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5.3.2　事件之间的关系与运算
[学习目标]　1.了解事件间的包含关系和相等关系.2.理解事件的和与积,并能进行运算.3.理解互斥事件和对立事件的概念及关系,掌握互斥事件的概率加法公式.
导语
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单,有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.
一、事件的包含与相等
在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件,例如:
Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于3”;D2=“点数大于3”;
E1=“点数为1或2”;E2=“点数为2或3”;
F=“点数为偶数”;G=“点数为奇数”;
…
问题1　用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
提示　C1={1}和G={1,3,5},{1} {1,3,5}.
知识梳理
事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含关系 一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”) A B(或B A)
相等关系 如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”(A B且B A) A=B
注意点:
从集合的角度去理解事件的包含与相等.
例1　在掷骰子试验中,可以得到以下事件:
A={出现1点},B={出现2点},C={出现3点},D={出现4点},E={出现5点},F={出现6点},G={出现的点数不大于1},H={出现的点数小于5},I={出现奇数点},J={出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系:
(1)B　　　　H;(2)D　　　　J;
(3)E　　　　I;(4)A　　　　G.
答案　(1) 　(2) 　(3) 　(4)=
解析　因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B H;同理D J,E I;又易知事件A与事件G相等,即A=G.
反思感悟　判断事件之间的关系,主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
跟踪训练1　掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的包含关系.
解　当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A C,B C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.
综上,事件A,B,C之间的包含关系为A C,B C.
二、事件的和与积
问题2　用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
提示　D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.
问题3　事件C2=“点数为2”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
提示　{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.
知识梳理
事件的和(并)与积(交)
定义 表示法 图示
和 给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A+B(或A∪B)
积 给定事件A,B,由事件A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB(或A∩B)
注意点:
(1)从集合运算的角度去理解事件的和与积.
(2)①P(A+B)≤P(A)+P(B);②P(AB)≤P(A);③P(AB)≤P(B).
例2　在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:
(1)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件;
(2)事件D2与事件D3的交事件是什么事件 事件E与事件F的交事件是什么事件
解　(1)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},
所以D2=C4+C5+C6.
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
(2)D2∩D3=C4={出现4点};E∩F=F={出现的点数为偶数}.
反思感悟　事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
跟踪训练2　盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球中有两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.则:
(1)事件D与事件A,B是什么样的运算关系
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件
解　(1)对于事件D,可能的结果为“1个红球2个白球”或“2个红球1个白球”,故D=A+B.
(2)对于事件C,可能的结果为“1个红球2个白球”,“2个红球1个白球”或“3个红球”,故C∩A=A.
三、事件的互斥与对立
问题4　用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
提示　C3={3},C4={4},C3∩C4= .
问题5　用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”,事件G=“点数为奇数”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
提示　F={2,4,6},G={1,3,5}.F∪G=Ω,F∩G= .
知识梳理
1.事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互斥 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥 AB= (或 A∩B= )
对立 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 事件A的 对立事件 记为
如果B=,则称A与B相互对立.
2.互斥事件的概率加法公式
(1)互斥事件的概率加法公式:当A与B互斥(即AB= )时,有P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(3)P(A)+P()=1.
注意点:
辨析互斥事件与对立事件的思路.
(1)从发生的角度看
①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生,即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件.
(3)从集合的角度理解互斥事件与对立事件
互斥事件对应集合的交集为空集,对立事件对应集合的交集为空集且对立事件对应集合互为补集.
例3　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率.
解　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,它们两两互斥,则
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1,所以由对立事件的概率公式得,至少射中7环的概率为1-0.1=0.9.
延伸探究　在本例条件下,求射中环数小于8环的概率.
解　事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件,则P(射中环数小于8环)=P(D+E)=P(D)+P(E)=0.3+0.1=0.4.
反思感悟　互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.
跟踪训练3　(1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
②“至少有1名男生”与“全是男生”;
③“至少有1名男生”与“全是女生”;
④“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
①“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
②“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
③“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
④“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(2)某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.求:
①他乘火车或飞机去的概率;
②他不乘轮船去的概率.
解　设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D,它们彼此互斥.
①P(A+D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.
②P=1-P(B)=1-0.2=0.8.
四、事件的混合运算
例4　(1)设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.
①三个事件都发生;
②三个事件至少有一个发生;
③A发生,B,C不发生;
④A,B都发生,C不发生;
⑤A,B至少有一个发生,C不发生;
⑥A,B,C中恰好有两个发生.
