≤3x<27,则x的取值范围为 (　　)
A.-≤x<3 B.≤x<3
C.R D.-≤x<
答案　A
解析　由题意可得≤3x<33,再根据函数y=3x在R上是增函数,可得-≤x<3.
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是　　　　.
答案　
解析　∵a2+a+2=+>1,
∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x x>1-x x>.
∴x∈.
1.知识清单:
(1)指数函数图象的应用.
(2)利用指数函数性质比较大小.
(3)利用指数函数性质解不等式.
2.方法归纳:转化与化归、分类讨论、数形结合.
3.常见误区:研究y=af(x)型函数,易忽视讨论a>1还是01.(多选)下列判断正确的是 (　　)
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2> D.0.90.3>0.90.5
答案　CD
解析　∵y=2.5x是增函数,且2.5<3,
∴2.52.5<2.53,故A错误;
∵y=0.8x是减函数,且2<3,
∴0.82>0.83,故B错误;
∵y=πx是增函数,且2>,∴π2>,故C正确;
∵y=0.9x是减函数,且0.3<0.5,
∴0.90.3>0.90.5,故D正确.
2.函数y=ax-(a>0且a≠1)的图象可能是 (　　)
答案　D
解析　当a>1时,y=ax-为增函数,当x=0时,y=1-<1且y=1->0,故A,B 不符合.
当03.若a3.1>a3(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(1,+∞)
解析　因为3.1>3,且a3.1>a3,
所以函数y=ax是增函数,
所以a>1.
4.设0的解集为　　　　.
答案　(1,+∞)
解析　因为0所以y=ax在R上是减函数,
又因为>,
所以2x2-3x+2<2x2+2x-3,
解得x>1.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共55分
1.若2x+1<1,则x的取值范围是 (　　)
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
答案　D
解析　∵2x+1<1=20,且y=2x是增函数,
∴x+1<0,∴x<-1.
2.已知函数f(x)=(a2-1)x,若x>0时总有f(x)>1,则实数a的取值范围是 (　　)
A.1<|a|<2 B.|a|<2
C.|a|>1 D.|a|>
答案　D
解析　由题意知a2-1>1,解得a2>2,即|a|>.
3.函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象如图所示,a,b,c,d分别是下列四个数:中的一个,则a,b,c,d的值分别是 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而>>>,所以a,b,c,d的值分别是.
4.函数y=ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是 (　　)
A.6 B.1
C.3 D.
答案　C
解析　函数y=ax在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是增函数,当x=1时,ymax=3.
5.在下列图象中,二次函数y=ax2+bx及指数函数y=的图象只可能是 (　　)
答案　A
解析　根据指数函数的定义,可知a,b同号且不相等,∴-<0,可排除B,D;由选项C中二次函数的图象,可知a-b>0,a<0,∴>1,∴指数函数y=单调递增,故C不正确,排除C,故选A.
6.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系正确的是 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
答案　C
解析　因为函数y=0.8x是R上的减函数,
且0.7<0.9,
所以a=0.80.7>0.80.9=b.
又因为a=0.80.7<0.80=1,c=1.20.8>1.20=1,
所以c>a,故c>a>b.
7.(5分)函数f(x)=3x-3(1答案　
解析　因为1而函数y=3x在(-2,2]上是增函数,
于是有即所求函数的值域为.
8.(5分)已知方程|2x-1|=a有两个不等实根,则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(0,1)
解析　函数y=|2x-1|=其图象如图所示.方程|2x-1|=a有两个不等实根等价于直线y=a与y=|2x-1|的图象有两个交点,所以由图可知09.(10分)已知a-5x0且a≠1),求x的取值范围.
解　当a>1时,∵a-5x解得x>;
当0x-7,
解得x<.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是;
当010.(12分)已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象不经过第二象限,求a,b的取值范围;(6分)
(2)当b=1时,f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值之比为3∶2,求a的值.(6分)
解　(1)①当0②当a>1时,f(x)单调递增,f(x)的图象与y轴的交点为(0,b+1),根据指数型函数的图象可知,要使f(x)的图象不经过第二象限,则b+1≤0,b≤-1.
所以a>1,b≤-1.
综上,a,b的取值范围是a>1,b≤-1.
(2)当b=1时,f(x)=ax+1.
①当0②当a>1时,f(x)单调递增,f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=a2+1,最小值为f(1)=a+1,由题意可得=,解得a=,因为a>1,
所以a=.综上,a的值是.
11.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是 (　　)
A.a>0 B.a>1
C.a<1 D.0答案　D
解析　因为-2>-3,f(-2)>f(-3),
又f(x)=a-x=,所以>,
所以>1,所以012.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则 (　　)
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案　D
解析　40.9=21.8,80.48=21.44,=21.5,
由于y=2x在R上是增函数,
所以21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2.
