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第2课时　对数函数的图象与性质的应用
[学习目标]　1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题.
导语
通过本节课的学习,进一步理解对数函数的图象和性质,并能利用对数函数的图象和性质解决比较大小、解不等式、判断单调性、求最值等综合问题.
一、对数函数图象的辨识
例1　已知y=lg x的图象如图所示,由图象作出y=lg|x|和y=|lg x|的图象,并解答以下问题:
(1)函数y=lg|x| (　　)
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
答案　B
解析　作出y=lg|x|的图象如图(1)所示.
从图可以看出,选项B正确.
(2)函数f(x)=|lg x|,若0f(b).
证明:ab<1.
证明　作出y=|lg x|的图象如图(2)所示,由图可以看出,若0f(b),此时有ab<1成立;
若0则f(a)=|lg a|=-lg a,
f(b)=|lg b|=lg b.
因为f(a)>f(b),所以-lg a>lg b,
即lg a+lg b<0,
lg(ab)<0,所以ab<1;
若1f(b)相矛盾.
综上可知,当0f(b)时,
ab<1.
反思感悟　(1)对有关对数函数的图象问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变化得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(2)常见的函数图象的变换技巧
①平移符合“左加右减,上加下减”的规律.
②y=f(x)y=f(|x|).
③y=f(x)y=|f(x)|.
④y=f(x)y=f(-x).
⑤y=f(x)y=-f(x).
⑥y=f(x)y=-f(-x).
跟踪训练1　(1)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是 (　　)
答案　B
解析　若0若a>1,则函数y=ax为增函数且过点(0,1),函数y=loga(-x)为减函数且过点(-1,0).故只有选项B中的图象符合.
(2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=b+logax的图象大致是 (　　)
答案　D
解析　由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象可知0因为b<-1,所以函数g(x)=b+logax的图象与x轴的交点位于(0,0)与(1,0)之间.
二、对数函数性质的应用
例2　(1)比较下列各组中两个值的大小:
①ln 0.3,ln 2;
②loga3.1,loga5.2(a>0且a≠1);
③log30.2,log40.2;
④log3π,logπ3.
解　①因为函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3②当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1当0又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
综上所述,当a>1时,loga3.1当0loga5.2.
③因为0>log0.23>log0.24,所以<,
即log30.2④因为函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数,
且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
(2)求lox>lo(4-x)关于x的解集.
解　由题意得
解得0所以原不等式的解集为{x|0反思感悟　(1)比较对数值大小时常用的4种方法
①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.
②若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
③若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较.
④若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(2)常见对数不等式的2种解法
①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0②形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.
跟踪训练2　(1)已知a=,b=log2,c=lo,则 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
答案　D
解析　∵0lo=1,∴c>a>b.
(2)若loga<1(a>0且a≠1),求实数a的取值范围.
解　loga<1,即loga当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,
所以loga当0由loga所以实数a的取值范围为∪(1,+∞).
三、对数函数的综合问题
例3　(1)求函数y=lo(1-x2)的单调递增区间,并求函数的最小值.
解　要使y=lo(1-x2)有意义,则1-x2>0,
所以x2<1,即-1因此函数y=lo(1-x2)的定义域为(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
当x∈(-1,0]时,若x增大,
则t增大,y=lot减小,
所以当x∈(-1,0]时,y=lo(1-x2)是减函数;
同理当x∈[0,1)时,y=lo(1-x2)是增函数.
故函数y=lo(1-x2)的单调递增区间为[0,1),且函数的最小值ymin=lo(1-02)=0.
(2)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
①求f(x)的定义域;
②判断函数的奇偶性和单调性.
解　①要使此函数有意义,
则有>0,即(x+1)(x-1)>0,
解得x>1或x<-1,
故此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
②f(-x)=loga=loga
=-loga=-f(x).
又由①知f(x)的定义域关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
f(x)=loga=loga,
函数u=1+在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减.
