资源简介

4.2.1　对数运算
[学习目标]　1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.掌握对数的基本性质及对数恒等式.
导语
苏格兰数学家纳皮尔,在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展,人们发现,对数与指数存在互逆的关系,然而更有意思的是“对数源自于指数”,而对数的发明却先于指数,对数是用来解决指数所不能解决的问题,让我们一起来发现对数与指数的关系吧!
一、对数的概念及应用
问题1　我们知道若2x=4,则x=2;若3x=81,则x=4;若=128,则x=-7等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x=3,1.11x=2,10x=5等这样的指数方程,你能求出方程的解吗
提示　用指数方程不能解决上述方程,为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,那就是发现了指数与对数的互逆关系,用对数来表示指数方程的解.
问题2　现在你能解指数方程2x=3,1.11x=2,10x=5了吗
提示　x=log23;x=log1.112;x=log105.
知识梳理
1.对数的概念:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.
2.两种特殊对数
常用对数:以10为底的对数称为常用对数,log10N可简写为lg N.
自然对数:以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,logeN通常简写为ln N.
3.对数式与指数式的互化关系:
若a>0且a≠1,则ax=N logaN=x.
注意点:
(1)因为对数是由指数转化而来,所以底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变化.
(2)logaN的读法:以a为底N的对数.
例1　将下列指数式与对数式互化:
(1)2-2=;(2)102=100;
(3)ea=16;(4)6=;
(5)log39=2;(6)logxy=z(x>0且x≠1,y>0).
解　(1)log2=-2.
(2)log10100=2,即lg 100=2.
(3)loge16=a,即ln 16=a.
(4)log64=-.
(5)32=9.
(6)xz=y.
反思感悟　指数式与对数式互化的思路
(1)将指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)将对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化:
(1)log216=4;(2)lox=6;
(3)43=64;(4)3-3=.
解　(1)因为log216=4,所以24=16.
(2)因为lox=6,所以()6=x.
(3)因为43=64,所以log464=3.
(4)因为3-3=,所以log3=-3.
例2　(1)求下列各式中x的值:
①log64x=-;②logx8=6;
③lg 100=x;④-ln e2=x.
解　①x=6=(43=4-2=.
②因为x6=8,x>0,且x≠1,
所以x=(x6==(23==.
③因为10x=100=102,所以x=2.
④由-ln e2=x,得-x=ln e2,
即e-x=e2.
所以x=-2.
(2)设a=log310,b=log37,求3a-b的值.
解　因为a=log310,b=log37,
所以3a=10,3b=7.
则3a-b==.
反思感悟　对数式中求值的基本方法
(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
(2)利用指数幂的运算性质求解.
跟踪训练2　(1)计算log927,lo81的值;
解　设x=log927,则9x=27,32x=33,
∴2x=3,x=.
设x=lo81,则()x=81,=34,
∴=4,x=16.
(2)求下列各式中x的值:
①log27x=-;②logx16=-4.
解　①∵log27x=-,
∴x=2=(33=3-1=.
②∵logx16=-4,
∴x-4=16,即x4==,
又x>0,且x≠1,∴x=.
二、对数的性质及对数恒等式
知识梳理
1.对数恒等式:=N(a>0且a≠1);logaab=b(a>0且a≠1).
2.对数的性质
(1)loga1=0(a>0且a≠1).
(2)logaa=1(a>0且a≠1).
(3)0和负数没有对数.
注意点:
对数恒等式中logaN前系数为1.
例3　求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1;
(3)x=.
解　(1)∵log2(log5x)=0,
∴log5x=20=1,∴x=51=5.
(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,
∴x=103=1 000.
(3)x===.
反思感悟　(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题.logaN=0 N=1;logaN=1 N=a可频繁使用,应在理解的基础上灵活运用.
(2)符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:=N,logaaN=N.
跟踪训练3　(1)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为 (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
答案　A
解析　∵log2(log3x)=0,∴log3x=1.∴x=3.
同理y=4,z=2.∴x+y+z=9.
(2)设=27,则x=　　　　.
答案　13
解析　∵=27,
∴2x+1=27,解得x=13.
三、常用对数与自然对数及求值
例4　求下列各式的值:
(1)e3ln 7;(2)lg 0.0012.
解　(1)e3ln 7=(eln 7)3=73=343.
(2)lg 0.0012=lg 10-6=-6.
反思感悟　求解此类问题时,应根据对数的性质和对数恒等式进行变形求解,还要注意指数式与对数式的互化运算.
跟踪训练4　(1)若lg 2=a,则100a=　　　　.
答案　4
解析　100a==(10lg 2)2=4.
