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4.3指数函数与对数函数的关系
[学习目标]　1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.
导语
在研究函数问题的过程中,我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数,例如函数y=2x与y=log2x,它们究竟有着怎样的关系呢 今天我们从它们的图象、性质等方面一起去探讨这一类函数.
一、反函数的概念
问题1　在同一平面直角坐标系内,画出函数y=2x与y=log2x的图象,观察两函数图象的关系.
提示　
知识梳理
反函数的概念
(1)一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.
(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).
注意点:
(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数图象关于y=x对称.
例1　判定下列函数是否存在反函数.
(1)
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
(2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A,B,C.
解　(1)∵f(x)=0时,x=1或x=2,即对应的x不唯一,因此f(x)的反函数不存在.
(2)由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1,1,2},值域为{-1,1,-2},且对值域中的任一个值,在定义域中都有唯一的x值与之对应,∴y=f(x)存在反函数.
反思感悟　判定存在反函数的方法
(1)用定义:若函数y=f(x)值域中任意一个y的值,在定义域中有唯一的x与之对应,则此函数的反函数存在,否则,反函数不存在.
(2)用单调性:若函数y=f(x)在定义域上单调,则它的反函数存在.
跟踪训练1　判定下列函数的反函数是否存在.
(1)
x 1 2 3 4 5
g(x) -1 0 1 -2 5
(2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A,B,C.
解　(1)因为对g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此g(x)的反函数g-1(x)存在.
(2)由y=f(x)的图象知,当y=1时,与之对应的x=-1或x=3,即与y=1对应的x的值不唯一,所以此函数的反函数不存在.
二、求反函数
问题2　函数y=2x+1,你能用y表示x吗 你能把函数解析式y=中的x和y互换吗
提示　x+1=log2y,x=-1+log2y;x=.
例2　求下列函数的反函数:
(1)f(x)=log2x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=5x+1.
解　(1)令y=log2x,得x=2y且y∈R,
∴f-1(x)=2x,x∈R.
(2)令y=,得x=loy且y>0,
∴f-1(x)=lox,x>0.
(3)令y=5x+1,得x=且y∈R,
∴f-1(x)=,x∈R.
反思感悟　(1)求反函数时,要先确定原函数的值域.
(2)求反函数解析式的两种方法:
①可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y,得到反函数y=f-1(x).
②从y=f(x)反解得到x=f-1(y),然后把x=f-1(y)中的x,y对调得到y=f-1(x).
(3)最后要注明反函数的定义域.
跟踪训练2　求下列函数的反函数:
(1)f(x)=+1(x≥0);
(2)f(x)=(x≠1).
解　(1)令y=+1,x≥0,
∴y≥1且x=(y-1)2.
∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为f-1(x)=(x-1)2,
x∈[1,+∞).
(2)令y==,
∴y=2+.
∴y≠2且x=.
∴f(x)=(x≠1)的反函数为f-1(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞).
三、互为反函数的图象与性质的应用
问题3　函数y=2x的定义域和值域与y=log2x的定义域和值域关系如何
提示　y=2x的定义域与y=log2x的值域相同,y=2x的值域与y=log2x的定义域相同.
知识梳理
1.反函数的性质
(1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.
(2)如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在,此时,如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
注意点:
(1)原函数与反函数定义域与值域的关系.
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
(3)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.
例3　(1)若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图象位于 (　　)
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
答案　D
解析　结合函数与反函数关于直线y=x对称,
即可得出反函数位于第一、四象限.
(2)已知函数f(x)=ax-k的图象过点(1,3),其反函数y=f-1(x)的图象过点(2,0),则f(x)的解析式为　　　　.
答案　f(x)=2x+1
解析　∵y=f-1(x)的图象过点(2,0),
∴y=f(x)的图象过点(0,2),
∴2=a0-k,∴k=-1,
∴f(x)=ax+1.
又∵y=f(x)的图象过点(1,3),
∴3=a1+1,
∴a=2,∴f(x)=2x+1.
反思感悟　互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,所以若点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,则点(b,a)必在其反函数y=f-1(x)的图象上.
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1,7),其反函数f-1(x)的图象过点(4,0),则f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=4x+3 B.f(x)=3x+4
C.f(x)=5x+2 D.f(x)=2x+5
答案　A
解析　∵f(x)的反函数图象过点(4,0),
∴f(x)的图象过点(0,4),
又f(x)=ax+b的图象过点(1,7),
∴联立方程组解得
故f(x)=4x+3.
