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5.3.1　样本空间与事件
[学习目标]　1.掌握样本点和样本空间的概念.2.理解基本事件、随机事件、必然事件.3.掌握随机事件发生的概率.
导语
(1)抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况;
(2)抛掷一枚骰子,观察出现点数的情况;
(3)买一注福利彩票,观察中奖、不中奖的情况.
这类现象的共性是:就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性,但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有稳定性,这类现象叫随机现象.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量.
一、样本点和样本空间
问题1　我们把在相同条件下对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验,你能总结一下随机试验的特点吗
提示　(1)试验在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
问题2　怎样从集合的角度来刻画样本点和样本空间
提示　样本点可看作元素,样本空间可看作集合.列举样本点可用列举法,有限样本空间就是有限个样本点组成的集合.
知识梳理
1.必然现象与随机现象
(1)一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象).
(2)发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象).
2.样本点和样本空间
(1)随机试验
把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).
(2)样本点和样本空间
把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则Ω={ω1,ω2,…,ωn}为样本空间.
注意点:
解题时注意样本点和样本空间.
例1　连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数.
解　(1)用(x,y,z)表示结果,其中x,y,z分别表示第一枚、第二枚、第三枚硬币出现的结果.试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)样本点的总数是8.
反思感悟　写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法
(1)列举法:适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且样本点个数相对较多的问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树形图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图进行列举.
跟踪训练1　写出下列试验的样本空间:
(1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子,记录三枚骰子出现的点数之和;
(2)从含有两件正品a1,a2和两件次品b1,b2的四件产品中任取两件,观察取出产品的结果;
(3)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},从两个集合中各取一个元素构成点的坐标.
解　(1)该试验的样本空间Ω1={3,4,5,…,18}.
(2)该试验所有可能的结果如图所示,
因此,该试验的样本空间Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}.
(3)样本空间Ω3={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2),(-4,3),(5,3),(6,3)}.
二、随机事件
有一个转盘游戏,转盘被平均分成10份(如图所示).转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.
游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.
问题3　设事件A=“转出的数字是5”,事件B=“转出的数字是0”,事件C=“转出的数字x满足1≤x≤10,x∈Z”,则事件A,B,C分别是什么事件
提示　“转出的数字是5”可能发生,也可能不发生,故事件A是随机事件.“转出的数字是0”,即B={0},不是样本空间Ω={1,2,…,10}的子集,故事件B是不可能事件.C=Ω={1,2,…,10},故事件C是必然事件.
问题4　假设猜数方案为“是奇数”或“是偶数”,乙猜“是奇数”,若将乙获胜记为事件M,则M中包含哪些样本点
提示　M={1,3,5,7,9}.
知识梳理
1.随机事件
如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且,若试验的结果是A中的元素,则称A发生(或出现等);否则,称A不发生(或不出现等).
2.必然事件与不可能事件
(1)任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Ω中的元素,因此可以认为每次试验中Ω一定发生 ,从而称Ω为必然事件;
(2)因为空集 不包含任何样本点,所以可以认为每次试验中 一定不发生,从而称 为不可能事件.
3.事件的表示与基本事件
(1)不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件. 因为事件一定是样本空间的子集,所以可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件.
(2)基本事件:只含有一个样本点的事件称为基本事件.
注意点:
理解随机事件的两个关键点.
(1)条件:事件发生与否是相对条件而言的,随着条件的改变,结果可能也发生改变,如“常温常压下,水沸腾”是不可能事件,而“100℃常压下,水沸腾”是必然事件.
(2)结果:有时样本空间较复杂,要准确理解事件结果包含的各种情况,列举该事件包含的样本点时,可借助集合知识进行求解.
例2　(1)下列事件不是随机事件的是 (　　)
A.东边日出西边雨 B.三角形内角和为180°
C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴
答案　B
解析　B是必然事件;A,C,D都是随机事件.
(2)现有一列单程北上的火车,已知停靠的站点由南至北分别为S1,S2,…,S10,共十站.若甲在S3站买票,乙在S6站买票,设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站点,令事件A表示甲可能到达的站点的集合,事件B表示乙可能到达的站点的集合.
①写出该事件的样本空间Ω;
②写出事件A、事件B包含的样本点;
③相关部门需为该列车准备多少种北上的车票
解　①Ω={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}.
②事件A包含的样本点为S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10,事件B包含的样本点为S7,S8,S9,S10.
