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第2课时　极差、方差与标准差
[学习目标]　1.理解样本数据的极差、方差、标准差的意义和作用,学会计算数据的极差、方差、标准差.
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、极差、方差、标准差),并做出合理的解释.
导语
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息,这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息,很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识.
一、极值、方差与标准差的计算
问题1　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲:7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙:9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7
甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环
提示　经计算得=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得=7.
问题2　观察下图中两人成绩的频率分布条形图,你能说明其水平差异在哪里吗
提示　直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.
问题3　对于甲、乙两人的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外,还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度
提示　还经常用甲、乙命中环数的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.甲的环数极差为10-4=6,乙的环数极差为9-5=4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.
知识梳理
1.极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.
2.方差
如果x1,x2,…,xn的平均数为,则方差可用求和符号表示为s2==
3.标准差
方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度,一般用s表示.
s=
注意点:
(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值极为敏感,一般情况下,极差大,则数据波动性大;极差小,则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值,便于计算,但没有考虑中间的数据,可靠性较差.
(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的,但解决问题时一般用标准差.
例1　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,得到如下数据:
甲:99　100　98　100　100　103
乙:99　100　102　99　100　100
分别计算两组数据的平均数及方差.
解　=×(99+100+98+100+100+103)=100,
=×(99+100+102+99+100+100)=100.
=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
反思感悟　求方差的基本方法
(1)先求平均值,再代入公式s2=或s2=
(2)当一组数据重复数据较多时,可先整理出频数表,再计算s2.
跟踪训练1　某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分):
甲组:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80;
乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差.
解　甲组:最高分为95分,最低分为60分,极差为95-60=35(分),
平均分=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分),
方差=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119,
标准差s甲==≈10.91.
乙组:最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30(分),
平均分=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分),
方差=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25,
标准差s乙==≈8.67.
二、方差、标准差的性质
知识梳理
方差、标准差的性质:如果a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2、标准差为|a|s.
注意点:
(1)方差、标准差的取值范围为[0,+∞).
(2)方差、标准差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动,数据没有离散性.
例2　设样本数据x1,x2,…,x10的平均数和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的平均数和方差分别为 (　　)
A.1+a,4 B.1+a,4+a
C.1,4 D.1,4+a
答案　A
解析　∵x1,x2,…,x10的平均数=1,方差=4,
且yi=xi+a(i=1,2,…,10),
∴y1,y2,…,y10的平均数=×(y1+y2+…+y10)=×(x1+x2+…+x10+10a)=×(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,
其方差=×[(y1-)2+(y2-)2+…+(y10-)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]==4.
反思感悟　若样本数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则yi=axi+b,i=1,2,…,n的平均数为a+b,方差为a2s2,标准差为|a|s.
跟踪训练2　若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为 (　　)
A.8 B.15
C.16 D.32
答案　C
解析　样本数据x1,x2,…,x10的标准差s=8,则样本数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差s'=2×8=16.
三、数据的数字特征的应用
例3　为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株,测得它们的株高分别为(单位:cm):
甲:25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙:27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
(1)哪种小麦的苗长得高
(2)哪种小麦的苗长得齐
解　(1)=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm).
=×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm).
显然<,所以乙种小麦的苗长得高.
(2)=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=×(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=×1 042=104.2.
=×[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-31)2+(16-31)2+(40-31)2]=×(16+225+169+16+169+225+81+81+225+81)=×1 288=128.8.
显然<,所以甲种小麦的苗长得齐.
反思感悟　用样本估计总体时,样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值,实际应用中,需先分析平均水平,再计算标准差(方差)分析稳定情况.
跟踪训练3　2023年第一届全国学生(青年)运动会(简称“学青会”)在广西南宁举办,某中学欲在两名优秀学生中挑选一名参加志愿者服务活动(翻译),他们的5次口语测试成绩如表:
序号 1 2 3 4 5
甲 72 85 86 90 92
乙 76 83 85 87 94
请运用所学统计知识挑选一名合适的学生参加运动会的志愿者活动(说明理由).
解　==85.
==85.
=
=48.8.
=
=34.
∵=>.
∴两个人平均水平一样,但是乙更稳定,应该选择乙比较合理.
