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第2课时　频数分布直方图与频率分布直方图
[学习目标]　1.会列频率分布表,会画频数分布直方图、频率分布直方图、频数分布折线图和频率分布折线图.2.能够利用图形解决实际问题.
导语
收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息.因为实际问题中数据多而杂乱,往往无法直接从原始数据中发现规律,所以需要根据问题的背景特点,选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述.怎样才能直观地表示出数据的大致分布呢
一、频数与频率
知识梳理
1.频数:在一组数据中,数据出现的次数称为频数,某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.
2.频率:在一组数据中,数据的频数与这组数据总个数的比值称为频率,区间对应的频数与这组数据个数的比值称为区间对应的频率.
例1　(1)将容量为100的样本数据分为8组,如表所示:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
则第3组的频率为 (　　)
A.0.03 B.0.07
C.0.14 D.0.21
(2)如图,一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60]内的频率为0.6,则估计样本在[40,50),[50,60]内的数据个数之和为　　　　.
答案　(1)C　(2)21
解析　(1)由题意得x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=14,所以第3组的频率为=0.14.
(2)根据题意,设分布在[40,50],[50,60]内的数据个数分别为x,y.
∵样本中数据在[20,60]内的频率为0.6,样本容量为50,∴=0.6,解得x+y=21.
即样本在[40,50),[50,60]内的数据个数之和为21.
反思感悟　对于频数与频率的问题,首先要明确几个关系,即各组的频数之和等于样本容量,各组的频率之和为1,频率=.在解题过程中,要明确频数、频率以及样本容量之间的关系,弄清楚已知和所求,选择合适的公式解题.
跟踪训练1　某市共有5 000名高三学生参加联考,为了了解这些学生对数学知识的掌握情况,现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 频数 频率
[80,90) ① ②
[90,100) 0.050
[100,110) 0.200
[110,120) 36 0.300
[120,130) 0.275
[130,140) 12 ③
[140,150] 0.050
合计 ④
根据上面的频率分布表,可知①处的数值为　　　　,
②处的数值为　　　　.
答案　3　0.025
解析　由成绩在[110,120)内的频数为36,频率为=0.300,得样本容量n=120,所以成绩在[130,140)内的频率为=0.100,故②处应为1-0.050-0.200-0.300-0.275-0.100-0.050=0.025,①处应为0.025×120=3.
二、频数、频率分布直方图及其折线图的绘制
知识梳理
1.频数分布直方图与频率分布直方图的绘制步骤(1)找出最值,计算极差;
(2)合理分组,确定区间;
(3)整理数据;
(4)作出有关图示.
频数分布直方图 纵坐标是频数,每一组数对应的矩形高度与频数成正比
频率分布直方图 纵坐标是,每一组数对应的矩形高度与频率成正比,每个矩形的面积等于这一组数对应的频率,所有矩形的面积之和为1
2.频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来,且画成与横轴相交.
注意点:
绘制频率分布直方图应注意
(1)决定组距与组数:组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况.组距与组数的确定没有固定的标准,常常需要一个尝试和选择的过程.当样本容量不超过100时,常分成5~12组.
(2)分点的确定:若数据为整数,则分点数据减去0.5;若数据是小数点后有一位数字的数,则分点数据减去0.05,以此类推.分组时,通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
例2　某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分)
135　98　102　110　99　121　110　96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和折线图.
解　100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.取组距为5,则组数为=11.
(1)频率分布表如下:
分组 频数 频率 频率/组距
[80,85) 1 0.01 0.002
[85,90) 2 0.02 0.004
[90,95) 4 0.04 0.008
[95,100) 14 0.14 0.028
[100,105) 24 0.24 0.048
[105,110) 15 0.15 0.030
[110,115) 12 0.12 0.024
[115,120) 9 0.09 0.018
[120,125) 11 0.11 0.022
[125,130) 6 0.06 0.012
[130,135] 2 0.02 0.004
合计 100 1.00 0.200
注:表中加上“频率/组距”一列,这是为画频率分布直方图准备的,因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示.
反思感悟　列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系
(1)若为整数,则=组数;
(2)若不为整数,则的整数部分+1=组数.
跟踪训练2　有一容量为200的样本,数据的分组以及各组的频数如下:
[-20,-15),7;[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图;
(3)求样本数据不足0的频率.
解　(1)频率分布表如表:
分组 频数 频率
[-20,-15) 7 0.035
[-15,-10) 11 0.055
[-10,-5) 15 0.075
[-5,0) 40 0.200
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.100
[15,20] 17 0.085
合计 200 1.000
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
(3)样本数据不足0的频率为0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.
