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4.4幂函数
[学习目标]　1.掌握幂函数的概念.(重点)2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点)
导语
同学们,我们说要想学好数学,就要先了解它的发展史,比如我们今天要学习的幂函数,“幂”其原意是遮盖东西用的布,后来引申为面积.《九章算术》刘徽注:“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代,既称面积为幂,也称平方或立方为幂.清末之后,幂逐渐开始专指乘方概念.
一、幂函数的概念
问题1　函数y=是指数函数吗 为什么
提示　不是,自变量x的位置在底数位置,不符合指数函数定义.
知识梳理
幂函数的定义:
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
注意点:
(1)xα的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数α为常数.
例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是 (　　)
A.y=x3 B.y=
C.y=4x2 D.y=x
答案　AD
解析　B项为指数函数;C中的函数的系数不为1;A,D为幂函数.
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,则m=　　　,n=　　　　.
答案　-3或1　
解析　由题意得
解得或
所以m=-3或1,n=.
反思感悟　幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,需满足:①指数为常数,②底数为自变量x,③幂的系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…形式的函数都不是幂函数.
跟踪训练1　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 (　　)
A.2 B.1
C. D.0
答案　A
解析　因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,
所以a=1,-b+1=0,
即a=1,b=1,则a+b=2.
(2)若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为 (　　)
A.-3 B.-
C.3 D.
答案　D
解析　设f(x)=xα(α为常数),
因为=3,所以=2α=3,即α=log23,
所以f(x)=,则f==.
二、幂函数的图象和性质
问题2　在同一平面直角坐标系中,你能画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象吗
提示　
知识梳理
1.五个幂函数的图象
2.五个幂函数的性质
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数
单调性 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数
公共点 (1,1)
注意点:
(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点(1,1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出.
(2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),在第一象限内,当0<α<1时,曲线上凸;当α>1时,曲线下凸,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
(3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限逼近x轴.
(4)在x=1右侧,幂函数y=xα的指数α从下向上看递增,即“指大图高”“指小图低”.
例2　(1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则对应于c1,c2,c3,c4的n依次为 (　　)
A.-2,-,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
答案　B
解析　根据幂函数y=xn的性质,
故c1的n=2,c2的n=,
当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,
所以曲线c3的n=-,曲线c4的n=-2.
(2)函数y=的大致图象是 (　　)
答案　B
解析　∵函数y=是奇函数,且α=>1,
∴函数y=的大致图象为B.
反思感悟　解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1 或y=或y=x3)来判断.
跟踪训练2　(1)函数f(x)=的大致图象是 (　　)
答案　A
解析　因为-<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,排除选项B,C;又f(x)的定义域为(0,+∞),故排除选项D.
(2)已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);
③f(x)解　设f(x)=xα,则由题意得2=()α,
∴α=2,即f(x)=x2,
再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,
∴β=-2,即g(x)=,
在同一直角坐标系中作出f(x)和g(x)的图象.如图所示.
①当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x).
②当x=±1时,f(x)=g(x).
③当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f(x)三、幂函数性质的应用
例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小:
①与;
②与;
③与.
解　①∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,
且>,∴>.
②∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,
且-<-,∴>.
③∵函数y=在(0,+∞)上单调递增,
且>1,∴>=1.
又∵函数y=在(0,+∞)上单调递增,
且<1,
∴<=1,∴>.
(2)若幂函数f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m的值为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或1
答案　A
解析　因为f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,所以m-2<0,故m<2.
又因为m∈N,所以m=0或m=1,
当m=0时,f(x)=x-2,f(-x)=f(x),符合题意;
当m=1时,f(x)=x-1,f(-x)≠f(x),不符合题意.
综上,m=0.
反思感悟　(1)比较幂值大小的方法
①直接法:当幂的指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.
②转化法:当幂的指数不相同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.
③中间量法:常用0和1作为中间量.
(2)解决幂函数的综合问题,应注意以下两点
①充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;
②注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想.
跟踪训练3　(1)比较大小:1.,1.,1.42.
解　∵y=在[0,+∞)上是增函数,且1.2<1.4,
∴1.<1..
又∵y=1.4x为增函数,且<2,
∴1.<1.42,∴1.<1.<1.42.
(2)已知幂函数y=x3m-9 (m∈N+)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
解　因为函数y=x3m-9在(0,+∞)上单调递减,
所以3m-9<0,
解得m<3.又因为m∈N+,所以m=1或m=2.
因为函数的图象关于y轴对称,
所以3m-9为偶数,故m=1.
则原不等式可化为(a+1<(3-2a.
因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,
所以a+1>3-2a>0或3-2a解得故a的取值范围是.
1.知识清单:
(1)幂函数的概念.
(2)幂函数的图象.
(3)幂函数的性质及其应用.
2.方法归纳:数形结合.
3.常见误区:幂函数与指数函数的区别;幂函数的奇偶性.
1.(多选)下列函数中是幂函数的是 (　　)
A.y= B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=
答案　AD
解析　　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,选项A是α=-1的情形,D是α=-的情形,所以A和D是幂函数;选项B中x2的系数是4,不是幂函数;易知选项C不是幂函数.
