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习题课　指数函数的综合问题
[学习目标]　1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.2.掌握指数函数在现实生活中的应用.
3.掌握指数函数的综合性问题.
一、指数型函数的单调性
例1　(1)求函数y=的单调区间;
(2)求函数y=-8·+17的单调区间.
解　(1)y=的定义域为R.
令μ=x2-6x+17,y=在R上是减函数,
在(-∞,3)上,μ=x2-6x+17是减函数,
所以y=在(-∞,3)上是增函数.
在(3,+∞)上,μ=x2-6x+17是增函数,
所以y=在(3,+∞)上是减函数.
所以y=的单调递增区间是(-∞,3),单调递减区间是(3,+∞).
(2)y=-8·+17的定义域为R,
设t=,t>0,所以y=t2-8t+17,
又y=t2-8t+17在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.令<4,解得x>-2.
所以当-2>,
即4>t1>t2,所以-8t1+17<-8t2+17.
所以y=-8·+17的单调递增区间是(-2,+∞).
同理可得单调递减区间是(-∞,-2).
反思感悟　函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性,即同增异减.
跟踪训练1　求下列函数的单调区间.
(1)y=(a>0且a≠1);
(2)y=.
解　(1)易知y=(a>0且a≠1)的定义域为R,设y=au,u=x2+2x-3,
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,
得u在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数.
当a>1时,y关于u为增函数;
当0所以当a>1时,原函数的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1);
当0(2)已知函数y=的定义域为{x|x≠0}.
设y=,u=0.2x,易知u=0.2x为减函数.
而根据y=的图象可知在区间(-∞,1)和(1,+∞)上,y是关于u的减函数,所以原函数的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
二、指数函数的实际应用
例2　某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与经过x(年)后的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).(参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
解　(1)1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100×(1+1.2%)2;
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3;
…
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)10
=100×1.01210≈112.7(万人).
反思感悟　(1)解决指数函数应用题的流程
①审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息.
②建模:根据已知条件,列出指数函数的关系式.
③解模:运用数学知识解决问题.
④回归:还原为实际问题,归纳得出结论.
(2)在实际问题中,经常会遇到指数函数增长模型:设基数为N,平均增长率为p,则对于经过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x来表示,这是非常有用的函数模型.
(3)注意指数函数实际应用中多采用估算比较大小,要注重培养估算的能力.
跟踪训练2　(1)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古学家发现一批鱼化石,经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%,则该生物生存的年代距今约 (　　)
A.1.7万年 B.2.3万年
C.2.9万年 D.3.5万年
答案　C
解析　∵碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,3.1%=≈=,∴该生物生存的年代距今约5 730×5=28 650≈2.9(万年).
(2)已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为　　　　万件.
答案　1.75
解析　∵y=a·0.5x+b,且当x=1时,y=1,
当x=2时,y=1.5,
则有解得
∴y=-2×0.5x+2.
当x=3时,y=-2×0.125+2=1.75(万件).
三、指数函数的综合运用
例3　设函数f(x)=-.
(1)证明:函数f(x)是奇函数;
(2)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域.
(1)证明　函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
f(-x)=-=-=
=-+=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明　设x1,x2是(-∞,+∞)内任意两个实数,且x1则f(x1)-f(x2)=--+
=.
因为x1所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
(3)解　因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数,
所以f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(2)=.
所以函数f(x)在[1,2]上的值域为.
反思感悟　解决指数函数的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论.
跟踪训练3　已知定义在R上的奇函数f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性;
(3)求该函数的值域.
解　(1)因为f(x)是R上的奇函数,
所以
即解得
(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:
由(1)知f(x)=.
设x1,x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)=-
=
=.
因为y=2x是R上的增函数,且x1所以-<0.
又因为(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在R上是增函数.
(3)f(x)===1-.
由2x>0,得2x+1>1,所以0<<2,
所以-1<1-<1,即-1所以函数f(x)的值域为(-1,1).
1.知识清单:
(1)指数型函数的单调性.
(2)指数函数在现实生活中的应用.
