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4.2.3　对数函数的性质与图象
第1课时　对数函数的概念、性质与图象
[学习目标]　1.理解对数函数的概念,会求简单对数函数的定义域.2.能画出具体对数函数的图象,并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.
导语
同学们,还记得我们是如何研究指数函数的吗 实际上,研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的,我们可以用类比的方法来研究对数函数.
一、对数函数的概念
问题1　你能解出指数方程2x=3吗 你能把2y=x化成对数式吗 x,y的范围如何
提示　x=log23;y=log2x;x>0,y∈R.
知识梳理
对数函数的定义
一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
注意点:
(1)系数为1.
(2)底数为常数a(a>0且a≠1).
(3)变量x为真数.
例1　(1)下列函数中是对数函数的有 (　　)
A.y=lox2 B.y=log3(x-1)
C.y=log(x+1)x D.y=logπx
答案　D
解析　只有D满足对数函数的定义.
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3),则f=　　　　.
答案　-1
解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1),
由图象过点M(8,3),得3=loga8,解得a=2.
所以对数函数的解析式为f(x)=log2x,
所以f=log2=-1.
反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1　(1)若函数f(x)=(a2-a+1)·log(a+1)x是对数函数,则实数a=　　　　.
答案　1
解析　由a2-a+1=1,解得a=1或a=0,
又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-8)=　　　　.
答案　-3
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3.
二、简单对数函数的图象
问题2　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
y=x … …
提示　(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5
2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5
(2)描点、连线.
问题3　为了更好地研究对数函数的性质,我们特别选取了底数a=3,4,,你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗
提示　
知识梳理
对数函数的图象
y=logax (a>0且a≠1)
底数 a>1 0图象
注意点:
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故过定点(1,0).
(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
例2　(1)如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取,则对应于c1,c2,c3,c4的a值依次为 (　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　方法一　观察在(1,+∞)上的图象,先排c1,c2底数的顺序,底数都大于1,当x>1时图象靠近x轴的底数大,c1,c2对应的a值分别为.然后考虑c3,c4底数的顺序,底数都小于1,当x<1时图象靠近x轴的底数小,c3,c4对应的a值分别为.综合以上分析,可得c1,c2,c3,c4的a值依次为.
方法二　如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以c1,c2,c3,c4对应的a值分别为.
(2)函数y=lg(x+1)的大致图象是 (　　)
答案　C
解析　由底数大于1可排除A,B,y=lg(x+1)可看作是y=lg x的图象向左平移1个单位.(或令x=0得y=0,而且函数为增函数)
反思感悟　函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(如图)
(1)上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0(2)左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
跟踪训练2　(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点 (　　)
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
答案　D
解析　令x+2=1,即x=-1,
得y=loga1+1=1,
故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
(2)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则 (　　)
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
答案　B
解析　作直线y=1(图略),则直线y=1与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0三、简单对数函数的性质
知识梳理
函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
过定点 图象过定点(1,0),即当x=1时,y=0
函数值 的变化 当x∈(0,1)时,y∈(-∞,0);当x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) 当x∈(0,1)时,y∈(0,+∞);当x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
例3　求下列函数的定义域:
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x);
(2)y=;
(3)y=.
解　(1)由题意得
解得-3因此函数y=loga(3-x)+loga(3+x)的定义域为(-3,3).
(2)由题意得
即解得x≤1.
因此函数y=的定义域为(-∞,1].
(3)要使函数有意义,需满足
即
解得-1因此函数y=的定义域为(-1,0).
反思感悟　求对数型函数的定义域需注意:
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)当对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
跟踪训练3　求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x).
解　(1)要使函数有意义,需
解得
即-3故所求函数的定义域为(-3,-2)∪[2,+∞).
(2)要使函数有意义,需16-4x>0,得4x<16=42,
由指数函数的单调性得x<2,
∴函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}.
1.知识清单:
(1)对数函数的概念.
(2)对数函数的图象.
(3)对数函数的性质.
2.方法归纳:定义法、数形结合法.
3.常见误区:对数函数底数有限制条件易忽视.
1.(多选)下列函数是对数函数的是 (　　)
A.y=loga(2x)
B.y=log(2a-1)x
C.y=log2x+1
D.y=lg x
答案　BD
解析　选项A,C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式.