③相关部门需要准备从S1站发车的车票有9种,从S2站发车的车票有8种,…,从S9站发车的车票有1种,共有9+8+…+2+1=45(种).
反思感悟　对事件类型判断的两个关键点
(1)条件:在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否:若一定发生的,则为必然事件;若一定不发生的,则为不可能事件;若不确定发生与否,则称其为随机事件,随机事件有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况.
跟踪训练2　(1)(多选)下列命题中正确的是 (　　)
A.“三个球全部放入两个盒子(每个盒子都要有球),其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B.“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C.“2025年的国庆节是晴天”是必然事件
D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件
答案　ABD
解析　“2025年的国庆节是晴天”是随机事件,故命题C错误,命题A,B,D正确.
(2)如图,从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中,任取两点,观察取点的情况,设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”,试用集合表示事件M.
解　M={AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO}.
三、随机事件发生的概率
知识梳理
1.事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率(也简称为事件的概率)来衡量,概率越大,代表越有可能发生.事件A发生的概率通常用P(A)表示.
2.将不可能事件 发生的概率规定为0,将必然事件Ω发生的概率规定为1,即P( )=0,P(Ω)=1.
3.对任意事件A来说,P(A)应该满足不等式0≤P(A)≤1.
注意点:
理解概率的意义.
例3　做掷红、蓝两颗骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验共有多少样本点;
(3)写出事件“出现的点数之和大于9”包含的结果;
(4)写出事件“出现的点数之和为11”包含的结果;
(5)记“出现的点数之和大于9”为事件A,记“出现的点数之和为11”为事件B,从直观上判断P(A)与P(B)的大小.
解　(1)这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(2)由(1)知这个试验共有36个样本点.
(3)事件“出现的点数之和大于9”包含的结果为(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6).
(4)事件“出现的点数之和为11”包含的结果为(6,5),(5,6).
(5)因为事件B发生时,事件A一定发生,事件A发生时,事件B不一定发生,故P(A)>P(B).
反思感悟　(1)随机事件发生的概率是衡量该事件发生的可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,为人们在日常生活、工作中的决策提供依据.
(2)任何事件发生的概率都满足0≤P(A)≤1.
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.必然事件发生的概率为1
B.不可能事件发生的概率为0
C.若随机事件A发生是随机事件B发生的充分条件,则P(A)≤P(B)
D.任何事件A发生的概率都满足0答案　ABC
解析　对于任意事件A来说,P(A)满足不等式0≤P(A)≤1,故D错误,其他选项均正确.
(2)一个盒子中装有5个完全相同的球,分别标有号码1,2,3,4,5,从中一次任取两球.
①写出这个试验的样本空间;
②求这个试验的样本点总数;
③写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点.
解　①Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.
②由(1)知样本点总数为10.
③由(1)知“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为(1,5),(2,4).
1.知识清单:
(1)样本点和样本空间.
(2)事件和基本事件.
(3)随机事件发生的概率.
2.方法归纳:列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区:确定样本空间时易重复或遗漏样本点.
1.(多选)下列事件中,是随机事件的是 (　　)
A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口,遇上红灯
C.下周六是晴天
D.锐角三角形中两个内角和小于90°
答案　BC
解析　A为必然事件;BC为随机事件,D为不可能事件.
2.同时投掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点的个数是 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　D
解析　有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个样本点.
3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂一种颜色,若事件A={(红,红),(黑,黑),(黄,黄)},则事件A的含义是　　　　　　　　　　.
答案　甲、乙两个小球所涂颜色相同
4.从a,b,c,d中任取两个字母,则该试验的样本空间为Ω=　　　　　　　　.
答案　{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共12分
1.(多选)下列现象是随机现象的是 (　　)
A.在标准大气压下,水达到95℃沸腾
B.路过某路口发生交通事故
C.直角三角形中,最大内角为90°
D.某人投篮一次投进
答案　BD
2.在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和小于5”这一事件是 (　　)
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均有可能
答案　B
解析　从十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字的和的最小值为1+2+3=6,所以事件“这三个数字的和小于5”是不可能事件.
3.天气预报说,某地明天下雪的概率为80%,则 (　　)
A.该地明天下雪的可能性是80%
B.该地明天一定下雪
C.该地明天有80%的区域下雪
D.该地明天一天有80%的时间下雪
答案　A
4.试验E:“任取一个两位数,观察个位数字与十位数字的和的情况”,则该试验的样本空间为 (　　)
A.{10,11,…,99} B.{1,2,…,18}
C.{0,1,…,18} D.{1,2,…,10}
答案　B
解析　所有的两位数为10,11,…,99,
故该试验的样本空间为{1,2,…,18}.