所以当a>1时,f(x)=loga在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减;
当0反思感悟　(1)解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是要注意其定义域;二是看底数是否需要进行分类讨论;三是利用换元法解决复合函数单调性与最值问题;四是运用同增异减来判断复合函数单调性.
(2) 判断函数的奇偶性,应先求出定义域,看是否关于原点对称,再利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数.
跟踪训练3　(1)求下列函数的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo(3+2x-x2).
解　①y=log2(x2+4)的定义域为R.
因为x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
②设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因为u>0,所以0又y=lou在(0,4]上为减函数,
所以lou≥lo4=-2,
所以y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).
(2)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=f2(x)+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
解　∵f(x)=2+log3x,
∴y=f2(x)+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=f2(x)+f(x2)有意义,必须满足∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
∴函数y=f2(x)+f(x2)取得最大值13,此时x=3.
1.知识清单:
(1)对数值的大小比较.
(2)利用单调性解对数不等式.
(3)求对数型复合函数的单调区间或值域.
(4)对数函数的综合应用.
2.方法归纳:换元法、分类讨论法.
3.常见误区:求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是 (　　)
A.(-∞,7] B.(2,7]
C.[7,+∞) D.(2,+∞)
答案　B
解析　因为lg(2x-4)≤1,所以0<2x-4≤10,
解得22.函数f(x)=log2|2x-4|的图象为 (　　)
答案　A
解析　函数f(x)=log2|2x-4|的图象可以看作是将函数y=log2|2x|的图象向右平移2个单位得到的.
3.若a=20.2,b=log43.2,c=log20.5,则 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案　A
解析　∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1,
∴a>b>c.
4.函数f(x)=的值域为　　　　.
答案　(-∞,2)
解析　当x≥1时,lox≤lo1=0,
所以当x≥1时,f(x)≤0,
当x<1时,0<2x<21,即0因此函数f(x)的值域为(-∞,2).
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分
1.已知实数a=log45,b=,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.bC.c答案　D
解析　由题意知,a=log45>1,b==1,
c=log30.4<0,故c2.若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y=loga(x2+2)的最大值为-1,则实数a的值为 (　　)
A.2 B.
C.3 D.
答案　B
解析　因为ax≥1=a0的解集为{x|x≤0},所以03.(多选)使lo(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A.x> B.x<或x>3
C.2答案　CD
解析　∵lo(2x-3)>-2=lo=lo4,
∴0<2x-3<4,解得不等式的解集为.
根据题意,题目答案所对应的集合必须是所求集合的真子集.故选C,D.
4.已知函数f(x)=|lox|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为 (　　)
A.[1,2] B.(1,2]
C.[1,2) D.(1,2)
答案　A
解析　作出f(x)=|lox|的图象(如图)可知,
f=f(2)=1,f(1)=0,
由题意结合图象知1≤m≤2.
5.函数y=lo(-3+4x-x2)的单调递增区间是 (　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(2,3)
答案　D
解析　由-3+4x-x2>0,得x2-4x+3<0,
得1设t=-3+4x-x2(1∵函数y=lot为减函数,
∴要求函数y=lo(-3+4x-x2)的单调递增区间,
即求函数t=-3+4x-x2,1∵函数t=-3+4x-x2,1∴函数y=lo(-3+4x-x2)的单调递增区间是(2,3).
6.若函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(0,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,2] D.[2,+∞)
答案　D
解析　令u=ax-2,则函数y=ln u在(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上单调递增,则函数u=ax-2在(1,+∞)上单调递增,且 x>1,ax-2>0,因此解得a≥2,所以实数a的取值范围为[2,+∞).
7.(5分)函数y=lo(1-3x)的值域为　　　　.
答案　(0,+∞)
解析　因为3x>0,所以-3x<0,所以1-3x<1.