1.知识清单:
(1)极差、标准差、方差的计算方法.
(2)方差、标准差的性质.
(3)数据的数字特征的应用.
2.方法归纳:数据分析.
3.常见误区:
(1)数据同时增加或减少相同的数,平均数变化,方差不变.
(2)方差、标准差的计算.
(3)在计算方差或标准差时,当数据的重复数据较多时,要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算.
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.在两组数据中,平均数较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均数的波动大小
C.求出各个数据与平均数的差的平方后再相加,所得的和就是方差
D.众数能反映一组数据的离散程度
答案　B
解析　由平均数、众数、方差的定义及意义可知选B.
2.某同学5天上学途中所花的时间(单位:分钟)分别为12,8,10,9,11,则这组数据的方差为 (　　)
A.4 B.2
C.9 D.3
答案　B
解析　由题意可得==10,
由方差公式可得s2=×[(12-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(9-10)2+(11-10)2]=2.
3.国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛,四人的平均成绩和方差如表所示:
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派　　　　参赛最为合适.
答案　丙
解析　由表可知,丙的平均成绩较高,且发挥比较稳定,应派丙去参赛最合适.
4.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均数为1,则样本方差为　　　　.
答案　2
解析　由题意知(a+0+1+2+3)=1,
解得a=-1.
所以样本方差为s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共12分
1.已知数据:2,4,4,6,6,6,8,8,8,8,则这10个数的标准差为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　这10个数的平均数=×(2+4×2+6×3+8×4)=6,
方差s2=[(2-6)2+(4-6)2×2+(6-6)2×3+(8-6)2×4]=4,
则标准差为2.
2.(多选)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,可能发生变化的数字特征是 (　　)
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
答案　BCD
解析　由于去掉一个最高分与最低分后,评委所评的9个分数从小到大排序后,中间一个数字不会改变,故中位数不变.由于最高分和最低分是极端分数,因此会影响平均数、方差和极差.
3.若一组数据a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这组数据的方差是 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　x2-5x+4=0的两根是1,4.当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.所以a=1,b=4,则方差为s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
4.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位代表,得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,年龄在(-s,+s)内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数,s为标准差,结果精确到1%) (　　)
A.14% B.25%
C.56% D.67%
答案　C
解析　因为=
=40,s2=×(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=,即s=.
年龄在(-s,+s)内,即内的人数有5人,所以百分比为≈56%.
5.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲:7　8　10　9　8　8　6
乙:9　10　7　8　7　7　8
则下列判断正确的是 (　　)
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C.乙射击的平均成绩比甲好
D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
答案　D
解析　甲命中的环数的平均数为
=×(7+8+10+9+8+8+6)=8,
乙命中的环数的平均数为
=×(9+10+7+8+7+7+8)=8,
所以甲、乙射击的平均成绩相等,故A,C均错误;甲射击的成绩的众数是8,乙射击的成绩的众数是7,所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数,故B错误;甲射击的成绩的极差为10-6=4,乙射击的成绩的极差为10-7=3,所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差,故D正确.
6.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,则由此求出的平均数与实际平均数的差是 (　　)
A.3.5 B.-3
C.3 D.-0.5
答案　B
解析　少输入90,=3,平均数少3,求出的平均数减去实际平均数为-3.
7.(5分)新莽铜嘉量是由新莽时期刘歆等人设计制造的量器标准器,它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭,可测得各器的径、深、底面积和容积.现根据铭文计算,当时制造容器时所用的圆周率分别为3.154 7,3.199 2,3.149 8,3.203 1,比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步,则上面4个数据与祖冲之给出的约率3.142 9、密率3.141 6这6个数据的极差为　　　,60%分位数为　　　.
答案　0.061 5　3.154 7
解析　根据题意,所给的6个数据从小到大排列依次为3.141 6,3.142 9,3.149 8,3.154 7,3.199 2,3.203 1,
所以这6个数据的极差为3.203 1-3.141 6=0.061 5,
因为6×60%=3.6,所以60%分位数为3.154 7.
8.(5分)某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分数为70,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,则更正后平均分和方差分别是　　　,　　　.