2.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为 (　　)
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log2x
答案　D
解析　设该函数为y=logax(a>0且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=loga16,解得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为 (　　)
答案　D
解析　由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A,B;又x>0时,f(x)=ln(x+1),排除C.
4.函数f(x)=的定义域为　　　　.
答案　∪(0,+∞)
解析　由题意得
解得x>-且x≠0,所以函数f(x)的定义域为∪(0,+∞).
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.下列函数是对数函数的是 (　　)
A.y=log2x B.y=ln(x+1)
C.y=logxe D.y=logxx
答案　A
解析　由对数函数的特征可得只有A选项符合.
2.函数y=|log2x|的图象是 (　　)
答案　B
解析　此函数图象过点(1,0),且函数值为非负.
3.函数y=ln(1-x)的定义域为 (　　)
A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]
答案　B
解析　因为y=ln(1-x),
所以
解得0≤x<1.
4.函数y=ax与y=-logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是 (　　)
答案　A
解析　函数y=-logax恒过定点(1,0),排除B项;
当a>1时,y=ax是增函数,y=-logax是减函数,排除C项;
当05.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 (　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-1答案　C
解析　令g(x)=y=log2(x+1),函数g(x)的定义域为(-1,+∞),作出函数g(x)的图象,如图,
由
得
结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-16.(多选)已知函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1),下列关于f(x)的说法正确的是 (　　)
A.f(x)的定义域是(-∞,1)
B.f(x)的值域是R
C.f(x)的图象过原点
D.当a>1时,f(x)在定义域上是增函数
答案　ABC
解析　对于A,函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1),由1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域是(-∞,1),故A正确;对于B,1-x>0,函数f(x)的值域是R,故B正确;对于C,因为f(0)=loga1=0,所以函数f(x)的图象过原点,故C正确;对于D,当a>1时,令函数u=1-x,则u在(-∞,1)上为减函数,又y=logau为增函数,所以函数f(x)在定义域上是减函数,故D错误.
7.(5分)若函数f(x)=loga(x+3)+(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,且点P在函数y=bx(b>0且b≠1)上,则b=　　　　.
答案　
解析　因为f(x)=loga(x+3)+恒过定点P,
所以b-2=,又b>0,b≠1,解得b=.
8.(5分)函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(1,+∞)
解析　因为函数的定义域为R,即x2+2x+a>0,对 x∈R恒成立,
所以Δ=4-4a<0,解得a>1,
所以实数a的取值范围为(1,+∞).
9.(10分)若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1,0).
(1)求a的值;(5分)
(2)求函数的定义域.(5分)
解　(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)(a>0且a≠1)中,
有0=loga(-1+a),则-1+a=1,所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2),
由x+2>0,解得x>-2,
所以函数的定义域为(-2,+∞).
10.(12分)已知函数f(x)=lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;(4分)
(2)画出函数f(x)的草图;(4分)
(3)写出函数f(x)的单调区间.(4分)
解　(1)要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,
即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
又f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),
∴f(-x)=f(x).
∴函数f(x)是偶函数.
(2)由(1)知函数f(x)是偶函数,则其图象关于y轴对称,如图所示.
(3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).
11.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-4] B.(-4,1)
C.[-4,1) D.(0,1)
答案　C
解析　当x≥1时,f(x)=ln x-2a在(1,+∞)上为增函数,∴当x≥1时,f(x)≥f(1)=-2a,
∵f(x)的值域为R,∴当x<1时,f(x)=(1-a)x+3的值域需包含(-∞,-2a),
∴解得-4≤a<1.
∴实数a的取值范围是[-4,1).
12.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 (　　)
A.x2C.x1答案　A
解析　分别作出三个函数的大致图象和直线y=a,如图所示.
由图可知,x213.(5分)函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为　　　　.
答案　1
解析　由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10],
由a-lg x≥0,得lg x≤a,
又当014.(5分)函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在函数y=-x-的图象上,其中m>0,n>0,则+的最小值为　　　　.
答案　8
解析　∵x=-2时,y=loga1-1=-1,
∴函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),
∵点A在函数y=-x-的图象上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,
∵m>0,n>0,
∴+=(2m+n)=2+++2
≥4+2·=8,
当且仅当m=,n=时取等号.
