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4.6 函数的应用（二）
[学习目标]　1.能利用已知函数模型求解实际问题.(重点)2.建立函数模型解决实际问题.(难点)3.实际问题中的函数模型选择问题.
导语
我们知道,函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画,面临一个实验问题,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢
问题　应用函数模型解决问题的基本过程是什么
提示　(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型.
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模——求解数学模型,得出数学模型.
(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
知识梳理
常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)=axα+b(a,b为常数,a≠0)
一、应用已知函数模型解决实际问题
例1　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有:f(x)=alg (a为常数).已知人正常说话时声音强度的等级约为60 dB,嘈杂的马路上声音强度的等级约为90 dB,而90 dB对应的声音强度是60 dB对应的声音强度的1 000倍.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若某种喷气式飞机起飞时,声音强度的等级约为150 dB,计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍
解　(1)设90 dB对应的声音强度是x1,60 dB对应的声音强度是x2,则=1 000,
所以
所以30=alg,所以30=3a,所以a=10,
所以f(x)=10lg ,x∈(0,+∞).
(2)设喷气式飞机起飞时的声音强度为x3,
所以
所以9=lg ,所以=109,
故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的109倍.
反思感悟　利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数;
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题;
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式的两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
跟踪训练1　Logit模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logit模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时,标志着已初步得到遏制,则t*约为(注:e为自然对数的底数,ln 9≈2.2) (　　)
A.60 B.62
C.66 D.69
答案　B
解析　∵I(t*)==0.9K,
∴1+==,
则-0.24(t*-53)=ln=-ln 9≈-2.2,
解得t*≈62.
二、建立函数模型解决实际问题
例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理,每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(1)求x的值;
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的,按照规划至少还需多少年,使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的
解　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-.
(2)设从今年开始,还需治理n年,
则n年后剩余面积为a(1-x)n,
令a(1-x)n≤a,即(1-x)n≤,
≤≥,解得n≥15,
故至少还需治理15年.
反思感悟　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
跟踪训练2　某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) (　　)
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
答案　B
解析　设x年后研发资金开始超过200万元,
所以130(1+12%)x>200,
所以1.12x>,所以x>log1.12,
所以x>,所以x>3.8,
故2024年研发资金开始超过200万元.
三、建立拟合函数解决实际问题
例3　某位大学生带领其团队自主创业,通过直播带货的方式售卖特色农产品,下面为三年来农产品销售量的统计表:
年份 2020 2021 2022
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况,该大学生提出了2023年销售115万斤特色农产品的目标,经过创业团队所有队员的共同努力,2023年实际销售123万斤,超额完成预定目标.
(1)将2020,2021,2022,2023年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年,现有两个函数模型:二次函数模型为f(x)=ax2+bx+c(a≠0);幂函数模型为g(x)=kx3+mx+n(k≠0).请你通过计算分析确定:选用哪个函数模型能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系;
(2)依照目前的形势分析,你能否预测出该创业团队在2024年度的农产品销售量
解　(1)若选择二次函数模型,
依题意,将前三年数据分别代入f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
得解得
所以f(x)=7x2-7x+41.
将x=4代入f(x),
得f(4)=7×42-7×4+41=125,
所以此与2023年实际销售量的误差为
125-123=2(万斤).
若选择幂函数模型,
依题意,将前三年数据分别代入g(x)=kx3+mx+n(k≠0),
得解得
所以g(x)=x3+x+34.
将x=4代入g(x),
得g(4)=×43+×4+34=132,
所以此与2023年实际销售量的误差为
132-123=9(万斤).
显然2<9,
因此,选用二次函数模型f(x)=7x2-7x+41能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系.
(2)依据(1),选用二次函数模型f(x)=7x2-7x+41进行预测,
得f(5)=7×52-7×5+41=181(万斤).
即预测该创业团队在2024年的农产品销售量为181万斤.
反思感悟　建立拟合函数与预测的基本步骤
跟踪训练3　航天工程对人们的生活产生方方面面的影响,有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=+2(常数k>0).该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x(天) 5 10 17 26
Q(x)(百个) 4 5 6 7
已知第10天该商品的日销售收入为3 500元.
(1)求实数k的值;
(2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=px+q,②Q(x)=a|x-18|+b;③Q(x)=m+n,请你依据上表中的数据,从以上三种函数模型中,选择你认为最合适的一种函数模型,来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,说明你选择的理由,并借助你选择的模型,预估该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)在哪一天达到最低
解　(1)由题意,500·=3 500,∴k=15.
(2)∵表格中Q(x)对应的数据匀速递增时,x对应的数据并未匀速变化,∴排除模型①.
又∵Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象关于直线x=18对称),而表格中的数据并未体现此规律(5≠7),∴排除模型②.