(2)若函数y=的图象关于直线y=x对称,则a的值为　　　　.
答案　-1
解析　由y=可得x=,
则原函数的反函数是y=,
∴=,得a=-1.
1.知识清单:
(1)反函数的图象与原函数图象之间的关系.
(2)求函数的反函数.
(3)互为反函数的图象与性质的应用.
2.方法归纳:数形结合、转化与化归.
3.常见误区:不是所有函数都有反函数;y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.
1.函数y=lox(x>0)的反函数是 (　　)
A.y=,x>0 B.y=,x∈R
C.y=x2,x∈R D.y=2x,x∈R
答案　B
解析　互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.
2.已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f-1(x)的大致图象是 (　　)
答案　C
解析　由f(x)=3x-1可得f-1(x)=log3x+1,
∴图象为C.
3.(多选)已知函数f(x)在其定义域内单调递增,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为f-1(x),则 (　　)
A.f-1(-1)=1
B.f-1(x)在定义域内单调递增
C.f-1(1)=1
D.f-1(x)在定义域内单调递减
答案　AB
解析　由反函数的性质可知,f-1(-1)=1且f-1(x)在定义域内单调递增.
4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图象过点Q(5,2),则b=　　　　.
答案　1
解析　因为f-1(x)的图象过Q(5,2),
所以f(x)的图象过点(2,5),
则f(2)=5,
即22+b=5,解得b=1.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共12分
1.已知y=的反函数为y=f(x),若f(x0)=-,则x0等于 (　　)
A.-2 B.-1
C.2 D.
答案　C
解析　∵y=的反函数是f(x)=lox,
∴f(x0)=lox0=-.
∴x0===2.
2.(多选)函数y=1+ax(a>0且a≠1)的反函数的图象可能是 (　　)
答案　AC
解析　方法一　先画出y=1+ax的图象,由反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称可画出反函数的图象.
方法二　因为函数y=1+ax(a>0且a≠1)过(0,2),所以它的反函数必过(2,0)点.
3.已知函数f(x)=1+2lg x,则f(1)+f-1(1)等于 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　C
解析　根据题意,f(1)=1+2lg 1=1,
若f(x)=1+2lg x=1,解得x=1,
则f-1(1)=1,
故f(1)+f-1(1)=1+1=2.
4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点,则a等于 (　　)
A. B.2
C. D.
答案　A
解析　因为点在y=f(x)的图象上,
所以点在y=ax的图象上,则有=,
即a2=2,
又因为a>0,所以a=.
5.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　B
解析　f(x)=loga(x+b)的反函数为f-1(x)=ax-b,又f(x)的图象过点(2,1),
∴f-1(x)的图象过点(1,2),
∴解得或
又a>0,∴∴a+b=4.
6.(多选)已知函数f(x)=ax(a>1),其反函数为y=f-1(x),实数t满足f-1(t)<1-tA.-1 B.
C. D.
答案　BC
解析　∵函数f(x)=ax(a>1),
∴反函数为y=f-1(x)=logax,
又实数t满足f-1(t)<1-t∴logat<1-t1,
当t≤0时,显然不符合题意;
当01,logat<1-t∴0当t=1时,logat=0,1-t=0,at=a,不符合题意;
当t>1时,logat>0,1-t<0,at>a,不符合题意,
故t的取值范围为(0,1).
7.(5分)已知f(x)的图象经过点(2,3),f(x)的反函数为f-1(x),则f-1(x-2)的图象必经过点　　　　.
答案　(5,2)
解析　由题意可得f(2)=3,则f-1(3)=2,
即f-1(5-2)=2,
故函数f-1(x-2)的图象必过点(5,2).
8.(5分)若点既在f(x)=2ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a+b=　　　　.
答案　
解析　由题意知均在函数f(x)=2ax+b的图象上,故有
∴∴a+b=-+=.
9.(10分)求函数y=3x-4(x≥2)的反函数.
解　∵y=3x-4,∴3x=y+4,
∴x=log3(y+4),
∴y=log3(x+4),
又∵x≥2,
∴3x-4≥5,∴定义域为[5,+∞).
∴函数y=3x-4的反函数为y=log3(x+4)(x≥5).
10.(11分)已知函数f(x)=loga(2-x)(a>1).
