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4.2.2　对数运算法则
[学习目标]　1.掌握对数的运算法则,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明.
导语
同学们,数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史,从人们对天文、航天、航海感兴趣开始,发现数太大了,天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算,对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”,对整个科学的发展起了重要作用.
一、对数的运算法则
问题1　将指数式M=ap,N=aq化为对数式,结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式 它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示　由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN.
由MN=ap+q得p+q=loga(MN).
从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
问题2　结合问题1,若==ap-q,又能得到什么结论
提示　将指数式=ap-q化为对数式,得
loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
问题3　结合问题1,若Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何结果
提示　由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1,M>0,n∈R).
知识梳理
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMα=αlogaM.
(3)loga=logaM-logaN.
为方便记忆,上述法则可表述为:积的对数等于对数之和,商的对数等于对数之差,幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数.
注意点:
(1)法则的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为:loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N+.
例1　计算下列各式的值:
(1)log345-log35;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18;
(4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
解　(1)原式=log3=log39=log332=2.
(2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
(4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3.
反思感悟　利用对数运算法则化简与求值的原则和方法
(1)基本原则:
①正用或逆用运算法则,对真数进行处理;
②选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法:
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
跟踪训练1　计算下列各式的值:
(1)2log23-log2+log27-;
(2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).
解　(1)原式=log29-log2+log27-2
=log2-2=3-2=1.
(2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=.
二、换底公式
问题4　上节课我们学习了对数的运算性质,但对于一些式子,比如log48,log927等式子的化简求值问题还不能做到,你能解决这个问题吗
提示　设log48=x,故有4x=8,即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我们大胆猜测log48=,同样log927=.
问题5　是否对任意的logab都可以表示成logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1) 说出你的理由.
提示　依据当a>0且a≠1时,ax=N logaN=x推导得出.
令=x,则logcb=xlogca=logcax,
故b=ax,
∴x=logab,∴logab=.
知识梳理
1.logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN=(N>0且N≠1,a>0且a≠1).
(2)bm=logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1).
注意点:
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=(a>0且a≠1,b>0).
例2　(1)计算:(log43+log83)log32=　　　　.
答案　
解析　原式=log32
=log32=+=.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
解　方法一　因为18b=5,所以b=log185.
所以log3645==
===
==.
方法二　因为18b=5,所以b=log185,
所以log3645==
==.
方法三　因为log189=a,18b=5,
所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,
所以log3645===
==.
反思感悟　换底公式可实现不同底数的对数式之间的转化,然后再运用对数运算法则进行同底数的对数运算.可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.
跟踪训练2　已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
解　因为log23=a,所以=log32,
又因为log37=b,
所以log4256===.
三、对数运算的综合问题
例3　(1)设a=lg 2,b=lg 3,试用a,b表示lg.
解　因为108=4×27=22×33,
所以lg=lg 108=lg(22×33)
=lg 22+lg 33=lg 2+lg 3=a+b.
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求-的值.
解　令3x=4y=6z=a(a>1),
所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以-=-=×-×=-==.
反思感悟　(1)与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题,要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
跟踪训练3　已知3a=4b=c,且+=2,求实数c的值.
解　由题意知c>0且c≠1,由3a=4b=c,得a=log3c,b=log4c,
所以==logc3,==logc4.
又+=2,
所以logc3+logc4=logc12=2,即c2=12,
所以c=2.
1.知识清单:
(1)对数的运算法则.
(2)换底公式.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件.
1.log5+log53等于 (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.log5
答案　A
解析　log5+log53=log5=log51=0.
2.计算:log232-2log24等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　A
解析　log232-2log24=log2=log22=1.
3.若log5×log36×log6x=2,则x等于 (　　)
A.9 B.
C.25 D.
答案　D
解析　由题意得××=-=2,
所以lg x=-2lg 5=lg 5-2,所以x=5-2=.
4.计算:+2lg 2-lg =　　　　.