(2)已知9b=3,lg x=3b,则x=　　　　.
答案　10
解析　因为9b=3,所以32b=3,即2b=1,解得b=.
因此lg x=,所以x==10.
1.知识清单:
(1)对数的概念.
(2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化.
(4)对数的性质.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
1.将=9写成对数式,正确的是 (　　)
A.log9=-2 B.lo9=-2
C.lo(-2)=9 D.log9(-2)=
答案　B
2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　　)
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
答案　ABD
解析　由指对互化的关系ax=N x=logaN可知A,B,D都正确;C中log39=2 9=32.
3.若log2(logx3)=-1,则x的值为 (　　)
A.3 B.
C. D.9
答案　D
解析　∵log2(logx3)=-1,∴logx3=2-1=,解得x=9.
4.计算:+2log31-3lg 10+3ln 1=　　　　.
答案　0
解析　+2log31-3lg 10+3ln 1
=3+2×0-3×1+3×0=0.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.(多选)下列说法正确的有 (　　)
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数称为常用对数
D.以e为底的对数称为自然对数
答案　ACD
解析　A,C,D正确,B不正确,只有当a>0且a≠1时,ax=N才能化为对数式.
2.log3等于 (　　)
A.4 B.-4
C. D.-
答案　B
解析　∵3-4=,∴log3=-4.
3.方程=的解是 (　　)
A.x= B.x=
C.x= D.x=9
答案　A
解析　因为=2-2,所以log3x=-2,
所以x=3-2=.
4.若loga=c(a>0且a≠1),则下列等式正确的是 (　　)
A.b5=ac B.b=a5c
C.b=5ac D.b=c5a
答案　B
解析　由loga=c,得ac=,所以b=a5c.
5.方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为 (　　)
A.-3 B.3
C.-1或3 D.1或-3
答案　B
解析　由题意得解得x>1.
由lg(x2-1)=lg(2x+2),
得x2-1=2x+2,
即x2-2x-3=0,解得x=-1(舍)或x=3.
所以原方程的根为x=3.
6.若loga3=m,loga5=n(a>0且a≠1),则a2m+n的值是 (　　)
A.15 B.75
C.45 D.225
答案　C
解析　由loga3=m,得am=3,
由loga5=n,得an=5,
∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
7.(5分)ln(lg 10)+=　　　　.
答案　4-π
解析　ln(lg 10)+=ln 1+4-π
=0+4-π=4-π.
8.(5分)十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展,改进计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数,后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即ab=N b=logaN.现已知2a=6,3b=36,则=　　　　.
答案　
解析　∵2a=6,3b=36,
∴a=log26,b=log336,
∴====.
9.(10分)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x的值.
(1)log2x=-;(5分)(2)logx3=-.(5分)
解　(1)因为log2x=-,
所以x====.
(2)因为logx3=-,所以=3,
即x=3-3=.
10.(12分)(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值;(6分)
(2)已知logx27=,求x的值.(6分)
解　(1)∵log189=a,log1854=b,
∴18a=9,18b=54,∴182a-b===.
(2)logx27==3×=3×2=6.
∴x6=27,∴x6=33,
又x>0且x≠1,∴x=.
11.“2a=2b”是“ln a=ln b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为2a=2b a=b,ln a=ln b
所以“2a=2b”是“ln a=ln b”的必要不充分条件.
12.已知logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0且a,b,c,x≠1),则logx(abc)等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得,x=a2=b=c4,
所以(abc)4=x7,
所以abc=.即logx(abc)=.
13.若a>0,=,则loa等于 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案　B
解析　因为=,a>0,所以a==,
所以loa=3.
14.(5分)若log(1-x)(1+x)2=1,则x=　　　　.
答案　-3
解析　由log(1-x)(1+x)2=1,
得(1+x)2=1-x,
∴x2+3x=0,∴x=0或x=-3.
又∴x=-3.
15.(5分)已知log5(log3(log2 a))=0,则3的值为　　　　.
答案　64
解析　因为log5(log3(log2a))=0,所以log3(log2a)=1,所以log2a=3,解得a=8,所以3=3=(62==()2=82=64.
16.(12分)若lox=m,loy=m+2,求的值.
解　因为lox=m,所以=x,x2=.
因为loy=m+2,
所以=y,y=.
所以====16.4.2.1　对数运算
[学习目标]　1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.掌握对数的基本性质及对数恒等式.
一、对数的概念及应用
问题1　我们知道若2x=4,则x=2;若3x=81,则x=4;若=128,则x=-7等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x=3,1.11x=2,10x=5等这样的指数方程,你能求出方程的解吗
问题2　现在你能解指数方程2x=3,1.11x=2,10x=5了吗
知识梳理
1.对数的概念:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=　　　　,其中a称为对数的　　　　　,N称为对数的　　　　　.