5.从5人中选出2人担任正、副班长,则样本点个数为 (　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
答案　C
解析　把5人分别记为A,B,C,D,E,用x表示正班长,y表示副班长,则样本点用(x,y)表示,∴Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,A),(B,C),(B,D),(B,E),(C,A),(C,B),(C,D),(C,E),(D,A),(D,B),(D,C),(D,E),(E,A),(E,B),(E,C),(E,D)},故共有20个样本点.
6.抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X,则“X≥5”表示的试验结果是 (　　)
A.第一枚6点,第二枚2点
B.第一枚5点,第二枚1点
C.第一枚1点,第二枚6点
D.第一枚6点,第二枚1点
答案　D
解析　抛掷两枚骰子,第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是{X|-5≤X≤5,X∈Z},则“X≥5”表示的试验结果是第一枚6点,第二枚1点.
7.(5分)从3双鞋子中,任取4只,其中“至少有两只鞋是一双”这一事件是　　　　事件.(填“必然”“不可能”或“随机”)
答案　必然
8.(5分)从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则其“和为奇数”这一事件包含的样本点个数为　　　　.
答案　4
解析　从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种情况,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数.
9.(10分)某人从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,观察取出的球的标号.
(1)写出对应的样本空间;(3分)
(2)用集合表示事件A:第一次取出的小球上的标号为2;(3分)
(3)若事件B:标号之和为4,事件C:标号之和不小于4,从直观上判断P(B)与P(C)的大小.(4分)
解　(1)用(1,2)表示第一次取出1号球,第二次取出2号球,其他的样本点用类似的方法表示,则可知所有样本点均可表示成(i,j)的形式,其中i,j都是1,2,3,4中的数,且i≠j.
因此,样本空间Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,且i≠j}.
(2)A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
(3)因为当事件B发生时,事件C一定发生,也就是说事件C发生的可能性不会比事件B发生的可能性小,所以直观上可知P(B)≤P(C).
10.(11分)试验E:甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布),观察甲、乙出拳的情况.
设事件A表示随机事件“甲乙平局”;
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”;
事件C表示随机事件“乙不输”.
试用集合表示事件A,B,C.
解　设锤子为w1,剪刀为w2,布为w3,用(i,j)表示游戏的结果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳,则样本空间Ω={(w1,w1),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w1),(w2,w2),(w2,w3),(w3,w1),(w3,w2),(w3,w3)}.
∵事件A表示随机事件“甲乙平局”,则满足要求的样本点共有3个,(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),
∴事件A={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3)}.
∵事件B表示“甲赢得游戏”,则满足要求的样本点共有3个,(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1),
∴事件B={(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1)}.
∵事件C表示“乙不输”,则满足要求的样本点共有6个,(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w2,w1),(w1,w3),(w3,w2),
∴事件C={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w1,w3),(w2,w1),(w3,w2)}.
11.一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球,这些球的大小、质地完全相同,随机从袋子中摸出4个球,则下列事件是必然事件的是 (　　)
A.摸出的4个球中至少有一个是白球
B.摸出的4个球中至少有一个是黑球
C.摸出的4个球中至少有两个是黑球
D.摸出的4个球中至少有两个是白球
答案　B
解析　因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球,所以从中任取4个球共有3白1黑,2白2黑,1白3黑,4黑四种情况.故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件,故A错误;事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件,故B正确;事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件,故C错误;事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件,故D错误.
12.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有 (　　)
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
答案　C
解析　“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0,因为A中有9个非零数,故共9个样本点.
13.某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图所示,某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区C,则他不经过市中心O的样本点的个数为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　A
解析　此人从小区A前往C的所有最短路径为A→E→D→H→C,A→E→O→H→C,A→E→O→F→C,A→G→O→H→C,A→G→O→F→C,A→G→B→F→C,共6条,记“此人不经过市中心O”为事件M,则M包含的样本点为A→E→D→H→C,A→G→B→F→C,共2条.
14.(5分)笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=　　　　.
答案　{0,2,4,6,8}
解析　最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.