三、频率分布直方图的应用
例3　某中学进行电脑知识竞赛,现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.40,
0.15,0.10,x,第五组小矩形的高度为y.
(1)求x,y的值;
(2)估计参赛学生成绩的众数和中位数;
(3)估计参赛学生的平均成绩;
(4)若第五组的频数为2,求高一两个班参赛学生的人数.
解　(1)∵0.30+0.40+0.15+0.10+x=1,
∴x=0.05,y==0.005.
(2)由于第二组频率最大,估计众数为第二组中间值65.设中位数为z,则0.03×10+(z-60)×0.04=0.5,
解得z=65,所以中位数为65.
(3)估计参赛学生的平均成绩为
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
(4)设高一两个班参赛学生的人数为n,
则2=0.05n,∴n=40,
即高一两个班参赛学生的人数为40.
反思感悟　频率分布直方图中,各数字特征虽不能直接求出,但是可以近似估计
(1)中位数:频率分布直方图中,中位数左边和右边各矩形的面积和相等,由此可以估计中位数的值.
(2)众数:频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标.
(3)平均数:频率分布直方图中每个小矩形的面积与其底边中点的横坐标之积的和.
(4)方差:s2=(其中n为组数,为估计平均值,pi,分别为第i组的频率和中点值).
跟踪训练3　某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.整理评分数据,将分数以10为组距分为6组:
[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表.
A餐厅分数的频率分布直方图
B餐厅分数的频数分布表
分数区间 频数
[0,10) 2
[10,20) 3
[20,30) 5
[30,40) 15
[40,50) 40
[50,60] 35
(1)在抽样的100人中,求对A餐厅评分低于30分的人数;
(2)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家 并说明理由.
解　(1)从频率分布直方图得到评分低于30分的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,
所以抽样的100人中,对A餐厅评分低于30分的人数为0.2×100=20.
(2)从频数分布表可以看出在抽样的100人中,对A餐厅评分低于30分的人数占比为×100%=20%,
对B餐厅评分低于30分的人数为2+3+5=10,所占的比例为×100%=10%,显然评分低于30分的人数占比越少,说明餐厅的用餐满意度越好,所以我会选择B餐厅用餐.
1.知识清单:
(1)频数与频率.
(2)频率(数)分布直方图的绘制.
(3)频率分布直方图的应用.
2.方法归纳:图表识别、数据分析.
3.常见误区:频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清.
1.频率分布直方图中,小长方形的面积等于 (　　)
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
答案　B
解析　根据小长方形的宽及高的意义,可知小长方形的面积为一组样本数据的频率.
2.某校为了解高三学生的身体状况,抽取了100名女生的体重数据.将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在40~45 kg的人数是 (　　)
A.10 B.2 C.5 D.15
答案　A
解析　由图可知频率=×组距,知频率为0.02×5=0.1.所以所抽取的女生中体重在40~45 kg的有0.1×100=10(人).
3.为了解学生参加体育锻炼的情况,现抽取了n名学生进行调查,结果显示这些学生每月的锻炼时间(单位:小时)在[10,50]内,其中锻炼时间在[30,50]内的学生有134人,频率分布直方图如图所示,则n等于 (　　)
A.150 B.160 C.180 D.200
答案　D
解析　由频率分布直方图得锻炼时间在[30,50]内的频率为1-(0.010+0.023)×10=0.670,所以n==200.
4.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示,分数不低于a即为优秀,如果优秀的人数为20,则a的估计值是　　　　(填整数).
答案　133
解析　由已知可以判断a∈[130,140),所以[(140-a)×0.015+0.01×10]×100=20.解得a≈133.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共18分
1.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),
[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 (　　)
A.45 B.50 C.55 D.60
答案　B
解析　根据频率分布直方图的特点可知,低于60分的频率是(0.005+0.01)×20=0.3,所以该班的学生人数是=50.
2.(多选)某企业为了了解员工给灾区“爱心捐款”的情况,随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图,根据图中信息,下列结论正确的是 (　　)
A.样本中位数是200元
B.样本容量是20
C.该企业员工捐款金额的极差是450元
D.该企业员工最大捐款金额是500元
答案　BCD
解析　对于A,共2+8+5+4+1=20(人),中位数为150元,错误;对于B,共20人,故样本容量为20,正确;对于C,极差为500-50=450(元),正确;对于D,该企业员工最大捐款金额是500元,正确.
3.在样本的频率分布直方图中,共有8个小长方形,若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积之和的,且样本容量为200,则第8组的频数为 (　　)
A.40 B.0.2 C.50 D.0.25
答案　A
解析　设最后一个小长方形的面积为x,则其他7个小长方形的面积和为4x,从而x+4x=1,所以x=0.2.故第8组的频数为200×0.2=40.