设t=1-3x,0又y=lot是关于t的减函数,
所以y=lot>lo1=0,
即所求函数值域为(0,+∞).
8.(5分)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=　　　　.
答案　4
解析　因为a>1,
所以f(x)=logax在[a,2a]上单调递增,
所以loga(2a)-logaa=,
即loga2=,
所以=2,解得a=4.
9.(10分)已知f(x)=log4(4x-1).
(1)求f(x)的定义域;(3分)
(2)讨论f(x)的单调性;(3分)
(3)求f(x)在区间上的值域.(4分)
解　(1)由4x-1>0,解得x>0,
因此f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设0因此log4(-1)即f(x1)故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)由(2)知f(x)在区间上单调递增,
又f=0,f(2)=log415,
因此f(x)在上的值域为[0,log415].
10.(12分)已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).
(1)当a=-1时,求函数f(x)的值域;(6分)
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.(6分)
解　(1)当a=-1时,f(x)=lo(x2+2x+3),
∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,
∴lo(x2+2x+3)≤lo 2=-1,
∴函数f(x)的值域为(-∞,-1].
(2)要使函数f(x)的值域为R,则y=x2-2ax+3的值域包含(0,+∞),即与x轴有交点,
∴Δ=(-2a)2-4×1×3≥0,
解得a≤-或a≥,
∴实数a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).
11.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数,又是增函数,则g(x)=loga(x+k)的大致图象是 (　　)
答案　B
解析　∵函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上是奇函数,
∴f(0)=0,∴k=2,
经检验k=2满足题意,
又函数为增函数,
∴a>1,∴g(x)=loga(x+2),
定义域为{x|x>-2},且为增函数.
12.若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称这两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),则是“同形函数”的是 (　　)
A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
答案　A
解析　∵f4(x)=log2(2x)=1+log2x,
∴f2(x)=log2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位,得到y=log2x的图象,然后再沿着y轴向上平移1个单位,得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的图象,根据“同形函数”的定义,可知选A.
13.(5分)已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　　　.
答案　(0,1]
解析　函数f(x)的图象如图所示,
要使y=a与f(x)的图象有两个不同交点,则014.(5分)当0答案　
解析　易知0,解得a>,所以15.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　　.
答案　∪(2,+∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函数,
∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(-∞,0]上为减函数,
作出函数图象如图所示.
由f=0,得f=0.
∴f(lox)>0 lox<-或lox> x>2或0∴x∈∪(2,+∞).
16.(12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)用定义证明f(x)在定义域上是增函数;(6分)
(2)求不等式f(2x-5)+f(2-x)<0的解集.(6分)
(1)证明　由对数函数的定义得
解得
即-1设-1则f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x2)+lg(1-x2)=lg .
∵-1∴0<1+x1<1+x2,
0<1-x2<1-x1,
于是0<<1,0<<1,
则0<<1,
∴lg<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)即函数f(x)是(-1,1)上的增函数.
(2)解　∵f(x)的定义域为(-1,1),
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
∴不等式f(2x-5)+f(2-x)<0可转化为f(2x-5)<-f(2-x)=f(x-2),
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴
解得2∴不等式的解集为{x|2[学习目标]　1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题.
一、对数函数图象的辨识
例1　已知y=lg x的图象如图所示,由图象作出y=lg|x|和y=|lg x|的图象,并解答以下问题:
(1)函数y=lg|x| (　　)
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
(2)函数f(x)=|lg x|,若0f(b).证明:ab<1.
反思感悟　(1)对有关对数函数的图象问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变化得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(2)常见的函数图象的变换技巧
①平移符合“左加右减,上加下减”的规律.
②y=f(x)y=f(|x|).
③y=f(x)y=|f(x)|.
④y=f(x)y=f(-x).
⑤y=f(x)y=-f(x).
⑥y=f(x)y=-f(-x).