15.(多选)给出关于满足A?B的非空集合A,B的四个命题,其中正确的命题是 (　　)
A.若任取x∈A,则x∈B是必然事件
B.若任取x A,则x∈B是不可能事件
C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件
D.若任取x B,则x A是必然事件
答案　ACD
解析　对于A,符合真子集的定义,故A正确;对于B,“若x A,则x∈B”也可能成立,故B错误;对于C,“若x∈B,则x∈A”可能成立,也可能“x A”成立,故C正确;对于D,“若x B,则x A”,故D正确.
16.(12分)已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1.设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a,b)为元素的样本空间,共包含多少个样本点 (5分)
(2)指出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”的所有样本点.(7分)
解　(1)Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)},共包含15个样本点.
(2)∵关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=.
要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,
需a>0且≤1,即2b≤a.
若a=1,即b=-1;
若a=2,则b=-1,1;
若a=3,则b=-1,1.
即满足事件“函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数”的所有样本点有(1,-1),(2,-1),(2,1),(3,-1),(3,1),共5个.5.3.1　样本空间与事件
[学习目标]　1.掌握样本点和样本空间的概念.2.理解基本事件、随机事件、必然事件.3.掌握随机事件发生的概率.
一、样本点和样本空间
问题1　我们把在相同条件下对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验,你能总结一下随机试验的特点吗
问题2　怎样从集合的角度来刻画样本点和样本空间
知识梳理
1.必然现象与随机现象
(1)一定条件下,发生的结果事先　　　　　的现象就是随机现象(或偶然现象).
(2)发生的结果事先能够　　　　　的现象就是必然现象(或确定性现象).
2.样本点和样本空间
(1)随机试验
把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为　　　　　　(简称为试验).
(2)样本点和样本空间
把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为　　　　　,把由所有　　　　　组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则Ω={ω1,ω2,…,ωn}为　　　　　　　　　　　　.
例1　连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数.
反思感悟　写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法
(1)列举法:适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且样本点个数相对较多的问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树形图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图进行列举.
跟踪训练1　写出下列试验的样本空间:
(1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子,记录三枚骰子出现的点数之和;
(2)从含有两件正品a1,a2和两件次品b1,b2的四件产品中任取两件,观察取出产品的结果;
(3)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},从两个集合中各取一个元素构成点的坐标.
二、随机事件
有一个转盘游戏,转盘被平均分成10份(如图所示).转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.
游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.
问题3　设事件A=“转出的数字是5”,事件B=“转出的数字是0”,事件C=“转出的数字x满足1≤x≤10,x∈Z”,则事件A,B,C分别是什么事件
问题4　假设猜数方案为“是奇数”或“是偶数”,乙猜“是奇数”,若将乙获胜记为事件M,则M中包含哪些样本点
知识梳理
1.随机事件
如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且,若试验的结果是A中的元素,则称A　　　　　(或出现等);否则,称A　　　　　(或不出现等).
2.必然事件与不可能事件
(1)任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Ω中的元素,因此可以认为每次试验中Ω一定发生 ,从而称Ω为　　　　　;
(2)因为空集 不包含任何样本点,所以可以认为每次试验中 一定不发生,从而称 为　　　　　　.
3.事件的表示与基本事件
(1)　　　　　、　　　　　、　　　　　都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件. 因为事件一定是样本空间的子集,所以可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件.
(2)基本事件:只含有　　　　个样本点的事件称为基本事件.
例2　(1)下列事件不是随机事件的是 (　　)
A.东边日出西边雨
B.三角形内角和为180°
C.清明时节雨纷纷
D.梅子黄时日日晴
(2)现有一列单程北上的火车,已知停靠的站点由南至北分别为S1,S2,…,S10,共十站.若甲在S3站买票,乙在S6站买票,设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站点,令事件A表示甲可能到达的站点的集合,事件B表示乙可能到达的站点的集合.
①写出该事件的样本空间Ω;
②写出事件A、事件B包含的样本点;
③相关部门需为该列车准备多少种北上的车票
反思感悟　对事件类型判断的两个关键点
(1)条件:在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否:若一定发生的,则为必然事件;若一定不发生的,则为不可能事件;若不确定发生与否,则称其为随机事件,随机事件有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况.
跟踪训练2　(1)(多选)下列命题中正确的是 (　　)
A.“三个球全部放入两个盒子(每个盒子都要有球),其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B.“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C.“2025年的国庆节是晴天”是必然事件
D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件
(2)如图,从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中,任取两点,观察取点的情况,设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”,试用集合表示事件M.