答案　
解析　原式=(23+lg 4-(lg 1-lg 25)
=+lg(4×25)=+2=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分
1.(多选)下列各式(各式均有意义)不正确的为 (　　)
A.loga(MN)=logaM+logaN
B.loga(M-N)=
C.=
D.lob=-nlogab
答案　BD
2.log29×log34的值为 (　　)
A.14 B.12
C.2 D.4
答案　D
解析　log29×log34=×=×=4.
3.(log312-2log32)等于 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
答案　B
解析　∵log64+log63=log6+log63
=log62+log63=log66=1,
log312-2log32=log312-log34=log33=1,
∴(log312-2log32)=1.
4.已知log3x=m,log3y=n,则log3用m,n可表示为 (　　)
A.m-n B.m-n
C.- D.m-n
答案　D
解析　log3=log3-log3=log3-log3(y·=log3x-log3y
=m-n.
5.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则-等于 (　　)
A. B.3
C.- D.-3
答案　A
解析　由2.5x=1 000,0.25y=1 000得
x=log2.51 000=,y=log0.251 000=,
∴-=-=.
6.(多选)若log2m=log4n,则 (　　)
A.n=2m B.log9n=log3m
C.ln n=2ln m D.log2m=log8mn
答案　BCD
解析　因为log2m=log4n,所以m>0,n>0,又log2m=lon=log2n=log2,所以m=,即m2=n,故A错误;log9n=lom2=log3m=log3m,故B正确;ln n=ln m2=2ln m,故C正确;log8mn=lom3=log2m=log2m,故D正确.
7.(5分)log3+lg 4+lg 25+=　　　　.
答案　
解析　原式=+lg 102+1=+2+1=.
8.(5分)设log23·log36·log6m=log4(2m+8),则实数m=　　　　.
答案　4
解析　左边=××=log2m=log4m2,所以m2=2m+8,解得m=4或m=-2(负值舍去).
9.(10分)计算下列各式的值:
(1)log535+2lo-log5-log514;(5分)
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).(5分)
解　(1)原式=log535+log550-log514+2lo
=log5+lo2=log553-1=2.
(2)方法一　原式=
=
=log25·3log52=13log25·=13.
方法二　原式=
=
=×=13.
10.(10分)若2a=3,3b=5,试用a与b表示log4572.
解　∵2a=3,3b=5,∴log23=a,log35=b,
∴log25=log23×log35=ab,
∴log4572==
==.
11.(多选)已知a,b均为正实数,若logab+logba=,则logab等于 (　　)
A. B.
C. D.2
答案　AD
解析　令logab=t,则logba=,即t+=,
所以2t2-5t+2=0,即(2t-1)(t-2)=0,
解得t=或t=2,
所以logab=或logab=2.
12.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是 (　　)
A.-2 B.-2或5
C.5 D.3
答案　C
解析　原方程可化为log3(x2-10)=log3(3x),
所以x2-10=3x,
解得x=-2或x=5.
又解得x>,故x=5.
13.设log83=p,log35=q,则lg 5等于 (　　)
A.p2+q2 B.(3p+2q)
C. D.pq
答案　C
解析　∵log83===p,
∴lg 3=3plg 2.
∵log35==q,
∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5),
∴lg 5=.
14.(5分)计算:=　　　　.
答案　-4
解析　=
==-4.
15.设f(n)=logn+1(n+2)(n∈N+),现把满足乘积f(1)·f(2)·…·f(n)为整数的n叫做“贺数”,则在区间(1,2 023)内所有“贺数”的个数是 (　　)
A.9 B.10
C.29 D.210
答案　A
解析　∵f(n)=logn+1(n+2)=,
∴f(1)·f(2)·…·f(n)=××…×==log2(n+2).
∵n∈(1,2 023),∴n+2∈(3,2 025).
∵210=1 024,211=2 048,
∴在(3,2 025)内含有22,23,…,210,共9个数.
∴在区间(1,2 023)内所有“贺数”的个数是9.
16.(12分)已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p;(6分)
(2)求证:-=.(6分)
(1)解　设3x=4y=6z=k(显然k>0且k≠1),
则x=log3k,y=log4k,z=log6k,
由2x=py,得2log3k=plog4k=p·,
∵log3k≠0,∴p=2log34.