13.已知函数f(x)=且对于任意的x1,x2,都有>0(x1≠x2),则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1,2] B.(1,3]
C.[1,+∞) D.
答案　B
解析　依题意可知函数f(x)=
在(-∞,+∞)上是增函数,
则解得1故实数a的取值范围是(1,3].
14.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
答案　D
解析　函数f(x)的图象如图所示,
观察图象可知会有
解得x<0,
所以满足f(x+1)15.设x<0,且1A.0C.1答案　B
解析　∵1∴0又当x=-1时,<,
即b>a,∴016.(13分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x);(5分)
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.(8分)
解　(1)把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得结合a>0且a≠1,
解得
∴f(x)=3·2x.
(2)要使+≥m在(-∞,1]上恒成立,
只需保证函数y=+在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.
∵函数y=+在(-∞,1]上为减函数,
∴当x=1时,y=+有最小值.
∴只需m≤即可.
∴实数m的取值范围为.第2课时　指数函数的图象与性质的应用
[学习目标]　1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.能够利用指数函数的图象和性质比较大小、解不等式.
一、指数型函数图象的辨识
例1 (1)已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象可能是 (　　)
(2)二次函数y=ax2+2bx的图象顶点横坐标的取值范围为(-2,-1),则y=-1的图象大致为 (　　)
反思感悟　与指数函数相关的图象问题
(1)熟记当底数a>1和0(2)巧用图象变换
①平移变换:
y=ax的图象y=ax±b(b>0)的图象.
y=ax的图象y=ax±b(b>0)的图象.
②对称变换:
y=ax(a>0且a≠1)的图象 与y=a-x的图象关于y轴对称
与y=-ax的图象关于x轴对称
与y=-a-x的图象关于坐标原点对称
跟踪训练1　(1)函数y=2x-1的图象一定不经过第　　　　象限;若函数y=+b的图象不经过第一象限,则实数b的取值范围是　　　　　　　　　　　　.
(2)已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
二、利用指数函数性质比较大小
例2　比较下列各组数的大小:
(1)1.52.5与1.53.2;
(2)与;
(3)1.50.3与0.81.2.
反思感悟　比较指数式大小的3种类型及处理方法
跟踪训练2　比较下列各组数的大小:
(1)0.8-0.1与1.250.2;
(2)1.70.3与0.93.1;
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1).
三、利用指数函数性质解不等式
例3　(1)若不等式<成立,则实数x的取值范围是　　　　　　.
(2)解关于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1).
反思感悟　指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法:
当a>1时,f(x)>g(x);
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1=a0(a>0且a≠1),a-x=(a>0且a≠1)等.
跟踪训练3　(1)已知不等式≤3x<27,则x的取值范围为 (　　)
A.-≤x<3 B.≤x<3
C.R D.-≤x<
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是　　　　　　.
1.知识清单:
(1)指数函数图象的应用.
(2)利用指数函数性质比较大小.
(3)利用指数函数性质解不等式.
2.方法归纳:转化与化归、分类讨论、数形结合.
3.常见误区:研究y=af(x)型函数,易忽视讨论a>1还是01.(多选)下列判断正确的是 (　　)
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2> D.0.90.3>0.90.5
2.函数y=ax-(a>0且a≠1)的图象可能是 (　　)
3.若a3.1>a3(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是　　　　　　.
4.设0的解集为　　　　　　.
答案精析
例1　(1)B　(2)C
跟踪训练1　(1)二、四　(-∞,-1]
(2)解　函数y=|2x-2|的图象如图中实线部分所示,要使直线y=2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0例2　解　(1)∵函数y=1.5x
在R上是增函数,2.5<3.2,
∴1.52.5<1.53.2.
(2)指数函数y=与y=的图象(如图),
由图知>.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1,
而0.81.2<0.80=1,
∴1.50.3>0.81.2.
跟踪训练2　解　(1)∵0<0.8<1,
∴y=0.8x在R上是减函数.
∵-0.2<-0.1,
∴0.8-0.2>0.8-0.1,
而0.8-0.2==1.250.2,
即0.8-0.1<1.250.2.
(2)∵1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看作指数函数
y=ax的两个函数值.
当0∵0.5<0.6,∴a0.5>a0.6;
当a>1时,函数y=ax在R上是增函数.
∵0.5<0.6,∴a0.5综上所述,当0a0.6;
当a>1时,a0.5例3　(1)(-3,1)
(2)解　①当0∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.
②当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,当0当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.
跟踪训练3　(1)A　(2)
随堂演练
1.CD　2.D　3.(1,+∞)　4.(1,+∞)

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