4.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值分别为 (　　)
A.62,62.5 B.65,62
C.65,62.5 D.62.5,62.5
答案　C
解析　最高的矩形为第三个矩形,所以时速的众数为65,前两个矩形的面积和为(0.01+0.03)×10=0.4,由于0.5-0.4=0.1,又0.1÷0.04=2.5,所以中位数为60+2.5=62.5.
5.(多选)某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后,并将每个小矩形上面一边的中点用线段连接起来得到频率分布折线图(如图所示).
据此图,下列说法正确的是 (　　)
A.由频率分布折线图可以看出,在区间[80,120)内,随着成绩的增加,各分数段对应的人数一直增加
B.由频率分布折线图可以看出,在区间[110,140)内,各分数段对应的人数逐渐减少
C.据频率分布折线图可以估计此次考试成绩的众数是115
D.据频率分布折线图可以看出有50%以上的同学的分数在区间[100,130)内
答案　BCD
解析　由题图可知分数在[90,100)与[100,110)内的人数相同,故A错误;
由折线变化趋势可知B正确;
区间[110,120)对应的纵坐标最大,所以相应的频率最大,频数也最大,据此估计此次考试成绩的众数为115,故C正确;
由折线图的绘制过程及频率分布直方图中小矩形的面积意义可知D正确.
6.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据如下所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是 (　　)
3　　7　17　16　14　14　13　10　27　25　25
24　23　22　20　38　35　34　33　30
答案　A
解析　由统计的数据知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等,故频率、也分别相等.比较四个选项知A正确.
7.(5分)某路段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不得超过70 km/h,否则视为违规扣分.某天有1 000辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图(如图所示),则违规扣分的汽车大约为　　　　辆.
答案　120
解析　易求得时速在70~80 km/h这组的频率为1-0.05-0.18-0.38-0.27=0.12,
则违规扣分的汽车大约为0.12×1 000=120(辆).
8.(5分)为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位:kg)情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图,如图所示,已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3,其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为　　　　.
答案　48
解析　设报考飞行员的总人数为n,
设第一小组的频率为a,
则有a+2a+3a+(0.013+0.037)×5=1,
解得a=0.125,所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12,
则有0.25=,所以n=48.
9.(10分)如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内的频数为8.
(1)求样本数据在[15,18)内的频率;(3分)
(2)求样本容量;(3分)
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33]内的频数.(4分)
解　由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本数据在[15,18)内的频率等于×3=.
(2)因为样本数据在[15,18)内的频数为8,由(1)可知,
样本容量为=8×=50.
(3)因为在[12,15)内的小矩形面积为0.06,
故样本数据在[12,15)内的频率为0.06,
故样本数据在[15,33]内的频数为50×(1-0.06)=47,
又样本数据在[15,18)内的频数为8,
故样本数据在[18,33]内的频数为47-8=39.
10.(10分)某市4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为烟尘、总悬浮颗粒物等):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)列出频率分布表;(3分)
(2)作出频率分布直方图;(3分)
(3)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优;在51~100之间时,为良(特别说明:在80以上时被认为接近轻微污染);在101~150之间时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准,对该市4月份的空气质量给出一个简短评价.(4分)
解　(1)频率分布表:
分组 频数 频率
[41,51) 2
[51,61) 1
[61,71) 4
[71,81) 6
[81,91) 10
[91,101) 5
[101,111] 2
合计 30 1
(2)频率分布直方图如图所示.
(3)答对下述两条中的一条即可.
①该市4月份中空气质量有2天处于优的水平,占当月天数的;有26天处于良的水平,占当月天数的;处于优或良的天数为28,占当月天数的.说明该市4月份空气质量基本良好.
②轻微污染有2天,占当月天数的;污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17天,占当月天数的,超过50%,说明该市4月份空气质量有待进一步改善.
11.某教育机构随机抽查某校20个班级,调查各班关注“汉字听写大赛”的学生人数,根据所得数据的茎叶图,以5为组距将数据分组成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图如图所示,则原始的茎叶图可能是 (　　)
答案　A
解析　由频率分布直方图知,各组频数统计如下表:
分组 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20)
频数 1 1 4 2
分组 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
频数 4 3 3 2
结合各选项茎叶图中的数据可知选项A正确.
