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第2课时　分层抽样
[学习目标]　1.理解并掌握分层抽样.2.会用分层抽样从总体中抽取样本.3.会用分层抽样解决实际问题.
导语
抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中,但因为抽样的随机性,有可能会出现比较“极端”的样本.例如,在对某中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢
一、分层抽样的概念
问题　某中学高一年级共有1 000名学生,男生有450名,女生有550名,若要抽取50名学生的身高作为样本,用简单随机抽样可以吗 为什么 如何去抽取比较合理
提示　不可以直接使用简单随机抽样.如果采用简单随机抽样,得到的样本中,男生(女生)所占比例与总体中的男生(女生)所占比例可能存在较大差异,从而导致最后得到的结果不能很好地反映总体的情况,可以将男生和女生看作两个群体,分别进行简单随机抽样,然后汇总作为总体的一个样本,即采用按男生、女生的比例去抽样的方法比较合理.
知识梳理
分层抽样的概念
一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时,每一部分可称为层,在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
注意点:
(1)通过分层抽样所得到的样本,一般更具有代表性,可以更准确地反映总体的特征.
(2)分层抽样如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层内样本的差异要尽可能小,而层与层之间的差异要尽可能大,且互不重叠,否则将失去分层的意义.
(3)所有层都按同一抽样比等可能抽取,以保证每个个体被等可能抽取.
(4)根据实际情况,可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整.
例1　(1)下列各项中属于分层抽样的特点的是 (　　)
A.从总体中逐个抽取
B.将总体分成几层,分层进行抽取
C.将总体分成几部分,在各部分中抽取相同数量的个体
D.将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取
答案　B
解析　A属于简单随机抽样的特点,B属于分层抽样的特点,C,D不属于分层抽样的特点,所以应选B.
(2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是 (　　)
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中,某班有10人在100分(含100分)以上,40人在90~100分,12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况
C.从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
答案　B
解析　A中总体个体无明显差异,不适合用分层抽样;C和D中总体个体无明显差异,不适合用分层抽样;B中总体个体差异明显,适合用分层抽样.
反思感悟　使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则.
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与该层个体数量的比等于抽样比.
跟踪训练1　(1)下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是 (　　)
A.从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B.从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C.从一箱30个零件中抽取5个入样
D.从甲、乙两厂生产的300个零件中抽取6个入样
答案　D
解析　A中总体容量较大,样本容量较小,适合用随机数表法;B中总体容量较大,且无明显差异,不适合用分层抽样;C中总体容量较小且个体间无较大差异,样本容量较小,适合用抽签法;D中总体有明显的层次,适合用分层抽样法.
(2)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样,必须进行 (　　)
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽取的个体数量相同
答案　C
解析　保证每个个体等可能的被抽样是基本抽样方式的共同特征,为了保证这一点,分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样.
二、分层抽样中的计算
例2　某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁)的人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层抽样的方法抽取5人,这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少 35岁以下的人数是多少
解　(1)由题意得
=,
解得n=40.
(2)35岁以下的人数为×400=4,35岁以上(含35岁)的人数为5-4=1.
反思感悟　(1)分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
已知总体容量、样本容量及各层的个体数时,首先确定抽样比,其中N为总体容量,n为样本容量;然后确定每层抽取的个体的个数ni=Ni×,其中Ni为第i(i=1,2,…,k)层的个体数,ni为第i层应抽取的个体数.
(2)分层抽样中的计算常用比例关系
①=;
②总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
(3)根据实际情况,可先剔除部分个体,再分层抽样.
跟踪训练2　我市某所高中共有学生6 000人,其中高一、高二、高三年级的人数比为3∶4∶5,为迎接“戏曲进校园”活动,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本,则应抽取高一年级的人数为 (　　)
A.50 B.60
C.70 D.80
答案　B
解析　应抽取高一年级的人数为240×=60.
三、分层抽样的设计
例3　某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级机关为了了解该政府机构的改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,并写出具体实施操作过程.
解　因为个体差异明显,为体现调查的公平性,应该采用分层抽样.因为=,
所以从副处级以上干部中抽取10×=2(人),
从一般干部中抽取70×=14(人),
从工人中抽取20×=4(人).
因为副处级以上干部与工人人数都较少,可分别按1~10编号与1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人.
一般干部有70人,人数较多,可以按00,01,…,69编号,然后利用随机数表法抽取14人.