(3)指数函数的综合应用.
2.方法归纳:转化与化归、换元法.
3.常见误区:用换元法求解指数型复合函数的值域时,易忽视中间变量的范围致误.
1.函数f(x)=的单调递增区间为 (　　)
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
答案　A
解析　因为f(x)=,0<<1,
所以f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间,即(-∞,0].
2.若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上 (　　)
A.单调递减且无最小值
B.单调递减且有最小值
C.单调递增且无最大值
D.单调递增且有最大值
答案　A
解析　函数f(x)=为减函数,2x+1>1,
故f(x)=∈(0,1),无最值.
3.为响应国家退耕还林的号召,某地的耕地面积在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2018年的耕地面积为m,则2023年的耕地面积为 (　　)
A.(1-0.1250)m B.0.m
C.0.9250m D.(1-0.)m
答案　B
解析　设每年年平均减少的百分率为a,
由题意得,(1-a)50=1-10%=0.9,
∴1-a=0.,
由2018年的耕地面积为m,
得2023年的耕地面积为(1-a)5m=0.m.
4.函数y=在(-∞,1)上单调递增,则a的取值范围是　　　　.
答案　[2,+∞)
解析　令t=-x2+ax,y=2t在R上为增函数,由题意得t=-x2+ax在(-∞,1)上单调递增,所以≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞).
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.函数y=的单调递增区间是 (　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[1,2] D.[1,3]
答案　A
解析　令u=-3+4x-x2,y=3u为增函数,所以y=的单调递增区间就是u=-3+4x-x2=-(x-2)2+1的单调递增区间(-∞,2].
2.函数y=的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
答案　D
解析　设u=,则y=3u,对任意的0u2.
又因为y=3u在R上是增函数,所以y1>y2,
所以y=在(0,+∞)上是减函数.
对任意的x1u2,
又因为y=3u在R上是增函数,
所以y1>y2,所以y=在(-∞,0)上是减函数.
所以函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
3.某种细菌经60分钟培养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt,其中k,e为常数,t表示时间(单位:小时),y表示细菌个数,10个细菌经过7小时培养,细菌能达到的个数为 (　　)
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
答案　B
解析　设原来的细菌数为a.
由题意可得,在函数y=10ekt中,当t=1时,y=2a.
∴2a=10ek,即ek=.
当a=10时,ek=2,y=10ekt=10·2t,
若t=7,则可得此时的细菌数为y=10×27=1 280.
4.(多选)关于函数f(x)=,下列说法正确的是 (　　)
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上是增函数
D.在(0,+∞)上是减函数
答案　BC
解析　f(x)的定义域为R,
因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,
又因为y=2x是增函数,y=2-x为减函数,
故f(x)=为增函数.
5.已知f(x)=3x-t(2≤x≤4,t为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为 (　　)
A.[9,81] B.[3,9]
C.[1,9] D.[1,+∞)
答案　C
解析　因为f(x)的图象经过点(2,1),
所以32-t=1,得t=2.
因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,
所以f(x)min=f(2)=32-2=1,
f(x)max=f(4)=34-2=9.所以f(x)的值域为[1,9].
6.若≤,则函数y=2x的值域是 (　　)
A. B.
C. D.[2,+∞)
答案　B
解析　由≤=24-2x得,x2+1≤4-2x,
解得-3≤x≤1,所以2-3≤2x≤2,
即函数y=2x的值域是.
7.(5分)函数y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的最小值为　　　　,最大值为　　　　.
答案　2　3
解析　原函数可化为y=22x-2·2x+3.
令t=2x,x∈(-∞,1],∴t∈(0,2].
∴y=t2-2t+3=(t-1)2+2.
∴当t=1时,ymin=2;当t=2时,ymax=3.
8.(5分)偶函数f(x)=(a∈R)的值域为　　　.
答案　
解析　由题设,f(-x)===f(x),故a=1,所以f(x)=≤=,
当且仅当x=0时等号成立,又f(x)>0,
所以f(x)的值域为.
9.(10分)判断y=的单调性,并求其值域.