解　①三个事件都发生表示为ABC;
②三个事件至少有一个发生表示为A∪B∪C;
③A发生,B,C不发生表示为A;
④A,B都发生,C不发生表示为AB;
⑤A,B至少有一个发生,C不发生表示为(A∪B);
⑥A,B,C中恰好有两个发生表示为(AB)∪(AC)∪(BC).
(2)某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如表所示:
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
①求派出医生至多2人的概率;
②求派出医生至少2人的概率.
解　设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
①“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
②方法一　“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二　“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
反思感悟　(1)牢记互斥与对立公式
P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P()=1.
(2)问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常有两种解题思路:
①直接法:所求问题分类,再用互斥事件的概率加法公式.
②间接法:先求对立事件概率,再用对立事件的概率公式.
跟踪训练4　(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,下列结论正确的是 (　　)
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
答案　AD
解析　任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们两两互斥,由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35,因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能为B型、AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人,知D正确.
1.知识清单:
(1)事件的包含与相等.
(2)事件的和与积.
(3)互斥事件与对立事件的区别和运算.
2.方法归纳:正难则反,逆向思维.
3.常见误区:互斥事件与对立事件的区别与联系.
1.同时掷两枚硬币,向上面都是正面为事件A,向上面至少有一枚是正面为事件B,则有 (　　)
A.A B B.A B C.A=B D.A答案　A
2.(多选)一个射手进行一次射击,有下面四个事件.事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数小于5;事件C:命中环数大于4;事件D:命中环数不大于6.则 (　　)
A.A与D是互斥事件 B.C与D是对立事件
C.B与D是互斥事件 D.B与C是对立事件
答案　AD
解析　由互斥、对立事件的定义可判断A,D正确.
3.口袋内装有一些形状、大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 (　　)
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
答案　C
解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.
4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
答案　
解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.将红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 (　　)
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥事件,但不是对立事件
D.以上答案都不对
答案　C
解析　记事件A={甲分得红牌},记事件B={乙分得红牌},它们不会同时发生,所以是互斥事件,但事件A和事件B也可能都不发生,所以它们不是对立事件.
2.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1+A2+A3表示 (　　)
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
答案　B
解析　A1+A2+A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.
3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为 (　　)
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
答案　C
解析　由对立事件的概率知“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35.
4.(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},则下列关系正确的是 (　　)
A.A D B.B∩D=
C.A+C=D D.A+B=B+D
答案　ABC
解析　“恰有一次击中飞机”指第一次击中第二次没中或第一次没中第二次击中,“至少有一次击中飞机”指恰有一次击中飞机或两次都击中飞机,所以A+B≠B+D,其余选项都对.
5.向上抛掷一枚均匀的骰子两次,事件A表示两次点数之和小于10,事件B表示两次点数之和能被5整除,则事件B用样本点表示为 (　　)
A.{(5,5)} B.{(4,6),(5,5)}
C.{(6,5),(5,5)} D.{(4,6),(6,4),(5,5)}
答案　D
解析　事件用样本点表示的集合为{(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)};
事件B用样本点表示的集合为{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4)},所以B={(4,6),(6,4),(5,5)}.
6.暑假期间某地有甲、乙两草原供游客休闲旅游,记事件E=“只去甲草原”,事件F=“至少去一个草原”,事件G=“至多去一个草原”,事件H=“不去甲草原”,事件I=“一个草原也不去”.下列命题正确的是 (　　)
A.E与G是互斥事件
B.F与I是互斥事件,且是对立事件
C.F与G是互斥事件
D.G与I是互斥事件
答案　B
解析　依题意得样本点有“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”“去甲、乙草原”共四个,
事件F=“至少去一个草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“去甲、乙草原”三个样本点;
事件G=“至多去一个草原”包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三个样本点;
事件H=“不去甲草原”包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两个样本点;
对于A,事件E,G有可能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
对于B,事件F与I不可能同时发生,且至少有一个发生,是互斥事件,且为对立事件,故B正确;
对于C,事件F与G有可能同时发生,不是互斥事件,故C错误;
对于D,事件G与I有可能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
7.(5分)从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数,事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字,则事件A∩B用样本点表示为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
答案　{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
解析　从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数,所有的样本点为10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25个,则事件A={10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54},事件B={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54},故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}.
8.(5分)盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=,P(B)=,则这3个球中既有红球又有白球的概率是　　　　.