反思感悟　分层抽样的步骤
跟踪训练3　某市的3个区共有高中学生20 000人,且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5,各区高中学生的视力有明显差异,现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本,调查该市高中学生的视力情况,试写出抽样过程.
解　由于该市各区高中学生的视力有明显差异,因而用分层抽样来抽取样本,具体步骤如下:
(1)按区将高中学生分为三层,其中一个区为一层.
(2)确定每层抽取个体的个数.在3个区分别抽取的学生人数之比是2∶3∶5,所以抽取的学生人数分别是200×=40;200×=60;200×=100.
(3)在各层分别抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成容量为200的样本.
1.知识清单:
(1)分层抽样的定义.
(2)分层抽样的步骤.
(3)分层抽样中的2个比例关系.
2.方法归纳:数据分析.
3.常见误区:
(1)在分层抽样中,每个个体被抽到的可能性相等,与层数及分层无关,每一层的抽样一般采用简单随机抽样.
(2)当总体容量不能被样本容量整除时注意剔除个体.
1.某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是 (　　)
A.简单随机抽样 B.抽签法
C.随机数表法 D.分层抽样
答案　D
解析　总体由男生和女生组成,比例为500∶400=5∶4,所抽取的比例也是5∶4.
2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于 (　　)
A.9 B.10
C.12 D.13
答案　D
解析　∵=,∴n=13.
3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生 (　　)
A.30人,30人,30人 B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
答案　B
解析　先求抽样比==,各层再按抽样比分别抽取,甲校抽取3 600×=30(人),乙校抽取5 400×=45(人),丙校抽取1 800×=15(人).
4.为了调查某省各城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为　　　　.
答案　4
解析　乙组城市数占总城市数的比例为=,样本容量为12,
故乙组中应抽取的城市数为12×=4.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分
1.要完成下列2项抽样调查:
①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查;
②某中学共有240名教职工,其中教师180名,行政人员24名,后勤人员36名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.
较为合理的抽样方法是 (　　)
A.①简单随机抽样,②分层抽样
B.①简单随机抽样,②简单随机抽样
C.①分层抽样,②分层抽样
D.①分层抽样,②简单随机抽样
答案　A
解析　由抽样方法的特点可知,①用简单随机抽样,②用分层抽样较为合理.
2.某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上(包括50岁)的人.如果用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行有关职业生涯规划的问卷调查,则从小到大各年龄段应分别抽取的人数为 (　　)
A.7,5,8 B.9,5,6
C.6,5,9 D.8,5,7
答案　B
解析　由于样本容量与总体个体数之比为=,故从小到大各年龄段抽取的人数依次为45×=9,25×=5,20-9-5=6.
3.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且2b=a+c,则第二车间生产的产品数为 (　　)
A.800 B.1 000
C.1 200 D.1 500
答案　C
解析　由2b=a+c,则第二车间生产的产品数为3 600×=3 600×=1 200.
4.共享单车为人们提供了一种新的出行方式,有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计,得到的数据如表所示:
年龄 12~19岁 20~29岁 30~39岁 40岁及以上
比例 14% 45.5% 34.5% 6%
为调查共享单车使用满意率情况,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取20~29岁的人数为 (　　)
A.12 B.28
C.69 D.91
答案　D
解析　由分层抽样的定义得应抽取20~29岁的人数为200×45.5%=91.
5.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称“驾驶员”)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为 (　　)
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012
答案　B
解析　甲社区驾驶员的抽样比为=,四个社区驾驶员总人数的抽样比为=,即=,所以N=808.
6.某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取容量为36的样本,则最适合的抽样方法是 (　　)
A.抽签法
B.随机数表法
C.先从中年人中剔除1人,再用分层抽样
D.先从老年人中剔除1人,再用分层抽样
答案　D
解析　总人数为28+54+81=163,样本容量为36,由于总体由差异明显的三部分组成,考虑用分层抽样,若按抽样比为取样,无法得到整解,故考虑先剔除1人,抽样比变为=,则中年人抽取12人,青年人抽取18人,先从老年人中剔除1人,老年人抽取6人,组成容量为36的样本.
7.(5分)某高中学校高一、高二、高三年级共有团干部56名,采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了3人,则高一年级团干部的人数为　　　　　.
答案　24
解析　高一年级团干部的人数为56×=24.
8.(5分)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为　　　　件.
答案　1 800
解析　设乙设备生产的产品总数为x件,则甲设备生产的产品总数为(4 800-x)件.
由题意,得=,
解得x=1 800.