2.两种特殊对数
常用对数:以10为底的对数称为　　　　,log10N可简写为　　　　　.
自然对数:以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为　　　　　,logeN通常简写为　　　　　.
3.对数式与指数式的互化关系:
若a>0且a≠1,则ax=N logaN=　　　.
例1　将下列指数式与对数式互化:
(1)2-2=;(2)102=100;
(3)ea=16;(4)6=;
(5)log39=2;
(6)logxy=z(x>0且x≠1,y>0).
反思感悟　指数式与对数式互化的思路
(1)将指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)将对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化:
(1)log216=4;　(2)lox=6;
(3)43=64;　(4)3-3=.
例2　(1)求下列各式中x的值:
①log64x=-;　②logx8=6;
③lg 100=x;　④-ln e2=x.
(2)设a=log310,b=log37,求3a-b的值.
反思感悟　对数式中求值的基本方法
(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
(2)利用指数幂的运算性质求解.
跟踪训练2　(1)计算log927,lo81的值;
(2)求下列各式中x的值:
①log27x=-;　②logx16=-4.
二、对数的性质及对数恒等式
知识梳理
1.对数恒等式:=　　　(a>0且a≠1);logaab=　　　(a>0且a≠1).
2.对数的性质
(1)loga1=　　　(a>0且a≠1).
(2)logaa=　　　(a>0且a≠1).
(3)0和负数没有对数.
例3　求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;　(2)log3(lg x)=1;
(3)x=.
反思感悟　(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题.logaN=0 N=1;logaN=1 N=a可频繁使用,应在理解的基础上灵活运用.
(2)符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:=N,logaaN=N.
跟踪训练3　(1)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为 (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
(2)设=27,则x=　　　　.
三、常用对数与自然对数及求值
例4　求下列各式的值:
(1)e3ln 7;　(2)lg 0.0012.
反思感悟　求解此类问题时,应根据对数的性质和对数恒等式进行变形求解,还要注意指数式与对数式的互化运算.
跟踪训练4　(1)若lg 2=a,则100a=　　　　.
(2)已知9b=3,lg x=3b,则x=　　　　.
1.知识清单:
(1)对数的概念.
(2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化.
(4)对数的性质.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
1.将=9写成对数式,正确的是 (　　)
A.log9=-2 B.lo9=-2
C.lo(-2)=9 D.log9(-2)=
2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　　)
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
3.若log2(logx3)=-1,则x的值为 (　　)
A.3 B.
C. D.9
4.计算:+2log31-3lg 10+3ln 1=　　　　.
答案精析
问题1　用指数方程不能解决上述方程,为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,那就是发现了指数与对数的互逆关系,用对数来表示指数方程的解.
问题2　x=log23;x=log1.112;x=log105.
知识梳理
1.logaN　底数　真数　2.常用对数　lg N　自然对数　ln N　3.x
例1　解　(1)log2=-2.
(2)log10100=2,即lg 100=2.
(3)loge16=a,即ln 16=a.
(4)log64=-.
(5)32=9.
(6)xz=y.
跟踪训练1　解　(1)因为log216=4,所以24=16.
(2)因为lox=6,所以()6=x.
(3)因为43=64,所以log464=3.
(4)因为3-3=,所以log3=-3.
例2　(1)解　①x=6=(43
=4-2=.
②因为x6=8,x>0,且x≠1,
所以x=(x6==(23==.
③因为10x=100=102,所以x=2.
④由-ln e2=x,得-x=ln e2,
即e-x=e2.
所以x=-2.
(2)解　因为a=log310,b=log37,
所以3a=10,3b=7.
则3a-b==.
跟踪训练2　(1)解　设x=log927,则9x=27,32x=33,
∴2x=3,x=.
设x=lo81,则()x=81,=34,
∴=4,x=16.
(2)解　①∵log27x=-,
∴x=2=(33=3-1=.
②∵logx16=-4,
∴x-4=16,即x4==,
又x>0,且x≠1,∴x=.
知识梳理
1.N　b　2.(1)0　(2)1
例3　解　(1)∵log2(log5x)=0,
∴log5x=20=1,∴x=51=5.
(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,
∴x=103=1 000.
(3)x===.
跟踪训练3　(1)A　(2)13
例4　解　(1)e3ln 7=(eln 7)3=73=343.
(2)lg 0.0012=lg 10-6=-6.
跟踪训练4　(1)4　(2)10
随堂演练
1.B　2.ABD　3.D　4.0

展开更多......

收起↑