解　令u=x2-2x,则原函数变为y=.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又y=在(-∞,+∞)上单调递减,
∴y=在(-∞,1]上单调递增,
在(1,+∞)上单调递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y=,u∈[-1,+∞),
∴0<≤=3,∴原函数的值域为(0,3].
10.(12分)已知函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定义域为[-1,1].
(1)求3a的值及函数g(x)的解析式;(4分)
(2)试判断函数g(x)的单调性;(4分)
(3)若方程g(x)=m有解,求实数m的取值范围.(4分)
解　(1)f(a+2)=3a+2=32·3a=18,
所以3a=2,所以g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.
(2)g(x)=2x-4x=-(2x)2+2x,
令2x=t∈,
所以g(x)=μ(t)=-t2+t=-+在t∈上单调递减,
又t=2x为增函数,所以g(x)在[-1,1]上单调递减.
(3)由(2)知g(x)=μ(t)=-t2+t=-+在t∈上单调递减,
所以g(x)∈,即m∈.
11.已知+>+,则下列关系式正确的是 (　　)
A.xy
C.x<-y D.x>-y
答案　A
解析　不等式可变为->-,因为f(x)=-在R上是减函数,所以必有x12.设函数f(x)定义在实数集上,且y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有 (　　)
A.fB.fC.fD.f答案　B
解析　∵y=f(x+1)是偶函数,
故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
则f=f,f=f,
又∵当x≥1时,f(x)=3x-1为增函数,
且<<,故f即f13.(5分)已知a为正实数,且f(x)=-是奇函数,则f(x)的值域为　　　　.
答案　
解析　由f(x)为奇函数可知f(0)=0,
即-=0,
解得a=2,则f(x)=-,
∵2x>0,∴2x+1>1,∴0<<1,
∴-1<-<0,∴-<-<.
故f(x)的值域为.
14.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0且a≠1).若g(2)=a,则f(2)=　　　　.
答案　
解析　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2, ①
得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2, ②
①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.
又g(2)=a,∴a=2,
∴f(x)=2x-2-x,∴f(2)=22-2-2=.
15.若函数f(x)=πx-π-x+2 023x,则不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集为 (　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.(0,1] D.[-1,1]
答案　A
解析　由题可知f(x)的定义域为R,因为f(-x)=π-x-πx-2 023x=-(πx-π-x+2 023x)=-f(x),
所以f(x)是奇函数,所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x),因为y=πx,y=-π-x,y=2 023x在R上均为增函数,所以f(x)在R上为增函数,所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故该不等式的解集为[1,+∞).
16.(12分)对于函数f(x)=a-(x∈R).
(1)判断并证明函数的单调性;(6分)
(2)是否存在实数a,使函数f(x)为奇函数 证明你的结论.(6分)
解　(1)函数f(x)在R上是增函数.
证明如下:函数f(x)的定义域为R.
任取x1,x2∈R,且x1有f(x1)-f(x2)=-
=-=.
因为y=2x是R上的增函数,x1所以-<0,
又+1>0,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)为R上的增函数.
(2)因为x∈R,f(x)是奇函数,
所以f(0)=0,即a=1.
所以存在实数a=1,使函数f(x)为奇函数.
证明如下:当a=1时,f(x)=1-=.
对任意x∈R,f(-x)=
==-=-f(x),
又f(x)的定义域为R,故f(x)为奇函数.习题课　指数函数的综合问题
[学习目标]　1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.2.掌握指数函数在现实生活中的应用.3.掌握指数函数的综合性问题.
一、指数型函数的单调性
例1　(1)求函数y=的单调区间;
(2)求函数y=-8·+17的单调区间.
反思感悟　函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性,即同增异减.
跟踪训练1　求下列函数的单调区间.
(1)y=(a>0且a≠1);
(2)y=.
二、指数函数的实际应用
例2　某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与经过x(年)后的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).(参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
反思感悟　(1)解决指数函数应用题的流程
①审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息.
②建模:根据已知条件,列出指数函数的关系式.
③解模:运用数学知识解决问题.