跟踪训练1　(1)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是 (　　)
(2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=b+logax的图象大致是 (　　)
二、对数函数性质的应用
例2　(1)比较下列各组中两个值的大小:
①ln 0.3,ln 2;
②loga3.1,loga5.2(a>0且a≠1);
③log30.2,log40.2;
④log3π,logπ3.
(2)求lox>lo(4-x)关于x的解集.
反思感悟　(1)比较对数值大小时常用的4种方法
①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.
②若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
③若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较.
④若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(2)常见对数不等式的2种解法
①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0②形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.
跟踪训练2　(1)已知a=,b=log2,c=lo,则 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若loga<1(a>0且a≠1),求实数a的取值范围.
三、对数函数的综合问题
例3　(1)求函数y=lo(1-x2)的单调递增区间,并求函数的最小值.
(2)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
①求f(x)的定义域;
②判断函数的奇偶性和单调性.
跟踪训练3　(1)求下列函数的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo(3+2x-x2).
(2)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=f2(x)+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
1.知识清单:
(1)对数值的大小比较.
(2)利用单调性解对数不等式.
(3)求对数型复合函数的单调区间或值域.
(4)对数函数的综合应用.
2.方法归纳:换元法、分类讨论法.
3.常见误区:求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是 (　　)
A.(-∞,7] B.(2,7]
C.[7,+∞) D.(2,+∞)
2.函数f(x)=log2|2x-4|的图象为 (　　)
3.若a=20.2,b=log43.2,c=log20.5,则 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
4.函数f(x)=的值域为　　　　.
答案精析
例1　(1)B
(2)证明　作出y=|lg x|的图象如图(2)所示,
由图可以看出,
若0f(b),此时有
ab<1成立;
若0则f(a)=|lg a|=-lg a,
f(b)=|lg b|=lg b.
因为f(a)>f(b),所以-lg a>lg b,
即lg a+lg b<0,
lg(ab)<0,所以ab<1;
若1f(b)相矛盾.
综上可知,当0f(b)时,
ab<1.
跟踪训练1　(1)B　(2)D
例2　(1)解　①因为函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,且0.3<2,
所以ln 0.3②当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1当0又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
综上所述,当a>1时,
loga3.1当0loga5.2.
③因为0>log0.23>log0.24,
所以<,
即log30.2④因为函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,
所以log3π>logπ3.
(2)解　由题意得
解得0所以原不等式的解集为{x|0跟踪训练2　(1)D
(2)解　loga<1,
即loga当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,
所以loga当0由loga即0所以实数a的取值范围为
∪(1,+∞).
例3　(1)解　要使y=lo(1-x2)有意义,则1-x2>0,
所以x2<1,即-1因此函数y=lo(1-x2)的定义域为(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
当x∈(-1,0]时,若x增大,
则t增大,y=lot减小,
所以当x∈(-1,0]时,
y=lo(1-x2)是减函数;
同理当x∈[0,1)时,y=lo(1-x2)是增函数.
故函数y=lo(1-x2)的单调递增区间为[0,1),且函数的最小值
ymin=lo(1-02)=0.
(2)解　①要使此函数有意义,
则有>0,即(x+1)(x-1)>0,
解得x>1或x<-1,
故此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
②f(-x)=loga=loga
=-loga=-f(x).
又由①知f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
f(x)=loga=loga,
函数u=1+在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减.
所以当a>1时,f(x)=loga在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减;
当0跟踪训练3　(1)解　①y=log2(x2+4)的定义域为R.
因为x2+4≥4,
所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
②设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因为u>0,所以0又y=lou在(0,4]上为减函数,
所以lou≥lo4=-2,
所以y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).
(2)解　∵f(x)=2+log3x,
∴y=f2(x)+f(x2)
=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=f2(x)+f(x2)有意义,必须满足∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
∴函数y=f2(x)+f(x2)取得最大值13,此时x=3.
随堂演练
1.B　2.A　3.A　4.(-∞,2)

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