12.(多选)供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计后,按人均用电量分为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]五组,整理得到频率分布直方图(如图所示),则有关这1 000位居民,下列说法正确的是 (　　)
A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B.12月份人均用电量在[20,30)内的有300人
C.12月份人均用电量不低于20度的有500人
D.12月份人均用电量为25度
答案　ABC
解析　根据频率分布直方图知,12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20),有1 000×0.04×10=400(人),A正确;12月份人均用电量在[20,30)内的人数为1 000×0.03×10=300,B正确;12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5,有1 000×0.5=500(人),C正确;12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22(度),D错误.
13.(5分)某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示,根据图中的信息,可确定被抽测的人数为　　　　,分数在[90,100]内的人数为　　　　.
答案　25　2
解析　由频率分布直方图知,分数在[90,100]内的频率和[50,60)内的频率相同,所以分数在[90,100]内的人数为2,总人数为=25.
14.(5分)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=　　　　.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为　　　　.
答案　0.030　3
解析　因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由频率分布直方图可知身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为10,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为×18=3.
15.某养猪场定购了一批仔猪,从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位:斤),经数据处理得到如图①的频率分布直方图,其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图②所示,为了将这批仔猪分栏喂养,需计算频率分布直方图中的一些数据,其中a+b的值为 (　　)
图①
图②
A.0.144 B.0.152 C.0.76 D.0.076
答案　B
解析　由题意得c+d=×=0.024,且[2(c+d)+a+b]×5=1,所以2×0.024+a+b=0.2,所以a+b=0.152.
16.(12分)某高中有高一新生500名,分成水平相同的A,B两类进行教学实验,为对比教学效果,现用分层抽样的方法从A,B两类学生中分别抽取了40人,60人进行测试.
(1)求该学校高一新生中A,B两类学生各多少人 (4分)
(2)经过测试,得到以下三个数据图表:
图1:75分及以上A,B两类学生参加测试的成绩的茎叶图
图2:100名学生测试成绩的频率分布直方图
图3:100名学生成绩的频率分布表
组号 分组 频数 频率
1 [55,60) 5 0.05
2 [60,65) 20 0.20
3 [65,70)
4 [70,75) 35 0.35
5 [75,80)
6 [80,85]
合计 100 1.00
先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图补充完整.(8分)
解　(1)由题意知A类学生有500×=200(人),
则B类学生有500-200=300(人).
(2)表格:
组号 分组 频数 频率
1 [55,60) 5 0.05
2 [60,65) 20 0.20
3 [65,70) 25 0.25
4 [70,75) 35 0.35
5 [75,80) 10 0.10
6 [80,85] 5 0.05
合计 100 1.00
图2:第2课时　频数分布直方图与频率分布直方图
[学习目标]　1.会列频率分布表,会画频数分布直方图、频率分布直方图、频数分布折线图和频率分布折线图.2.能够利用图形解决实际问题.
一、频数与频率
知识梳理
1.频数:在一组数据中,数据出现的次数称为频数,某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.
2.频率:在一组数据中,数据的频数与这组数据总个数的比值称为频率,区间对应的频数与这组数据个数的比值称为区间对应的频率.
例1　(1)将容量为100的样本数据分为8组,如表所示:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
则第3组的频率为 (　　)
A.0.03 B.0.07
C.0.14 D.0.21
(2)如图,一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60]内的频率为0.6,则估计样本在[40,50),[50,60]内的数据个数之和为　　　　.
反思感悟　对于频数与频率的问题,首先要明确几个关系,即各组的频数之和等于样本容量,各组的频率之和为1,频率=.在解题过程中,要明确频数、频率以及样本容量之间的关系,弄清楚已知和所求,选择合适的公式解题.
跟踪训练1　某市共有5 000名高三学生参加联考,为了了解这些学生对数学知识的掌握情况,现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 频数 频率
[80,90) ① ②
[90,100) 0.050
[100,110) 0.200
[110,120) 36 0.300
[120,130) 0.275
[130,140) 12 ③
[140,150] 0.050
合计 ④
根据上面的频率分布表,可知①处的数值为　　　　,②处的数值为　　　　　　.
二、频数、频率分布直方图及其折线图的绘制
知识梳理
1.频数分布直方图与频率分布直方图的绘制步骤
(1)找出最值,计算极差;
(2)合理分组,确定区间;
(3)整理数据;
(4)作出有关图示.
频数分布直方图 纵坐标是　　　　　,每一组数对应的矩形高度与频数成正比
频率分布直方图 纵坐标是　　　　　,每一组数对应的矩形高度与频率成正比,每个矩形的面积等于这一组数对应的频率,所有矩形的面积之和为　　　　
2.频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的　　用线段连接起来,且画成与横轴相交.
例2　某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分)
135　98　102　110　99　121　110　96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和折线图.