④回归:还原为实际问题,归纳得出结论.
(2)在实际问题中,经常会遇到指数函数增长模型:设基数为N,平均增长率为p,则对于经过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x来表示,这是非常有用的函数模型.
(3)注意指数函数实际应用中多采用估算比较大小,要注重培养估算的能力.
跟踪训练2　(1)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古学家发现一批鱼化石,经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%,则该生物生存的年代距今约 (　　)
A.1.7万年 B.2.3万年
C.2.9万年 D.3.5万年
(2)已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为　　　　万件.
三、指数函数的综合运用
例3　设函数f(x)=-.
(1)证明:函数f(x)是奇函数;
(2)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域.
反思感悟　解决指数函数的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论.
跟踪训练3　已知定义在R上的奇函数f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性;
(3)求该函数的值域.
1.知识清单:
(1)指数型函数的单调性.
(2)指数函数在现实生活中的应用.
(3)指数函数的综合应用.
2.方法归纳:转化与化归、换元法.
3.常见误区:用换元法求解指数型复合函数的值域时,易忽视中间变量的范围致误.
1.函数f(x)=的单调递增区间为 (　　)
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
2.若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上 (　　)
A.单调递减且无最小值
B.单调递减且有最小值
C.单调递增且无最大值
D.单调递增且有最大值
3.为响应国家退耕还林的号召,某地的耕地面积在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2018年的耕地面积为m,则2023年的耕地面积为 (　　)
A.(1-0.1250)m B.0.m
C.0.9250m D.(1-0.)m
4.函数y=在(-∞,1)上单调递增,则a的取值范围是　　　　.
答案精析
例1　解　(1)y=的定义域为R.
令μ=x2-6x+17,y=在R上是减函数,
在(-∞,3)上,μ=x2-6x+17是减函数,
所以y=在(-∞,3)上是增函数.
在(3,+∞)上,μ=x2-6x+17是增函数,
所以y=在(3,+∞)上是减函数.
所以y=的单调递增区间是(-∞,3),单调递减区间是(3,+∞).
(2)y=-8·+17的定义域为R,
设t=,t>0,
所以y=t2-8t+17,
又y=t2-8t+17在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.
令<4,解得x>-2.
所以当-24>>,
即4>t1>t2,
所以-8t1+17<-8t2+17.
所以y=-8·+17的单调递增区间是(-2,+∞).
同理可得单调递减区间是(-∞,-2).
跟踪训练1　解　(1)易知y=(a>0且a≠1)的定义域为R,设y=au,u=x2+2x-3,
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,
得u在(-∞,-1)上为减函数,
在(-1,+∞)上为增函数.
当a>1时,y关于u为增函数;
当0所以当a>1时,原函数的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1);
当0(2)已知函数y=的定义域为{x|x≠0}.
设y=,u=0.2x,
易知u=0.2x为减函数.
而根据y=的图象可知在区间(-∞,1)和(1,+∞)上,y是关于u的减函数,所以原函数的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
例2　解　(1)1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100×(1+1.2%)2;
3年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)3;
…
x年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)10
=100×1.01210≈112.7(万人).
跟踪训练2　(1)C　(2)1.75
例3　(1)证明　函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
f(-x)=-
=-=
=-+=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明　设x1,x2是(-∞,+∞)内任意两个实数,且x1则f(x1)-f(x2)
=--+
=.
因为x1所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
(3)解　因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数,
所以f(x)min=f(1)=,
f(x)max=f(2)=.
所以函数f(x)在[1,2]上的值域为.
跟踪训练3　解　(1)因为f(x)是R上的奇函数,
所以
即解得
(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:
由(1)知f(x)=.
设x1,x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)=-
=
=.
因为y=2x是R上的增函数,且x1所以-<0.
又因为(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在R上是增函数.
(3)f(x)==
=1-.
由2x>0,得2x+1>1,
所以0<<2,
所以-1<1-<1,
即-1所以函数f(x)的值域为(-1,1).
随堂演练
1.A　2.A　3.B　4.[2,+∞)

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