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章末复习课
一、指数、对数运算
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,指数、对数的运算法则以及换底公式等,会利用运算法则进行化简、计算、证明等.
2.掌握基本运算法则,重点提升数学运算素养.
例1　计算:(1)(×(÷;
(2)2log32-log3+log38-2.
解　(1)原式=(×(1÷1
=2-1×103×1=2-1×1=.
(2)原式=log34-log3+log38-
=log3-
=log39-9=2-9=-7.
反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式,则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算法则,其次对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
跟踪训练1　(1)计算:80.25×+(×)6+log32×log2(log327)的值为　　　　.
答案　111
解析　∵log32×log2(log327)=log32×log23
=×=1,
∴原式=×+22×33+1=21+4×27+1=111.
(2)已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为　　　　.
答案　3
解析　由2x=3,log4=y得x=log23,
y=log4=log2,
所以x+2y=log23+log2=log28=3.
二、函数图象的应用
1.指数函数、对数函数与幂函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数与幂函数等图象的交点个数问题.
2.掌握指数函数、对数函数与幂函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折等变换,提升直观想象和逻辑推理素养.
例2　(1)已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是 (　　)
答案　C
解析　函数y=log2x的反函数为y=2x,故f(x)=2x,于是f(1-x)=21-x=,此函数在R上为减函数,其图象过点(0,2),所以选项C中的图象符合要求.
(2)已知当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,2] D.
答案　C
解析　如图所示,设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2当0当a>1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2.∴loga2≥1,∴1反思感悟　指数函数、对数函数与幂函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这三类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.
跟踪训练2　(1)若函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 (　　)
答案　B
解析　由题意得y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(3,1),可得a=3.选项A中,y=3-x=,显然图象错误;选项B中,y=x3,由幂函数图象可知正确;选项C中,y=(-x)3=-x3,显然与所画图象不符;选项D中,y=log3(-x)的图象与y=log3x的图象关于y轴对称,显然不符.
(2)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　)
A.0B.0C.0D.0答案　A
解析　由图象知,函数为增函数,所以a>1.
又当x=0时,-1所以0三、比较大小
1.比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较.
2.掌握指数函数、对数函数和幂函数的图象和单调性,对于不同的底数,注意分类讨论,提升直观想象和逻辑推理素养.
例3　(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
(2)设a=lo2,b=lo3,c=0.,则 (　　)
A.aC.b答案　(1)C　(2)D
解析　(1)∵a=log20.320=1,0c>a.
(2)∵a=lo2<0,b=lo3<0,lo2>lo3,
lo3>lo3,c=0.>0.∴b反思感悟　数的大小比较常用的技巧
(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
(2)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.
跟踪训练3　已知0A.x>y>z B.z>y>x
C.y>x>z D.z>x>y
答案　C
解析　依题意,得x=loga,y=loga,z=loga.
又0因此有loga>loga>loga,即y>x>z.
四、函数的综合性质的应用
1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.
2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质,重点提升数学运算和逻辑推理素养.
例4　已知函数f(x)=,a>0.
(1)判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(2)若f(x)为奇函数,求关于x的不等式f(2ax)解　(1)f(x)的定义域为R, x1,x2∈R,且x1有f(x1)-f(x2)=1--1+=,
因为x1-x2<0,所以-<0,又因为a>0,
所以<0,f(x1)所以函数f(x)在R上单调递增.
(2)由题意得f(-x)==
=-f(x),解得a=1.
由(1)可知f(x)在R上单调递增,
所以由f(2x)故不等式的解集为(-∞,2).
反思感悟　解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根.
跟踪训练4　已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式f(x)>1的解集.
解　(1)要使函数f(x)有意义,则
解得-2故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),
设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)在定义域(-2,2)上是增函数,
所以f(x)>1等价于>10,解得x>.
所以不等式f(x)>1的解集是.章末复习课
一、指数、对数运算
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,指数、对数的运算法则以及换底公式等,会利用运算法则进行化简、计算、证明等.
2.掌握基本运算法则,重点提升数学运算素养.
例1　计算:(1)(×(÷;
(2)2log32-log3+log38-2.
反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式,则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算法则,其次对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
跟踪训练1　(1)计算:80.25×+(×)6+log32×log2(log327)的值为　　　　　　.
(2)已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为　　　　　　.
二、函数图象的应用
1.指数函数、对数函数与幂函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数与幂函数等图象的交点个数问题.
2.掌握指数函数、对数函数与幂函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折等变换,提升直观想象和逻辑推理素养.
例2　(1)已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是 (　　)
(2)已知当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,2] D.
反思感悟　指数函数、对数函数与幂函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这三类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.
跟踪训练2　(1)若函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 (　　)
(2)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　)
A.0C.0三、比较大小
1.比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较.
2.掌握指数函数、对数函数和幂函数的图象和单调性,对于不同的底数,注意分类讨论,提升直观想象和逻辑推理素养.
例3　(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
(2)设a=lo2,b=lo3,c=0.,则 (　　)
A.aC.b反思感悟　数的大小比较常用的技巧
(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
(2)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.
跟踪训练3　已知0A.x>y>z B.z>y>x
C.y>x>z D.z>x>y
四、函数的综合性质的应用
1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.
2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质,重点提升数学运算和逻辑推理素养.
例4　已知函数f(x)=,a>0.
(1)判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(2)若f(x)为奇函数,求关于x的不等式f(2ax)反思感悟　解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根.
跟踪训练4　已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式f(x)>1的解集.
答案精析
例1　解　(1)原式=(×(1÷1
=2-1×103×1=2-1×1=.
(2)原式=log34-log3+log38-
=log3-
=log39-9=2-9=-7.
跟踪训练1　(1)111　(2)3
例2　(1)C　(2)C
跟踪训练2　(1)B　(2)A
例3　(1)C　(2)D
跟踪训练3　C
例4　解　(1)f(x)的定义域为R, x1,x2∈R,且x1有f(x1)-f(x2)=1--1+=,
因为x1-x2<0,所以-<0,又因为a>0,
所以<0,
f(x1)所以函数f(x)在R上单调递增.
(2)由题意得f(-x)==
=-f(x),解得a=1.
由(1)可知f(x)在R上单调递增,
所以由f(2x)解得x<2,
故不等式的解集为(-∞,2).
跟踪训练4　解　(1)要使函数f(x)有意义,则
解得-2故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),
设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)在定义域(-2,2)上是增函数,
所以f(x)>1等价于>10,
解得x>.
所以不等式f(x)>1的解集是.

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