2.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为 (　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
答案　A
解析　可知当α=-1,1,3时,y=xα为奇函数,
又因为y=xα的定义域为R,则α=1或α=3.
3.如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)的解析式可能是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-2
答案　B
解析　因为幂函数f(x)=xα的图象过④⑧部分,
所以f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减,
所以α<0,
又易知当x=2时,f(x)>,故B可能符合题意.
4.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为 (　　)
A.-2 B.0或2
C.0 D.2
答案　D
解析　因为f(x)是幂函数,所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2,当m=0时,f(x)=x-1在(0,+∞)上为减函数,不符合题意;当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,符合题意,所以m=2.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共12分
1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),则f等于 (　　)
A. B.
C.- D.2
答案　B
解析　幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),
则2α=4,解得α=2,∴f(x)=x2,
∴f==.
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 (　　)
A.y=x-2 B.y=x-1
C.y=x2 D.y=
答案　A
解析　所给选项都是幂函数,其中y=x-2和y=x2是偶函数,y=x-1和y=不是偶函数,故排除选项B,D;又y=x2在区间(0,+∞)上单调递增,故选项C不符合题意,y=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,故选项A符合题意.
3.若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则 (　　)
A.-1B.n<-1,0C.-11
D.n<-1,m>1
答案　B
解析　由图象知,y=xm在(0,+∞)上单调递增,
所以m>0,
由于y=xm的图象增长的越来越慢,
所以0y=xn在(0,+∞)上单调递减,
所以n<0,
又当x>1时,y=xn的图象在y=x-1图象的下方,
所以n<-1.
4.给出下面四个条件,幂函数y=f(x)一定满足的条件为 (　　)
A.f(m+n)=f(m)+f(n)
B.f(m+n)=f(m)·f(n)
C.f(mn)=f(m)·f(n)
D.f(mn)=f(m)+f(n)
答案　C
解析　设f(x)=xα,则f(m+n)=(m+n)α,
f(m)+f(n)=mα+nα,
f(m)·f(n)=mα·nα=(mn)α,
f(mn)=(mn)α,所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立,A,B,D不一定成立,故选C.
5.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是 (　　)
答案　B
解析　y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B中的图象.
6.(多选)已知幂函数f(x)=,则下列结论正确的有 (　　)
A.f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R}
B.f(x)的值域是(0,+∞)
C.f(x)的图象只在第一象限
D.f(x)是奇函数
答案　BC
解析　对于A,f(x)的定义域是{x∈R|x>0},故A不正确;对于B,f(x)的值域是(0,+∞),故B正确;对于C,f(x)的图象只在第一象限,故C正确;对于D,f(x)是非奇非偶函数,故D不正确.
7.(5分)已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象经过点(8,4),则不等式f(6x+3)≤9的解集为　　　　.
答案　[-5,4]
解析　由题意知8α=4,故α=log84=,由于f(x)==为R上的偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故f(6x+3)≤9即为f(6x+3)≤f(27),所以|6x+3|≤27,解得-5≤x≤4.
8.(5分)设a=,b=,c=,则a,b,c从小到大的顺序是　　　　.
答案　b解析　由a=,b=,可利用幂函数的性质,得a>b,可由指数函数的单调性得c>a,∴b9.(10分)已知幂函数f(x)=xα的图象过点P,试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.
解　因为f(x)=xα的图象过点P,
所以f(2)=,即2α=,
得α=-2,即f(x)=x-2,
f(x)的图象如图所示,
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).
10.(11分)已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称,且在R上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;(5分)
(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.(6分)
解　(1)由幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称,且在R上单调递增,可得9-3m>0,
解得m<3,m∈N+,可得m=1或m=2,
若m=1,则f(x)=x6,图象不关于原点对称,舍去;
若m=2,则f(x)=x3,图象关于原点对称,且在R上单调递增,成立.则f(x)=x3.
(2)由(1)可得f(x)是奇函数,且在R上单调递增,
由f(a+1)+f(3a-4)<0,
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a),
则a+1<4-3a,解得a<.
11.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)= loga(x+m)的单调递增区间为 (　　)
A.(-2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(2,+∞)
答案　B
解析　由题意得m+2=1,
解得m=-1,
则f(x)=xa,将(2,4)代入函数的解析式得,
2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1),
令x-1>0,解得x>1,
故g(x)的单调递增区间为(1,+∞).
12.(多选)已知实数a,b满足等式=,则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A.0C.1答案　ACD
解析　画出y=与y=的图象(如图),设==m,作直线y=m.
由图象知,若m=0或m=1,则a=b;若01,则113.(5分)为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　.
答案　9
解析　由题意可知加密密钥y=xα(α为常数)是一个幂函数,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.
14.(5分)已知幂函数f(x)=,若f(a+1)答案　(3,5)
解析　∵f(x)==(x>0),
易知f(x)在(0,+∞)上为减函数,
又f(a+1)∴解得∴315.(5分)幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么αβ等于　　　　.