对于模型③,将(5,4),(10,5)代入模型③,有解得
此时,Q(x)=+2,经验证,(17,6),(26,7)均满足,∴选模型③.
f(x)=100Q(x)·P(x)=100(+2)·=100
≥100×(19+4)=1 900+400.
当且仅当2=,即x=16时,等号成立.
∴日销售收入在第16天达到最低.
1.知识清单:
(1)应用已知函数模型解决实际问题.
(2)建立函数模型解决实际问题.
(3)建立拟合函数解决实际问题.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:
(1)实际应用题易忘记定义域和结论.
(2)对函数拟合效果的分析不能做出正确选择.
1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数,现有100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却,5分钟后物体的温度是40 ℃,则k约等于(参考数据:ln 3≈1.099) (　　)
A.0.22 B.0.27
C.0.36 D.0.55
答案　A
解析　根据题意40=10+(100-10)e-5k,即-5k=ln =-ln 3,
解得k=≈≈0.22.
2.有一组实验数据如表所示:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个函数是 (　　)
A.V=log2t B.V=lot
C.V= D.V=2t-2
答案　C
解析　根据表中数据,描出各点,如图所示,
结合选项,函数V=log2t的增长速度越来越缓慢,不符合题意;
函数V=lot随着t的增大,V不断减小,不符合题意;
函数V=的增长速度越来越快,符合题意;
函数V=2t-2的增长速度不变,不符合题意,
所以最接近的一个函数是V=.
3.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为 (　　)
A.125 B.100
C.75 D.50
答案　C
解析　由已知,得a=a·,∴e-k=.
设经过t1天后,一个新丸体积变为a,
则a=a·,
∴= =,∴=,即t1=75.
4.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是　　　　.
答案　-1
解析　设每月的产量增长率为x,1月份产量为a,
则a(1+x)11=ma,
所以1+x=,即x=-1.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是 (　　)
A.y=2t B.y=2t2
C.y=t3 D.y=log2t
答案　D
2.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足 (　　)
A.y=a(1+5%x) B.y=a+5%
C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x
答案　D
解析　今年产量为a,经过1年后产量为y=a(1+5%),经过2年后产量为y=a(1+5%)2,依此类推,经过x年后产量为y=a(1+5%)x.
3.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型以及水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律 (　　)
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=mx+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>0,a≠1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
答案　C
4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与鲑鱼的耗氧量的单位数P的关系为v=log3,则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为 (　　)
A.1 B.100
C.200 D.300
答案　B
解析　因为v=log3,所以当鲑鱼静止时,v=0,即log3=0,
化简得=1,所以P=100.
5.国内首个百万千瓦级海上风电项目—三峡阳江沙扒海上风电场实现全容量并网发电,为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作,通常采用威布尔分布模型,有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型:F(x)=1-,其中k为形状参数,x为风速.已知风速为1 m/s时,F≈0.221,则当风速为4 m/s时,F约为(参考数据:ln 0.779≈-0.25,e-4≈0.018) (　　)
A.0.920 B.0.964
C.0.975 D.0.982
答案　D
解析　因为F(1)≈0.221,
所以≈0.779,≈-ln 0.779,2k≈4,得k≈2,
所以F(4)=1-≈1-e-4≈0.982.
6.(多选)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　　)
A.6 B.9
C.8 D.7
答案　BC
解析　设经过n次过滤,产品达到市场要求,则 ×≤,即≤,由nlg ≤-lg 20,
即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),
得n≥≈7.4.
7.(5分)近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:
x 10 15 20 25 30
Q(x) 50 55 60 55 50
给出以下四个函数模型:
①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=a·bx;④Q(x)=alogbx.
根据表中的数据,最适合用来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系的函数模型是　　　　.
答案　②
解析　由表格中的数据知,当时间x变化时,
Q(x)先增后减,
函数模型①Q(x)=ax+b;③Q(x)=a·bx;
④Q(x)=alogbx都是单调函数,
所以选择模型②Q(x)=a|x-m|+b.
8.(5分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间t为　　　　　　　　.
答案　t=-ln
解析　因为N=N0e-λt,所以=e-λt,两边取以e为底的对数,所以t=-ln .
9.(10分)据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只,并以平均每年8%的速度增加.
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;(3分)
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式;(3分)
(3)约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上 (结果为整数)(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(4分)
解　(1)依题意,得一年后这种鸟类的个数为1 000+1 000×8%=1 080(只),
两年后这种鸟类的个数为1 080+1 080×8%≈1 166(只).
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只,并以平均每年8%的速度增加,
则所求的函数关系式为y=1 000×1.08x,x∈N.