三、随机事件发生的概率
知识梳理
1.事件发生的可能性大小可以用该事件发生的　　　　(也简称为事件的概率)来衡量,概率越大,代表越有可能发生.事件A发生的概率通常用　　　　表示.
2.将不可能事件 发生的概率规定为　　　　　,将必然事件Ω发生的概率规定为　　　　　,即P( )=0,P(Ω)=1.
3.对任意事件A来说,P(A)应该满足不等式　　　　　　　　　　　　　.
例3　做掷红、蓝两颗骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验共有多少样本点;
(3)写出事件“出现的点数之和大于9”包含的结果;
(4)写出事件“出现的点数之和为11”包含的结果;
(5)记“出现的点数之和大于9”为事件A,记“出现的点数之和为11”为事件B,从直观上判断P(A)与P(B)的大小.
反思感悟　(1)随机事件发生的概率是衡量该事件发生的可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,为人们在日常生活、工作中的决策提供依据.
(2)任何事件发生的概率都满足0≤P(A)≤1.
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.必然事件发生的概率为1
B.不可能事件发生的概率为0
C.若随机事件A发生是随机事件B发生的充分条件,则P(A)≤P(B)
D.任何事件A发生的概率都满足0(2)一个盒子中装有5个完全相同的球,分别标有号码1,2,3,4,5,从中一次任取两球.
①写出这个试验的样本空间;
②求这个试验的样本点总数;
③写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点.
1.知识清单:
(1)样本点和样本空间.
(2)事件和基本事件.
(3)随机事件发生的概率.
2.方法归纳:列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区:确定样本空间时易重复或遗漏样本点.
1.(多选)下列事件中,是随机事件的是 (　　)
A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口,遇上红灯
C.下周六是晴天
D.锐角三角形中两个内角和小于90°
2.同时投掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点的个数是 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂一种颜色,若事件A={(红,红),(黑,黑),(黄,黄)},则事件A的含义是　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
4.从a,b,c,d中任取两个字母,则该试验的样本空间为Ω=　　　　　　　　　　　　　　　　.
答案精析
问题1　(1)试验在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
问题2　样本点可看作元素,样本空间可看作集合.列举样本点可用列举法,有限样本空间就是有限个样本点组成的集合.
知识梳理
1.(1)不能确定　(2)确定　2.(1)随机试验　(2)样本点　样本点　样本空间
例1　解　(1)用(x,y,z)表示结果,其中x,y,z分别表示第一枚、第二枚、第三枚硬币出现的结果.试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)样本点的总数是8.
跟踪训练1　解　(1)该试验的样本空间Ω1={3,4,5,…,18}.
(2)该试验所有可能的结果如图所示,
因此,该试验的样本空间Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}.
(3)样本空间Ω3={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2),(-4,3),(5,3),(6,3)}.
问题3　“转出的数字是5”可能发生,也可能不发生,故事件A是随机事件.“转出的数字是0”,即B={0},不是样本空间Ω={1,2,…,10}的子集,故事件B是不可能事件.C=Ω={1,2,…,10},故事件C是必然事件.
问题4　M={1,3,5,7,9}.
知识梳理
1.发生　不发生　2.(1)必然事件
(2)不可能事件　3.(1)不可能事件　随机事件　必然事件　(2)一
例2　(1)B
(2)解　①Ω={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}.
②事件A包含的样本点为S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10,事件B包含的样本点为S7,S8,S9,S10.
③相关部门需要准备从S1站发车的车票有9种,从S2站发车的车票有8种,…,从S9站发车的车票有1种,共有9+8+…+2+1=45(种).
跟踪训练2　(1)ABD
(2)解　M={AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO}.
知识梳理
1.概率　P(A)　2.0　1　3.0≤P(A)≤1
例3　解　(1)这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(2)由(1)知这个试验共有36个样本点.
(3)事件“出现的点数之和大于9”包含的结果为(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6).
(4)事件“出现的点数之和为11”包含的结果为(6,5),(5,6).
(5)因为事件B发生时,事件A一定发生,事件A发生时,事件B不一定发生,故P(A)>P(B).
跟踪训练3　(1)ABC　[对于任意事件A来说,P(A)满足不等式0≤P(A)≤1,故D错误,其他选项均正确.]
(2)解　①Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.
②由(1)知样本点总数为10.
③由(1)知“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为(1,5),(2,4).
随堂演练
1.BC　2.D　3.甲、乙两个小球所涂颜色相同
4.{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}

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