(1)求函数f(x)的定义域、值域;(3分)
(2)求函数f(x)的反函数f-1(x);(4分)
(3)判断并证明f-1(x)的单调性.(4分)
解　(1)要使函数f(x)有意义,需满足2-x>0,即x<2,
故函数f(x)的定义域为(-∞,2),值域为R.
(2)由y=loga(2-x) ,得2-x=ay,
即x=2-ay.
∴f-1(x)=2-ax(x∈R).
(3)f-1(x)在R上是减函数.
证明如下:任取x1,x2∈R且x1∵f-1(x2)-f-1(x1)=2--2+
=-,
∵a>1,x1∴<,
即-<0,
∴f-1(x2)∴y=f-1(x)在R上是减函数.
11.已知a,b均为不等于1的正数,且满足lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是 (　　)
答案　B
解析　方法一　∵lg a+lg b=0,∴ab=1.
∵g(x)=-logbx的定义域是(0,+∞),∴排除A;若a>1,则0若01,
此时f(x)=ax是减函数,g(x)=-logbx是减函数.结合图象知选B.
方法二　∵lg a+lg b=0,
∴ab=1,即b=,
∴g(x)=-lox=logax,
∴f(x)与g(x)互为反函数,图象关于y=x对称,故选B.
12.(5分)若函数f(x)=x-(x>0)的反函数为y=f-1(x),则关于x的不等式f-1(x)≤3的解集为　　　　.
答案　
解析　易得f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,值域为R.则其反函数在R上也单调递增,
又f(3)=3-=,则f-1=3,
∴f-1(x)≤3,即f-1(x)≤f-1,
∴x≤,
即关于x的不等式f-1(x)≤3的解集为.
13.(5分)已知函数f(x)与函数g(x)=lox的图象关于直线y=x对称,则函数f(x2+2x)的单调递增区间是　　　　.
答案　(-∞,-1]
解析　由题意得f(x)=,
∴f(x2+2x)=,
∵f(x)在R上是减函数,
∴由同增异减的原则可知,所求函数的单调递增区间即为t=x2+2x的单调递减区间,即(-∞,-1].
14.(5分)函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞),则此函数的定义域为　　　　　　　　.
答案　(0,1)∪(1,2)
解析　由y=,得x=+1,y∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
即函数y=的反函数为y=+1,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
当x>1时,0<<1,
所以1<+1<2;
当x<-1时,-1<<0,
所以0<+1<1,
即反函数y=+1,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)的值域为(0,1)∪(1,2).
所以原函数y=的定义域为(0,1)∪(1,2).
15.已知函数y=f(x)的定义域是[-1,1],其图象如图所示,则不等式-1≤f-1(x)≤的解集是 (　　)
A.
B.
C.[-2,0)∪
D.[-1,0]∪
答案　C
解析　由题意,可得-1≤f-1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域.
当-1≤x<0时,由题图可知f(x)∈[-2,0),
当0≤x≤时,由题图可知f(x)∈,
故不等式-1≤f-1(x)≤的解集为[-2,0)∪.
16.(12分)已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).
(1)求定义域;(4分)
(2)若函数f(x)的反函数是其本身,求a的值;(4分)
(3)求函数y=f(x)+f(-x)的值域.(4分)
解　(1)由8-2x>0,得2x<8,
解得x<3,
∴f(x)的定义域为(-∞,3).
(2)令y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1),
解得x=log2(8-ay),
对调x,y,得y=log2(8-ax).
由于函数f(x)的反函数是其本身,
∴a=2.
(3)y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)].
令65-8(2x+2-x)>0,得8·(2x)2-65·2x+8<0,解得-3∴函数y=loga[65-8(2x+2-x)]的定义域为(-3,3).
∵2x+2-x=2x+≥2,当且仅当x=0时取等号,
∴0<65-8(2x+2-x)≤49,
故65-8(2x+2-x)的取值范围为(0,49].
故当a>1时,函数y=f(x)+f(-x)的值域为(-∞,loga49];当0[学习目标]　1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.
一、反函数的概念
问题1　在同一平面直角坐标系内,画出函数y=2x与y=log2x的图象,观察两函数图象的关系.
知识梳理
反函数的概念
(1)一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中　　　　　　y的值,只有　　　　　x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.
(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数记作　　　　　.
例1　判定下列函数是否存在反函数.
(1)
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
(2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A,B,C.
反思感悟　判定存在反函数的方法
(1)用定义:若函数y=f(x)值域中任意一个y的值,在定义域中有唯一的x与之对应,则此函数的反函数存在,否则,反函数不存在.