9.(10分)某县共有320个自然村,其中山区32个,丘陵地区240个,平原地区48个.为调查村民收入状况,要从中抽出20个村进行调查,试设计一种比较合理的抽样方案,并简述抽样过程.
解　由于各地区自然条件的限制,各地区村民的经济收入有较大差异,故采用分层抽样法较为合理.因为=,所以按的比例抽取,
应在山区抽取32×=2(个),
丘陵地区抽取240×=15(个),
平原地区抽取48×=3(个).
具体实施过程:对于山区和平原地区,由于自然村数量较少,可采用抽签法,具体实施过程略.对于丘陵地区,自然村个数较多且差异不大,可采取随机数表法.首先将240个村按001,002,…,240编号.然后用随机数表法抽取15个村,综合各地区抽样便得到了一个容量为20的样本.
10.(10分)某高级中学共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示:
高一年级 高二年级 高三年级
女生 487 x y
男生 513 560 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的机会是0.18.
(1)问高二年级有多少名女生 (4分)
(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少名学生 (6分)
解　(1)由=0.18,得x=540,
∴高二年级有540名女生.
(2)高三年级人数为
y+z=3 000-(487+513+540+560)=900.
∴×300=90,故应在高三年级抽取90名学生.
11.某服装加工厂某月生产A,B,C三种产品共4 000件,为了保证产品质量,进行抽样检验,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类型 A B C
产品数量/件 2 300
样本容量/件 230
由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是 (　　)
A.80 B.800
C.90 D.900
答案　B
解析　由表可得抽样比为,所以样本总容量为400.因为A与C共170件,所以A有90件,C有80件.所以C产品的数量为800.
12.(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何 ”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应交多少税 则下列说法正确的是 (　　)
A.甲应交51钱
B.乙应交32钱
C.丙应交16钱
D.三者中甲交的税最多,丙交的税最少
答案　ACD
解析　依题意由分层抽样可知,抽样比为=,
则甲应交×560=51(钱);
乙应交×350=32(钱);
丙应交×180=16(钱).
13.(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二,学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有 (　　)
A.应该采用分层抽样法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽取的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
答案　ABD
解析　由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层抽样,由于分层抽样的抽样比为=,因此高一年级的1 000人中应抽取100人,高二年级的1 350人中应抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是,因此只有C不正确.
14.(5分)某电视台为了调查某综艺节目的收视率,现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本,这4 300人中有青年人1 600人,且中年人人数是老年人人数的2倍,现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中青年人有320人,则抽取的样本中老年人的人数为　　　　.
答案　180
解析　设老年人有x人,从中抽取y人,则1 600+3x=4 300,得x=900,即老年人有900人,则=,得y=180.
15.(多选)某景区吸引了大批的游客前往参观,某旅行社分年龄段统计了前往该景区的老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3,现用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名,若青年旅客抽到90人,则下列说法正确的是 (　　)
A.被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200
B.n=300
C.中年旅客抽到40人
D.老年旅客抽到150人
答案　ABD
解析　由题意从这些旅客中随机抽取n名,青年旅客抽到90人,则×n=90,所以n=300,故B正确;则中年旅客抽到×300=60(人),故C错误;老年旅客抽到×300=150(人),故D正确;被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为150+60=210,超过200,故A正确.
16.(12分)某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查,如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论 (6分)
(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作 (6分)
解　(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量为120,总体个数为500+3 000+4 000=7 500,则抽样比为=,
所以有500×=8,3 000×=48,
4 000×=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层抽样的步骤是:
①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层.
②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本.
④综合每层抽样,组成样本.
这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.
(2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法.如果用抽签法,要做3 000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是:
①编号:将3 000份答卷都编上号码0 001,0 002,0 003,…,3 000.
②在随机数表上随机选取一个开始位置.
③规定读数方向:向右连续取数字,以4个数为一组,如果读取的4位数大于3 000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止.
④按照得到的编号找到相应答卷,组成样本.第2课时　分层抽样
[学习目标]　1.理解并掌握分层抽样.2.会用分层抽样从总体中抽取样本.3.会用分层抽样解决实际问题.
一、分层抽样的概念
问题　某中学高一年级共有1 000名学生,男生有450名,女生有550名,若要抽取50名学生的身高作为样本,用简单随机抽样可以吗 为什么 如何去抽取比较合理
知识梳理
分层抽样的概念
一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成　　　　　　　、　　　　　的几部分时,每一部分可称为　　　　,在各层中按层在总体中所占　　　　进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
例1　(1)下列各项中属于分层抽样的特点的是 (　　)
A.从总体中逐个抽取
B.将总体分成几层,分层进行抽取
C.将总体分成几部分,在各部分中抽取相同数量的个体
D.将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取
(2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是 (　　)
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中,某班有10人在100分(含100分)以上,40人在90~100分,12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况
C.从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
反思感悟　使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则.
