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专题03 平面向量
1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
5．（2020·全国·高考真题）设向量，若，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，

故选：A
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
5．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
6．（2020·全国·高考真题）设为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
1．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

4．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
二、多选题
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
三、填空题
6．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
9．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
11．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
4．（2020·全国·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
5．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
6．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
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专题03 平面向量
1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ．
5．（2020·全国·高考真题）设向量，若，则 .
1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A． B． C． D．
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 .
6．（2020·全国·高考真题）设为单位向量，且，则 .
1．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ．
9．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
11．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
4．（2020·全国·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
6．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
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