(2)用单调性:若函数y=f(x)在定义域上单调,则它的反函数存在.
跟踪训练1　判定下列函数的反函数是否存在.
(1)
x 1 2 3 4 5
g(x) -1 0 1 -2 5
(2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A,B,C.
二、求反函数
问题2　函数y=2x+1,你能用y表示x吗 你能把函数解析式y=中的x和y互换吗
例2　求下列函数的反函数:
(1)f(x)=log2x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=5x+1.
反思感悟　(1)求反函数时,要先确定原函数的值域.
(2)求反函数解析式的两种方法:
①可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y,得到反函数y=f-1(x).
②从y=f(x)反解得到x=f-1(y),然后把x=f-1(y)中的x,y对调得到y=f-1(x).
(3)最后要注明反函数的定义域.
跟踪训练2　求下列函数的反函数:
(1)f(x)=+1(x≥0);
(2)f(x)=(x≠1).
三、互为反函数的图象与性质的应用
问题3　函数y=2x的定义域和值域与y=log2x的定义域和值域关系如何
知识梳理
1.反函数的性质
(1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的　　　　　与y=f-1(x)的　　　　　相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线　　　　对称.
(2)如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在,此时,如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)　　　　　　　　　　　.
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线　　　　　对称.
例3　(1)若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图象位于 (　　)
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
(2)已知函数f(x)=ax-k的图象过点(1,3),其反函数y=f-1(x)的图象过点(2,0),则f(x)的解析式为　　　　　.
反思感悟　互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,所以若点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,则点(b,a)必在其反函数y=f-1(x)的图象上.
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1,7),其反函数f-1(x)的图象过点(4,0),则f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=4x+3 B.f(x)=3x+4
C.f(x)=5x+2 D.f(x)=2x+5
(2)若函数y=的图象关于直线y=x对称,则a的值为　　　　.
1.知识清单:
(1)反函数的图象与原函数图象之间的关系.
(2)求函数的反函数.
(3)互为反函数的图象与性质的应用.
2.方法归纳:数形结合、转化与化归.
3.常见误区:不是所有函数都有反函数;y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.
1.函数y=lox(x>0)的反函数是 (　　)
A.y=,x>0 B.y=,x∈R
C.y=x2,x∈R D.y=2x,x∈R
2.已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f-1(x)的大致图象是 (　　)
3.(多选)已知函数f(x)在其定义域内单调递增,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为f-1(x),则 (　　)
A.f-1(-1)=1
B.f-1(x)在定义域内单调递增
C.f-1(1)=1
D.f-1(x)在定义域内单调递减
4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图象过点Q(5,2),则b=　　　　.
答案精析
问题1
知识梳理
(1)任意一个　唯一的　(2)y=f-1(x)
例1　解　(1)∵f(x)=0时,x=1或x=2,即对应的x不唯一,因此f(x)的反函数不存在.
(2)由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1,1,2},值域为{-1,1,-2},且对值域中的任一个值,在定义域中都有唯一的x值与之对应,∴y=f(x)存在反函数.
跟踪训练1　解　(1)因为对g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此g(x)的反函数g-1(x)存在.
(2)由y=f(x)的图象知,当y=1时,与之对应的x=-1或x=3,即与y=1对应的x的值不唯一,所以此函数的反函数不存在.
问题2　x+1=log2y,x=-1+log2y;x=.
例2　解　(1)令y=log2x,
得x=2y且y∈R,
∴f-1(x)=2x,x∈R.
(2)令y=,得x=loy且y>0,
∴f-1(x)=lox,x>0.
(3)令y=5x+1,得x=且y∈R,
∴f-1(x)=,x∈R.
跟踪训练2　解　(1)令y=+1,x≥0,
∴y≥1且x=(y-1)2.
∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为f-1(x)=(x-1)2,
x∈[1,+∞).
(2)令y==,
∴y=2+.
∴y≠2且x=.
∴f(x)=(x≠1)的反函数为f-1(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞).
问题3　y=2x的定义域与y=log2x的值域相同,y=2x的值域与y=log2x的定义域相同.
知识梳理
1.(1)值域　定义域　y=x
2.(1)互为反函数　(2)y=x
例3　(1)D　(2)f(x)=2x+1
跟踪训练3　(1)A　(2)-1
随堂演练
1.B　2.C　3.AB　4.1

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