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与该层个体数量的比等于抽样比.
跟踪训练1　(1)下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是 (　　)
A.从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B.从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C.从一箱30个零件中抽取5个入样
D.从甲、乙两厂生产的300个零件中抽取6个入样
(2)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样,必须进行 (　　)
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽取的个体数量相同
二、分层抽样中的计算
例2　某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上 (含35岁)的人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层抽样的方法抽取5人,这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少 35岁以下的人数是多少
反思感悟　(1)分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
已知总体容量、样本容量及各层的个体数时,首先确定抽样比,其中N为总体容量,n为样本容量;然后确定每层抽取的个体的个数ni=Ni×,其中Ni为第i(i=1,2,…,k)层的个体数,ni为第i层应抽取的个体数.
(2)分层抽样中的计算常用比例关系
①=;
②总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
(3)根据实际情况,可先剔除部分个体,再分层抽样.
跟踪训练2　我市某所高中共有学生6 000人,其中高一、高二、高三年级的人数比为3∶4∶5,为迎接“戏曲进校园”活动,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本,则应抽取高一年级的人数为 (　　)
A.50 B.60
C.70 D.80
三、分层抽样的设计
例3　某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级机关为了了解该政府机构的改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,并写出具体实施操作过程.
反思感悟　分层抽样的步骤
跟踪训练3　某市的3个区共有高中学生20 000人,且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5,各区高中学生的视力有明显差异,现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本,调查该市高中学生的视力情况,试写出抽样过程.
1.知识清单:
(1)分层抽样的定义.
(2)分层抽样的步骤.
(3)分层抽样中的2个比例关系.
2.方法归纳:数据分析.
3.常见误区:
(1)在分层抽样中,每个个体被抽到的可能性相等,与层数及分层无关,每一层的抽样一般采用简单随机抽样.
(2)当总体容量不能被样本容量整除时注意剔除个体.
1.某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是 (　　)
A.简单随机抽样 B.抽签法
C.随机数表法 D.分层抽样
2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于 (　　)
A.9 B.10
C.12 D.13
3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生 (　　)
A.30人,30人,30人 B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
4.为了调查某省各城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为　　　　.
答案精析
问题　不可以直接使用简单随机抽样.如果采用简单随机抽样,得到的样本中,男生(女生)所占比例与总体中的男生(女生)所占比例可能存在较大差异,从而导致最后得到的结果不能很好地反映总体的情况,可以将男生和女生看作两个群体,分别进行简单随机抽样,然后汇总作为总体的一个样本,即采用按男生、女生的比例去抽样的方法比较合理.
知识梳理
有明显差别的　互不重叠　层　比例
例1　(1)B　[A属于简单随机抽样的特点,B属于分层抽样的特点,C,D不属于分层抽样的特点,所以应选B.]
(2)B　[A中总体个体无明显差异,不适合用分层抽样;C和D中总体个体无明显差异,不适合用分层抽样;B中总体个体差异明显,适合用分层抽样.]
跟踪训练1　(1)D　(2)C
例2　解　(1)由题意得
=,
解得n=40.
(2)35岁以下的人数为×400=4,35岁以上(含35岁)的人数为5-4=1.
跟踪训练2　B
例3　解　因为个体差异明显,为体现调查的公平性,应该采用分层抽样.
因为=,
所以从副处级以上干部中抽取
10×=2(人),
从一般干部中抽取70×=14(人),
从工人中抽取20×=4(人).
因为副处级以上干部与工人人数都较少,可分别按1~10编号与1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人.
一般干部有70人,人数较多,可以按00,01,…,69编号,然后利用随机数表法抽取14人.
跟踪训练3　解　由于该市各区高中学生的视力有明显差异,因而用分层抽样来抽取样本,具体步骤如下:
(1)按区将高中学生分为三层,其中一个区为一层.
(2)确定每层抽取个体的个数.在3个区分别抽取的学生人数之比是2∶3∶5,所以抽取的学生人数分别是200×=40;200×=60;200×=100.
(3)在各层分别抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成容量为200的样本.
随堂演练
1.D　2.D　3.B　4.4

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