答案　70　50
解析　甲少记30分,乙多记30分,则总分不变,由此平均分不发生变化;原方差s2=(++…++502+1002-48×702)=75,更正后方差s'2=(++…++802+702-48×702)=(++…++502+1002-48×702-1 200)=s2-×1 200=50.
9.(10分)为了展示中华汉字的无穷魅力,传递传统文化,提高学习热情,某校开展“中国汉字听写大会”的活动.为响应学校号召,高二9班组建了兴趣班,其中甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为
甲:68,69,71,72,74,78,83,85;
乙:65,70,70,73,75,80,82,85.
(1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;(4分)
(2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛,从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适 (6分)
解　(1)甲的平均数为= (68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75,中位数为(72+74)÷2=73,
乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75,中位数为(73+75)÷2=74.
(2)甲的方差为=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)2]÷8=35.5,
乙的方差为=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2] ÷8=41,
∵<,
∴甲成绩更稳定,派甲参加比较合适.
10.(13分)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲　6　9　7　8　8　5　6
乙　a　3　9　8　9　6　4
经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的.
(1)求实数a的值;(6分)
(2)请通过计算,判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定 (7分)
解　(1)由题意知,甲的平均成绩为=×(6+9+7+8+8+5+6)=7,
乙的平均成绩为=×(a+3+9+8+9+6+4)=(a+39),
又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的,所以有(a+39)=7,解得a=10,
故实数a的值为10.
(2)甲的方差=×[(6-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=,
乙的方差=×[(10-7)2+(3-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(4-7)2]=,
由<知,甲的成绩比乙更稳定.
11.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛,参加学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表:
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中,正确的是 (　　)
A.甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C.甲班的成绩比乙班的成绩波动大
D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
答案　ABC
解析　甲、乙两班成绩的平均数都是135,故两班成绩的平均水平相同,所以A正确;=191>110=,所以甲班成绩不如乙班稳定,即甲班成绩波动较大,所以C正确;甲、乙两班人数相同,但甲班成绩的中位数为149,乙班成绩的中位数为151,从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班,所以B正确;由题表看不出两班学生成绩的众数,所以D错误.
12.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,(x,y∈N),已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案　A
解析　由这组数据的平均数为10,方差为2可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,设x=10+t,y=10-t,由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4,所以|x-y|=2|t|=4.
13.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 (　　)
A.55.2,3.6 B.55.2,56.4
C.64.8,63.6 D.64.8,3.6
答案　D
解析　设这组数据分别为x1,x2,…,xn,
由其平均数是4.8,方差是3.6,则有
=(x1+x2+…+xn)=4.8,
方差=[++…+]=3.6,
若将这组数据中每一个数据都加上60,
则数据为x1+60,x2+60,…,xn+60,
则其平均数为=[(x1+60)+(x2+60)+…+(xn+60)]=64.8,
方差为=[++…+]=3.6.
14.已知数据x1,x2,…,xn的方差为s2,数据ax1-1,ax2-1,…,axn-1的方差为4s2.则a等于 (　　)
A.1 B.2
C.±2 D.-2
答案　C
解析　已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,
记数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为',方差为s'2,
则'=
=
==a+b,
s'2=
==a2s2,
故ax1-1,ax2-1,…,axn-1的方差为a2s2,
所以a2=4,则a=±2.
15.(15分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得==9.97,s=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
一天内抽检的零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(1)从这一天抽检的结果看,是否需要对当天的生产过程进行检查 (6分)
(2)在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数与标准差.(精确到0.01,参考数据:≈0.09)(9分)
解　(1)由于=9.97,s≈0.212,-3s=9.334,+3s=10.606,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.
(2)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为×(16×9.97-9.22)=10.02,
即这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数为10.02,
因为方差s2=
所以 =16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为
×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
则这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.第2课时　极差、方差与标准差
[学习目标]　1.理解样本数据的极差、方差、标准差的意义和作用,学会计算数据的极差、方差、标准差.
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、极差、方差、标准差),并做出合理的解释.
一、极值、方差与标准差的计算
问题1　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲:7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙:9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7
甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环
问题2　观察下图中两人成绩的频率分布条形图,你能说明其水平差异在哪里吗
问题3　对于甲、乙两人的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外,还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度
知识梳理
1.极差
一组数的极差指的是这组数的　　　　　　　　　　　　　　.