15.(5分)如图,四边形OABC是面积为8的平行四边形,OC⊥AC,AC与BO交于点E.某对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象经过点E和点B,则a=　　　　.
答案　
解析　设点E(b,c),则C(b,0),A(b,2c),B(2b,2c).
则解得b=c=2,a=.
16.(12分)已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上时,点在函数y=g(x)的图象上.
(1)写出y=g(x)的解析式;(6分)
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.(6分)
解　(1)依题意得
则g=log2(x+1),
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0得,
log2(x+1)=log2(3x+1),
所以解得x=0或x=1.4.2.3　对数函数的性质与图象
第1课时　对数函数的概念、性质与图象
[学习目标]　1.理解对数函数的概念,会求简单对数函数的定义域.2.能画出具体对数函数的图象,并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.
一、对数函数的概念
问题1　你能解出指数方程2x=3吗 你能把2y=x化成对数式吗 x,y的范围如何
知识梳理
对数函数的定义
一般地,函数　　　　　　称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
例1　(1)下列函数中是对数函数的有 (　　)
A.y=lox2 B.y=log3(x-1)
C.y=log(x+1)x D.y=logπx
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3),则f=　　　　.
反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1　(1)若函数f(x)=(a2-a+1)·log(a+1)x是对数函数,则实数a=　　　　.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-8)=　　　　.
二、简单对数函数的图象
问题2　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
y=x … …
问题3　为了更好地研究对数函数的性质,我们特别选取了底数a=3,4,,你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗
知识梳理
对数函数的图象
y=logax (a>0且a≠1)
底数 a>1 0图象
例2　(1)如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取,则对应于c1,c2,c3,c4的a值依次为 (　　)
A. B.
C. D.
(2)函数y=lg(x+1)的大致图象是 (　　)
反思感悟　函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(如图)
(1)上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0(2)左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
跟踪训练2　(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点 (　　)
A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1)
(2)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则 (　　)
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
三、简单对数函数的性质
知识梳理
函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域
值域
单调性 在(0,+∞)上是　　　函数 在(0,+∞)上是　　　函数
性质 过定点 图象过定点　　　　　　　, 即当x=1时,y=0
函数值 的变化 当x∈(0,1)时,y∈　　　　;当x∈[1,+∞)时,y∈　　　　　 当x∈(0,1)时,y∈　　　　　;当x∈[1,+∞)时,y∈　　　　　
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于　　　　对称
例3　求下列函数的定义域:
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x);
(2)y=;　(3)y=.
反思感悟　求对数型函数的定义域需注意:
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)当对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
跟踪训练3　求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x).
1.知识清单:
(1)对数函数的概念.
(2)对数函数的图象.
(3)对数函数的性质.
2.方法归纳:定义法、数形结合法.
3.常见误区:对数函数底数有限制条件易忽视.
1.(多选)下列函数是对数函数的是 (　　)
A.y=loga(2x)
B.y=log(2a-1)x
C.y=log2x+1
D.y=lg x
2.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为 (　　)
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log2x
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为 (　　)
4.函数f(x)=的定义域为　　　　　　　　　　　　　.
答案精析
问题1　x=log23;y=log2x;x>0,y∈R.
知识梳理
y=logax
例1　(1)D　(2)-1　
跟踪训练1　(1)1　(2)-3
问题2　(1)-2　-1
0　1　2　3　4　5
2　1　0　　-1
-2　-3　-4　-5
(2)描点、连线.
问题3
例2　(1)A　(2)C
跟踪训练2　(1)D　(2)B
知识梳理
(0,+∞)　R　增　减　(1,0)
(-∞,0)　[0,+∞)
(0,+∞)　(-∞,0]　x轴
例3　解　(1)由题意得
解得-3因此函数y=loga(3-x)+loga(3+x)的定义域为(-3,3).
(2)由题意得
即解得x≤1.
因此函数y=的定义域为(-∞,1].
(3)要使函数有意义,需满足
即
解得-1因此函数y=的定义域为(-1,0).
跟踪训练3　解　(1)要使函数有意义,需
解得
即-3故所求函数的定义域为
(-3,-2)∪[2,+∞).
(2)要使函数有意义,需16-4x>0,得4x<16=42,
由指数函数的单调性得x<2,
∴函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}.
随堂演练
1.BD　2.D　3.D
4.∪(0,+∞)

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