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000,得1.08x≥3,两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3,即xlg 1.08≥lg 3,
因为lg 1.08>0,所以x≥,
所以x≥=,
因为lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2,
所以x≥
≈≈14.3,
故约经过15年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.
10.(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;(6分)
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.(6分)
解　(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数,若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述,将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得
解得a=,b=-,c=.
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+.
(2)由(1)可得,函数Q为图象开口向上,对称轴为
t=-=150的抛物线,
所以当t=150天时,芦荟种植成本最低为
Q=×1502-×150+=100(元/10 kg).
11.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞,正常成人白细胞计数为(4.0~10.0)×109/L,可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高,则需进一步探查原因,进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现,在特定实验环境下的某段时间内,可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞计数W(m)(单位:109/L)与随用药量m(单位:mg)的变化规律,其中W0为初始白细胞计数对应值,K为参数.已知W0=20,用药量m=50时,在规定时间后测得白细胞计数W=14,要使白细胞计数达到正常值,则需将用药量至少提高到(参考数据:≈1.221) (　　)
A.58 B.59
C.60 D.62
答案　D
解析　由已知W0=20,m=50,W(50)=14,代入W(m)=-W0ln(Km),
则14=-20ln(50K),解得K=,
则W(m)=-20ln,
因为用药量m=50时,在规定时间后测得白细胞计数W=14,白细胞计数值偏高,
所以令W(m)=-20ln≤10,
即ln≥-,
解得m≥50≈50×1.221=61.05.
所以要使白细胞计数达到正常值,则需将用药量至少提高到62.
12.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 (　　)
A.16 h B.20 h
C.24 h D.26 h
答案　C
解析　由题意可知,当x=0时,y=192;当x=22时,y=48,
∴解得则当x=33时,
y=e33k+b=·eb=×192=24.
13.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物含量p(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的关系为p(t)=p0e-kt(e为自然对数的底数,p0为污染物的初始含量).过滤1小时后,检测发现污染物的含量减少了,要使污染物的含量不超过初始值的,至少还需过滤　　　　　小时(参考数据:lg 2≈0.301 0) (　　)
A.40 B.38
C.44 D.42
答案　D
解析　根据题设,得p0=p0e-k,
∴e-k=,所以p(t)=p0;
由p(t)=p0≤p0,得≤10-4,两边分别取以10为底的对数,并整理得t(1-3lg 2)≥4,∴t≥≈41.2,
因此,至少还需过滤42小时.
14.(5分)光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要这样的玻璃板的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
答案　7
解析　设至少需要x块玻璃板,
由题意知<,即<,
两边取对数lg即x·(lg 9-lg 10)<-lg 2,
即x·(1-2lg 3)>lg 2,x>≈6.57,
∴x=7.
15.为了预防某种病毒,某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑,相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时,顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始,商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y=函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是 (　　)
A.9:00 B.8:40
C.8:30 D.8:00
答案　A
解析　根据函数的图象,可得函数的图象过点(10,1),
代入函数的解析式,可得=1,解得a=1,所以y=
令y≤0.25,可得0.1t≤0.25或≤0.25,
解得0所以如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00.
16.(12分)科学家发现某种特殊物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的变化规律满足关系式:y=m·2x+21-x(0≤x≤4,m>0).
(1)若m=2,求经过多少分钟,该物质的温度为5摄氏度;(5分)
(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.(7分)
解　(1)由题意,得m=2,
令y=2·2x+21-x=2·2x+=5,
解得x=1(负值舍去),
因此,经过1分钟,该物质的温度为5摄氏度.
(2)由题意得m·2x+21-x≥2对一切0≤x≤4恒成立,则由m·2x+21-x≥2,得m≥-,
令t=2-x,则≤t≤1,且m≥2t-2t2,
构造函数f(t)=2t-2t2=-2+,
所以当t=时,函数y=f(t)取得最大值,
则m≥.因此,实数m的取值范围是.4.6函数的应用（二）
[学习目标]　1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.建立函数模型解决实际问题.3.实际问题中的函数模型选择问题.
问题　应用函数模型解决问题的基本过程是什么
知识梳理
常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=　　　　　　(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型 f(x)=　　　　　(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)=　　　　　　(a,b为常数,a≠0)
一、应用已知函数模型解决实际问题
例1　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有:f(x)=alg (a为常数).已知人正常说话时声音强度的等级约为60 dB,嘈杂的马路上声音强度的等级约为90 dB,而90 dB对应的声音强度是60 dB对应的声音强度的1 000倍.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若某种喷气式飞机起飞时,声音强度的等级约为150 dB,计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍
跟踪训练1　Logit模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logit模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时,标志着已初步得到遏制,则t*约为(注:e为自然对数的底数,ln 9≈2.2) (　　)
A.60 B.62
C.66 D.69
二、建立函数模型解决实际问题
例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理,每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(1)求x的值;
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的,按照规划至少还需多少年,使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的
跟踪训练2　某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) (　　)
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
三、建立拟合函数解决实际问题
例3　某位大学生带领其团队自主创业,通过直播带货的方式售卖特色农产品,下面为三年来农产品销售量的统计表:
年份 2020 2021 2022
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况,该大学生提出了2023年销售115万斤特色农产品的目标,经过创业团队所有队员的共同努力,2023年实际销售123万斤,超额完成预定目标.