2.方差
如果x1,x2,…,xn的平均数为,则方差可用求和符号表示为s2=　　　　　　　　=
3.标准差
方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度,一般用s表示.
s=
例1　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,得到如下数据:
甲:99　100　98　100　100　103
乙:99　100　102　99　100　100
分别计算两组数据的平均数及方差.
跟踪训练1　某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分):
甲组:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80;
乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差.
二、方差、标准差的性质
知识梳理
方差、标准差的性质:如果a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为　　　　　、标准差为|a|s.
例2　设样本数据x1,x2,…,x10的平均数和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的平均数和方差分别为 (　　)
A.1+a,4 B.1+a,4+a
C.1,4 D.1,4+a
反思感悟　若样本数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则yi=axi+b,i=1,2,…,n的平均数为a+b,方差为a2s2,标准差为|a|s.
跟踪训练2　若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为 (　　)
A.8 B.15
C.16 D.32
三、数据的数字特征的应用
例3　为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株,测得它们的株高分别为(单位:cm):
甲:25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙:27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
(1)哪种小麦的苗长得高
(2)哪种小麦的苗长得齐
跟踪训练3　2023年第一届全国学生(青年)运动会(简称“学青会”)在广西南宁举办,某中学欲在两名优秀学生中挑选一名参加志愿者服务活动(翻译),他们的5次口语测试成绩如表:
序号 1 2 3 4 5
甲 72 85 86 90 92
乙 76 83 85 87 94
请运用所学统计知识挑选一名合适的学生参加运动会的志愿者活动(说明理由).
1.知识清单:
(1)极差、标准差、方差的计算方法.
(2)方差、标准差的性质.
(3)数据的数字特征的应用.
2.方法归纳:数据分析.
3.常见误区:
(1)数据同时增加或减少相同的数,平均数变化,方差不变.
(2)方差、标准差的计算.
(3)在计算方差或标准差时,当数据的重复数据较多时,要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算.
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.在两组数据中,平均数较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均数的波动大小
C.求出各个数据与平均数的差的平方后再相加,所得的和就是方差
D.众数能反映一组数据的离散程度
2.某同学5天上学途中所花的时间(单位:分钟)分别为12,8,10,9,11,则这组数据的方差为 (　　)
A.4 B.2
C.9 D.3
3.国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛,四人的平均成绩和方差如表所示:
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派　　　　参赛最为合适.
4.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均数为1,则样本方差为　　　　.
答案精析
问题1　经计算得=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得=7.
问题2　直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.
问题3　还经常用甲、乙命中环数的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.
甲的环数极差为10-4=6,乙的环数极差为9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.
显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.
知识梳理
1.最大值减去最小值所得的差
2.
例1　解　=×(99+100+98+100+100+103)=100,
=×(99+100+102+99+100+100)=100.
=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
跟踪训练1　解　甲组:最高分为95分,最低分为60分,
极差为95-60=35(分),
平均分=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分),
方差=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119,
标准差s甲==≈10.91.
乙组:最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30(分),
平均分=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分),
方差=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25,
标准差s乙==≈8.67.
知识梳理
a2s2　
例2　A　[∵x1,x2,…,x10的平均数=1,方差=4,
且yi=xi+a(i=1,2,…,10),
∴y1,y2,…,y10的平均数
=×(y1+y2+…+y10)
=×(x1+x2+…+x10+10a)
=×(x1+x2+…+x10)+a
=+a=1+a,
其方差=×[(y1-)2+(y2-)2+…+(y10-)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]
==4.]
跟踪训练2　C
例3　解　(1)=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm).
=×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm).
显然<,所以乙种小麦的苗长得高.
(2)=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=×(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=×1 042=104.2.
=×[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-31)2+(16-31)2+(40-31)2]=×(16+225+169+16+169+225+81+81+225+81)=×1 288=128.8.
显然<,所以甲种小麦的苗长得齐.
跟踪训练3解　==85.
==85.
=
=48.8.
=
=34.
∵=>.
∴两个人平均水平一样,但是乙更稳定,应该选择乙比较合理.
随堂演练
1.B　2.B　3.丙　4.2

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