答案　
解析　记事件C为“3个球中既有红球又有白球”,则它包含事件A“3个球中有1个红球,2个白球”和事件B“3个球中有2个红球,1个白球”,而且事件A与事件B是互斥的,所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
9.(10分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况的活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4名或5名教师外出家访的概率;(5分)
(2)求至少有3名教师外出家访的概率.(5分)
解　设派出2名及以下教师为事件A,3名教师为事件B,4名教师为事件C,5名教师为事件D,6名及以上教师为事件E.
(1)有4名或5名教师外出家访的事件为事件C+D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3名教师外出家访的对立事件为2名及以下教师外出家访,由对立事件的概率公式可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
10.(12分)从一批100件的产品中每次取出一个(取出后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件.
(1)三次全取到次品;(2分)
(2)只有第一次取到次品;(2分)
(3)三次中至少有一次取到次品;(2分)
(4)三次中恰有两次取到次品;(3分)
(5)三次中至多有一次取到次品.(3分)
解　(1)A1A2A3.
(2)A1.
(3)A1∪A2∪A3.
(4)A1A2∪A1A3∪A2A3.
(5)A1∪A3∪A2∪或∪∪.
11.如果事件M与事件N是互斥事件,那么 (　　)
A.M+N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.+是必然事件
答案　D
解析　因为M,N为互斥事件,则有如图所示的两种情况.
无论哪种情况,+都是必然事件.
12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知,表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+)=P(A)+P()=+==.
13.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在4.8~4.85 g范围内的概率是 (　　)
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
答案　C
解析　设“质量小于4.8 g”为事件A,“质量小于4.85 g”为事件B,“质量在4.8~4.85 g”为事件C,则A+C=B,且A,C为互斥事件,所以P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C),则P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.
14.(5分)电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=　　　　　　.(用B,C,D间的运算关系式表示)
答案　BC∪BD或B∩(C∪D)
15.(5分)事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=　　　　.
答案　
解析　由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=1-=.又P(A)=2P(B),联立方程组解得P(A)=,P(B)=,故P()=1-P(A)=.
16.(12分)如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况,其中A表示订阅数学学习资料的学生,B表示订阅语文学习资料的学生,C表示订阅英语学习资料的学生.
(1)从这个班任意选择一名学生,用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件;(6分)
(2)用A,B,C表示下列事件:
①至少订阅一种学习资料;(2分)
②恰好订阅一种学习资料;(2分)
③没有订阅任何学习资料.(2分)
解　(1)区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、英语三种学习资料”;区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料,但没有订阅英语学习资料”;区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”;区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”.
(2) ①A∪B∪C.
②A+B+C.
③.5.3.2　事件之间的关系与运算
[学习目标]　1.了解事件间的包含关系和相等关系.2.理解事件的和与积,并能进行运算.3.理解互斥事件和对立事件的概念及关系,掌握互斥事件的概率加法公式.
一、事件的包含与相等
在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件,例如:
Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于3”;D2=“点数大于3”;
E1=“点数为1或2”;E2=“点数为2或3”;
F=“点数为偶数”;G=“点数为奇数”;
…
问题1　用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
知识梳理
事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含 关系 一般地,如果事件A发生时,事件B　　,则称“A包含于B”(或“B包含A”) 　　　 (或　　　)
相等 关系 如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B　　　　　”(A B且B A) A=B
例1　在掷骰子试验中,可以得到以下事件:
A={出现1点},B={出现2点},C={出现3点},D={出现4点},E={出现5点},F={出现6点},G={出现的点数不大于1},H={出现的点数小于5},I={出现奇数点},J={出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系:
(1)B　　　　H;(2)D　　　　J;
(3)E　　　　I;(4)A　　　　G.
反思感悟　判断事件之间的关系,主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
跟踪训练1　掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的包含关系.
二、事件的和与积
问题2　用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
问题3　事件C2=“点数为2”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
知识梳理
事件的和(并)与积(交)
定义 表示法 图示
和 给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) 　　　　 (或　　　)
积 给定事件A,B,由事件A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) 　　　 (或　　　)
例2　在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:
(1)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件;
(2)事件D2与事件D3的交事件是什么事件 事件E与事件F的交事件是什么事件
反思感悟　事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
跟踪训练2　盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球中有两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.则:
(1)事件D与事件A,B是什么样的运算关系
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件
三、事件的互斥与对立
问题4　用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
问题5　用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”,事件G=“点数为奇数”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗
知识梳理
1.事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互 斥 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B　　　　 　　　　(或 　　　　　)
对 立 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的　　　　　 事件A的 对立事件 记为
如果B=,则称A与B相互对立.