反思感悟　列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系
(1)若为整数,则=组数;
(2)若不为整数,则的整数部分+1=组数.
跟踪训练2　有一容量为200的样本,数据的分组以及各组的频数如下:
[-20,-15),7;[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图;
(3)求样本数据不足0的频率.
三、频率分布直方图的应用
例3　某中学进行电脑知识竞赛,现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.40,
0.15,0.10,x,第五组小矩形的高度为y.
(1)求x,y的值;
(2)估计参赛学生成绩的众数和中位数;
(3)估计参赛学生的平均成绩;
(4)若第五组的频数为2,求高一两个班参赛学生的人数.
反思感悟　频率分布直方图中,各数字特征虽不能直接求出,但是可以近似估计
(1)中位数:频率分布直方图中,中位数左边和右边各矩形的面积和相等,由此可以估计中位数的值.
(2)众数:频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标.
(3)平均数:频率分布直方图中每个小矩形的面积与其底边中点的横坐标之积的和.
(4)方差:s2=(其中n为组数,为估计平均值,pi,分别为第i组的频率和中点值).
跟踪训练3　某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.整理评分数据,将分数以10为组距分为6组:
[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表.
A餐厅分数的频率分布直方图
B餐厅分数的频数分布表
分数区间 频数
[0,10) 2
[10,20) 3
[20,30) 5
[30,40) 15
[40,50) 40
[50,60] 35
(1)在抽样的100人中,求对A餐厅评分低于30分的人数;
(2)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家 并说明理由.
1.知识清单:
(1)频数与频率.
(2)频率(数)分布直方图的绘制.
(3)频率分布直方图的应用.
2.方法归纳:图表识别、数据分析.
3.常见误区:频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清.
1.频率分布直方图中,小长方形的面积等于 (　　)
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
2.某校为了解高三学生的身体状况,抽取了100名女生的体重数据.将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在40~45 kg的人数是 (　　)
A.10 B.2
C.5 D.15
3.为了解学生参加体育锻炼的情况,现抽取了n名学生进行调查,结果显示这些学生每月的锻炼时间(单位:小时)在[10,50]内,其中锻炼时间在[30,50]内的学生有134人,频率分布直方图如图所示,则n等于 (　　)
A.150 B.160
C.180 D.200
4.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示,分数不低于a即为优秀,如果优秀的人数为20,则a的估计值是　　　　(填整数).
答案精析
例1　(1)C　(2)21
跟踪训练1　3　0.025
知识梳理
1.(4)频数　　1　2.中点
例2　解　100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.取组距为5,则组数为=11.
(1)频率分布表如下:
分组 频数 频率 频率/组距
[80,85) 1 0.01 0.002
[85,90) 2 0.02 0.004
[90,95) 4 0.04 0.008
[95,100) 14 0.14 0.028
[100,105) 24 0.24 0.048
[105,110) 15 0.15 0.030
[110,115) 12 0.12 0.024
[115,120) 9 0.09 0.018
[120,125) 11 0.11 0.022
[125,130) 6 0.06 0.012
[130,135] 2 0.02 0.004
合计 100 1.00 0.200
注:表中加上“频率/组距”一列,这是为画频率分布直方图准备的,因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示.
跟踪训练2　解　(1)频率分布表如表:
分组 频数 频率
[-20,-15) 7 0.035
[-15,-10) 11 0.055
[-10,-5) 15 0.075
[-5,0) 40 0.200
[0,5) 49 0.245
[5,10) 41 0.205
[10,15) 20 0.100
[15,20] 17 0.085
合计 200 1.000
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
(3)样本数据不足0的频率为0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.
例3　解　(1)∵0.30+0.40+0.15+0.10+x=1,
∴x=0.05,y==0.005.
(2)由于第二组频率最大,估计众数为第二组中间值65.设中位数为z,则0.03×10+(z-60)×0.04=0.5,
解得z=65,所以中位数为65.
(3)估计参赛学生的平均成绩为
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
(4)设高一两个班参赛学生的人数为n,
则2=0.05n,∴n=40,
即高一两个班参赛学生的人数为40.
跟踪训练3　解　(1)从频率分布直方图得到评分低于30分的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,
所以抽样的100人中,对A餐厅评分低于30分的人数为0.2×100=20.
(2)从频数分布表可以看出在抽样的100人中,对A餐厅评分低于30分的人数占比为×100%=20%,
对B餐厅评分低于30分的人数为2+3+5=10,所占的比例为×100%=10%,显然评分低于30分的人数占比越少,说明餐厅的用餐满意度越好,所以我会选择B餐厅用餐.
随堂演练
1.B　2.A　3.D　4.133

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