(2)证明　∵-=-=logk6-logk3
=logk2=logk4=,
∴-=.4.2.2　对数运算法则
[学习目标]　1.掌握对数的运算法则,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明.
一、对数的运算法则
问题1　将指数式M=ap,N=aq化为对数式,结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式 它们之间有何联系(用一个等式表示)
问题2　结合问题1,若==ap-q,又能得到什么结论
问题3　结合问题1,若Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何结果
知识梳理
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么
(1)loga(MN)=　　　　　　　　　　.
(2)logaMα=αlogaM.
(3)loga=　　　　　　　　　　　　.
为方便记忆,上述法则可表述为:积的对数等于对数之和,商的对数等于对数之差,幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数.
例1　计算下列各式的值:
(1)log345-log35;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18;
(4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
反思感悟　利用对数运算法则化简与求值的原则和方法
(1)基本原则:
①正用或逆用运算法则,对真数进行处理;
②选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法:
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
跟踪训练1　计算下列各式的值:
(1)2log23-log2+log27-;
(2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).
二、换底公式
问题4　上节课我们学习了对数的运算性质,但对于一些式子,比如log48,log927等式子的化简求值问题还不能做到,你能解决这个问题吗
问题5　是否对任意的logab都可以表示成logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1) 说出你的理由.
知识梳理
1.logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
2.对数换底公式的重要推论
(1)logaN=　　　　　　(N>0且N≠1,a>0且a≠1).
(2)bm=logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0).
(3)logab·logbc·logcd=　　　　(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1).
例2　(1)计算:(log43+log83)log32=　　　　.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
反思感悟　换底公式可实现不同底数的对数式之间的转化,然后再运用对数运算法则进行同底数的对数运算.可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.
跟踪训练2　已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
三、对数运算的综合问题
例3　(1)设a=lg 2,b=lg 3,试用a,b表示lg.
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求-的值.
反思感悟　(1)与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题,要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
跟踪训练3　已知3a=4b=c,且+=2,求实数c的值.
1.知识清单:
(1)对数的运算法则.
(2)换底公式.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件.
1.log5+log53等于 (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.log5
2.计算:log232-2log24等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若log5×log36×log6x=2,则x等于 (　　)
A.9 B.
C.25 D.
4.计算:+2lg 2-lg=　　　　.
答案精析
问题1　由M=ap,N=aq
得p=logaM,q=logaN.
由MN=ap+q得p+q=loga(MN).
从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
问题2　将指数式=ap-q化为对数式,得
loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).
问题3　由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1,M>0,n∈R).
知识梳理
(1)logaM+logaN
(3)logaM-logaN
例1　解　(1)原式=log3=log39=log332=2.
(2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2
=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
(4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3.
跟踪训练1　解　(1)原式=log29-log2+log27-2
=log2-2=3-2=1.
(2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=.
问题4　设log48=x,故有4x=8,
即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我们大胆猜测log48=,同样log927=.
问题5　依据当a>0且a≠1时,ax=N logaN=x推导得出.
令=x,
则logcb=xlogca=logcax,
故b=ax,
∴x=logab,∴logab=.
知识梳理
2.(1)　(3)logad
例2　(1)
解析　原式=log32
=log32=+=.
(2)解　因为18b=5,所以b=log185.
所以log3645=======.
跟踪训练2　解　因为log23=a,
所以=log32,
又因为log37=b,
所以log4256===.
例3　(1)解　因为108=4×27=22×33,
所以lg=lg 108=lg(22×33)
=lg 22+lg 33=lg 2+lg 3
=a+b.
(2)解　令3x=4y=6z=a(a>1),
所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以-=-=×-×=-==.
跟踪训练3　解　由题意知c>0且c≠1,由3a=4b=c,得a=log3c,
b=log4c,
所以==logc3,
==logc4.
又+=2,
所以logc3+logc4=logc12=2,
即c2=12,
所以c=2.
随堂演练
1.A　2.A　3.D　4.

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