2.互斥事件的概率加法公式
(1)互斥事件的概率加法公式:当A与B互斥(即AB= )时,有P(A+B)=　　　　　.
(2)一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)=　　　　　　　.
(3)P(A)+P()=　　　　.
例3　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率.
延伸探究　在本例条件下,求射中环数小于8环的概率.
反思感悟　互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.
跟踪训练3　(1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
②“至少有1名男生”与“全是男生”;
③“至少有1名男生”与“全是女生”;
④“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
(2)某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.求:
①他乘火车或飞机去的概率;
②他不乘轮船去的概率.
四、事件的混合运算
例4　(1)设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.
①三个事件都发生;
②三个事件至少有一个发生;
③A发生,B,C不发生;
④A,B都发生,C不发生;
⑤A,B至少有一个发生,C不发生;
⑥A,B,C中恰好有两个发生.
(2)某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如表所示:
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
①求派出医生至多2人的概率;
②求派出医生至少2人的概率.
反思感悟　(1)牢记互斥与对立公式
P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P()=1.
(2)问题中含有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常有两种解题思路:
①直接法:所求问题分类,再用互斥事件的概率加法公式.
②间接法:先求对立事件概率,再用对立事件的概率公式.
跟踪训练4　(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,下列结论正确的是 (　　)
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
1.知识清单:
(1)事件的包含与相等.
(2)事件的和与积.
(3)互斥事件与对立事件的区别和运算.
2.方法归纳:正难则反,逆向思维.
3.常见误区:互斥事件与对立事件的区别与联系.
1.同时掷两枚硬币,向上面都是正面为事件A,向上面至少有一枚是正面为事件B,则有 (　　)
A.A B B.A B
C.A=B D.A2.(多选)一个射手进行一次射击,有下面四个事件.事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数小于5;事件C:命中环数大于4;事件D:命中环数不大于6.则 (　　)
A.A与D是互斥事件 B.C与D是对立事件
C.B与D是互斥事件 D.B与C是对立事件
3.口袋内装有一些形状、大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 (　　)
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7
4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
答案精析
问题1　C1={1}和G={1,3,5},{1} {1,3,5}.
知识梳理
一定发生　A B　B A　相等
例1　(1) 　(2) 　(3) 　(4)=
跟踪训练1　解　当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A C,B C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.
综上,事件A,B,C之间的包含关系为A C,B C.
问题2　D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.
问题3　{1,2}∩{2,3}={2},
即E1∩E2=C2.
知识梳理
A+B　A∪B　AB　A∩B
例2　解　(1)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},
所以D2=C4+C5+C6.
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,
E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,
F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
(2)D2∩D3=C4={出现4点};
E∩F=F={出现的点数为偶数}.
跟踪训练2　解　(1)对于事件D,可能的结果为“1个红球2个白球”或“2个红球1个白球”,故D=A+B.
(2)对于事件C,可能的结果为“1个红球2个白球”,“2个红球1个白球”或“3个红球”,故C∩A=A.
问题4　C3={3},C4={4},C3∩C4= .
问题5　F={2,4,6},G={1,3,5}.
F∪G=Ω,F∩G= .
知识梳理
1.互斥　AB= 　A∩B= 　对立事件　2.(1)P(A)+P(B)　(2)P(A1)+P(A2)+…+P(An)　(3)1
例3　解　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,它们两两互斥,则
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)
=0.1+0.2=0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1,所以由对立事件的概率公式得,至少射中7环的概率为1-0.1=0.9.
延伸探究　解　事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件,则P(射中环数小于8环)=P(D+E)=P(D)+P(E)=0.3+0.1=0.4.
跟踪训练3　(1)解　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
①“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
②“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
③“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
④“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(2)解　设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D,它们彼此互斥.
①P(A+D)=P(A)+P(D)
=0.3+0.4=0.7.
②P=1-P(B)=1-0.2=0.8.
例4　(1)解　①三个事件都发生表示为ABC;
②三个事件至少有一个发生表示为A∪B∪C;
③A发生,B,C不发生表示为A;
④A,B都发生,C不发生表示为AB;
⑤A,B至少有一个发生,C不发生表示为(A∪B);
⑥A,B,C中恰好有两个发生表示为(AB)∪(AC)∪(BC).
(2)解　设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
①“派出医生至多2人”的概率为
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
②“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
跟踪训练4　AD
随堂演练
1.A　2.AD　3.C　4.

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