(1)将2020,2021,2022,2023年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年,现有两个函数模型:二次函数模型为f(x)=ax2+bx+c(a≠0);幂函数模型为g(x)=kx3+mx+n(k≠0).请你通过计算分析确定:选用哪个函数模型能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系;
(2)依照目前的形势分析,你能否预测出该创业团队在2024年度的农产品销售量
跟踪训练3　航天工程对人们的生活产生方方面面的影响,有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=+2(常数k>0).该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x(天) 5 10 17 26
Q(x)(百个) 4 5 6 7
已知第10天该商品的日销售收入为3 500元.
(1)求实数k的值;
(2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=px+q,②Q(x)=a|x-18|+b;③Q(x)=m+n,请你依据上表中的数据,从以上三种函数模型中,选择你认为最合适的一种函数模型,来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,说明你选择的理由,并借助你选择的模型,预估该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)在哪一天达到最低
1.知识清单:
(1)应用已知函数模型解决实际问题.
(2)建立函数模型解决实际问题.
(3)建立拟合函数解决实际问题.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:
(1)实际应用题易忘记定义域和结论.
(2)对函数拟合效果的分析不能做出正确选择.
1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数,现有100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却,5分钟后物体的温度是40 ℃,则k约等于(参考数据:ln 3≈1.099) (　　)
A.0.22 B.0.27
C.0.36 D.0.55
2.有一组实验数据如表所示:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个函数是 (　　)
A.V=log2t B.V=lot
C.V= D.V=2t-2
3.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为 (　　)
A.125 B.100
C.75 D.50
4.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是　　　　　　　　　　.
答案精析
问题　(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型.
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模——求解数学模型,得出数学模型.
(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
知识梳理
+b　bax+c　axα+b
例1　解　(1)设90 dB对应的声音强度是x1,60 dB对应的声音强度是x2,则=1 000,
所以
所以30=alg ,所以30=3a,
所以a=10,
所以f(x)=10lg ,x∈(0,+∞).
(2)设喷气式飞机起飞时的声音强度为x3,
所以
所以9=lg ,所以=109,
故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的109倍.
跟踪训练1　B
例2　解　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-.
(2)设从今年开始,还需治理n年,
则n年后剩余面积为a(1-x)n,
令a(1-x)n≤a,即(1-x)n≤,
≤≥,解得n≥15,
故至少还需治理15年.
跟踪训练2　B
例3　解　(1)若选择二次函数模型,
依题意,将前三年数据分别代入
f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
得解得
所以f(x)=7x2-7x+41.
将x=4代入f(x),
得f(4)=7×42-7×4+41=125,
所以此与2023年实际销售量的误差为
125-123=2(万斤).
若选择幂函数模型,
依题意,将前三年数据分别代入
g(x)=kx3+mx+n(k≠0),
得解得
所以g(x)=x3+x+34.
将x=4代入g(x),
得g(4)=×43+×4+34=132,
所以此与2023年实际销售量的误差为
132-123=9(万斤).
显然2<9,
因此,选用二次函数模型f(x)=7x2-7x+41能更好地反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系.
(2)依据(1),选用二次函数模型
f(x)=7x2-7x+41进行预测,
得f(5)=7×52-7×5+41=181(万斤).
即预测该创业团队在2024年的农产品销售量为181万斤.
跟踪训练3　解　(1)由题意,
500·=3 500,
∴k=15.
(2)∵表格中Q(x)对应的数据匀速递增时,x对应的数据并未匀速变化,
∴排除模型①.
又∵Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象关于直线x=18对称),而表格中的数据并未体现此规律(5≠7),
∴排除模型②.
对于模型③,将(5,4),(10,5)代入模型③,有解得
此时,Q(x)=+2,经验证,(17,6),(26,7)均满足,∴选模型③.
f(x)=100Q(x)·P(x)
=100(+2)·
=100
≥100×(19+4)=1 900+400.
当且仅当2=,
即x=16时,等号成立.
∴日销售收入在第16天达到最低.
随堂演练
1.A　2.C　3.C　4.-1

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