答案　1
解析　由条件,得M,N,
可得==,
即α=lo,β=lo.
所以αβ=lo·lo=·=1.
16.(12分)已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x).
(1)求g(x)的解析式;(5分)
(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.(7分)
解　(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数).
因为幂函数g(x)过点,
所以2α=,解得α=-1,所以g(x)=.
(2)由(1)得f(x)=x2+.
①当a=0时,f(x)=x2.
由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)为偶函数.
②当a≠0时,由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x),且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.
综上,当a=0时,f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.4.4幂函数
[学习目标]　1.掌握幂函数的概念.2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.
一、幂函数的概念
问题1　函数y=是指数函数吗 为什么
知识梳理
幂函数的定义:
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是 (　　)
A.y=x3 B.y=
C.y=4x2 D.y=x
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,则m=　　　　　,n=　　　　.
反思感悟　幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,需满足:①指数为常数,②底数为自变量x,③幂的系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…形式的函数都不是幂函数.
跟踪训练1　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 (　　)
A.2 B.1
C. D.0
(2)若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为 (　　)
A.-3 B.-
C.3 D.
二、幂函数的图象和性质
问题2　在同一平面直角坐标系中,你能画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象吗
知识梳理
1.五个幂函数的图象
2.五个幂函数的性质
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0,+∞)
值域 R R
奇偶性
单调性 在R上是____ 在[0,+∞)上是　　　,在 (-∞,0]上是____ 在R上是____ 在　　上是________ 在(0,+∞)上是　　, 在(-∞,0)上是____
公共点 (1,1)
例2　(1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则对应于c1,c2,c3,c4的n依次为 (　　)
A.-2,-,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
(2)函数y=的大致图象是 (　　)
反思感悟　解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1 或y=或y=x3)来判断.
跟踪训练2　(1)函数f(x)=的大致图象是 (　　)
(2)已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)三、幂函数性质的应用
例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小:
①与;②与;
③与.
(2)若幂函数f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m的值为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.0或1
反思感悟　(1)比较幂值大小的方法
①直接法:当幂的指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.
②转化法:当幂的指数不相同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.
③中间量法:常用0和1作为中间量.
(2)解决幂函数的综合问题,应注意以下两点
①充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;
②注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想.
跟踪训练3　(1)比较大小:1.,1.,1.42.
(2)已知幂函数y=x3m-9 (m∈N+)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
1.知识清单:
(1)幂函数的概念.
(2)幂函数的图象.
(3)幂函数的性质及其应用.
2.方法归纳:数形结合.
3.常见误区:幂函数与指数函数的区别;幂函数的奇偶性.
1.(多选)下列函数中是幂函数的是 (　　)
A.y= B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=
2.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为 (　　)
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
3.如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)的解析式可能是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-2
4.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为 (　　)
A.-2 B.0或2
C.0 D.2
答案精析
问题1　不是,自变量x的位置在底数位置,不符合指数函数定义.
例1　(1)AD　(2)-3或1　
跟踪训练1　(1)A　(2)D
问题2
知识梳理
2.{x|x≠0}　[0,+∞)　[0,+∞)　{y|y≠0}　奇函数　偶函数　奇函数
非奇非偶函数　奇函数　增函数　增函数　减函数　增函数　[0,+∞)　增函数　减函数　减函数
例2　(1)B　(2)B
跟踪训练2　(1)A
(2)解　设f(x)=xα,
则由题意得2=()α,
∴α=2,即f(x)=x2,
再设g(x)=xβ,
则由题意得=(-2)β,
∴β=-2,即g(x)=,
在同一直角坐标系中作出f(x)和g(x)的图象.如图所示.
①当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,
f(x)>g(x).
②当x=±1时,f(x)=g(x).
③当x∈(-1,0)∪(0,1)时,
f(x)例3　(1)解　①∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,
且>,∴>.
②∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,
且-<-,
∴>.
③∵函数y=在(0,+∞)上单调递增,且>1,∴>=1.
又∵函数y=在(0,+∞)上单调递增,且<1,
∴<=1,
∴>.
(2)A　[因为f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,所以m-2<0,故m<2.
又因为m∈N,所以m=0或m=1,
当m=0时,f(x)=x-2,
f(-x)=f(x),符合题意;
当m=1时,f(x)=x-1,
f(-x)≠f(x),不符合题意.
综上,m=0.]
跟踪训练3　(1)解　∵y=在[0,+∞)上是增函数,且1.2<1.4,
∴1.<1..
又∵y=1.4x为增函数,且<2,
∴1.<1.42,∴1.<1.<1.42.
(2)解　因为函数y=x3m-9在(0,+∞)上单调递减,
所以3m-9<0,
解得m<3.又因为m∈N+,
所以m=1或m=2.
因为函数的图象关于y轴对称,
所以3m-9为偶数,故m=1.
则原不等式可化为
(a+1<(3-2a.
因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,
所以a+1>3-2a>0或3-2a解得故a的取值范围是
.
随堂演练
1.AD　2.A　3.B　4.D

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