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5.3.3　古典概型
[学习目标]　1.了解基本事件的特点,理解古典概型的定义.2.会判断古典概型,会用古典概型的概率公式解决问题.
导语
研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
我们知道,通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计,但这种方法耗时多,而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型,直接计算随机事件的概率呢
一、古典概型的理解
问题1　我们讨论过抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些
提示　样本空间的样本点是有限个,每个样本点发生的可能性相等.
知识梳理
一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.
注意点:
一般地,古典概型具有以下特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性大小都相等.
例1　下列概率模型是古典概型吗 为什么
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;
(3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率.
解　(1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等,与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等.
反思感悟　古典概型的判断,关键看是否满足两个特征
(1)有限性:在一次试验中,所有可能出现的样本点只有有限个.
(2)等可能性:每个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练1　下列选项中是古典概型的是 (　　)
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
答案　D
解析　A,B两项中的样本点的出现不是等可能的;C项中样本点的个数是无限多个;D项中样本点的出现是等可能的,样本点的个数是有限个.
二、古典概型中概率的计算
问题2　在掷骰子的试验中,记A事件为“点数为偶数”,A事件包含哪些样本点 A事件发生的概率是多少
提示　A={2,4,6}.
对于掷骰子试验,出现各个点的可能性相同,记出现1点,2点,…,6点的事件分别为A1,A2,…,A6,记事件“出现偶数点”为B,则P(A1)=P(A2)=…=P(A6),又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=1,所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=,P(B)==.
知识梳理
一般地,设试验E是古典概型,样本空间含有n个样本点,事件C包含有m个样本点,则定义事件C的概率P(C)=.
注意点:
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)树形图法:树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树形图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树形图法适用于较复杂的试验的题目.
例2　袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)事件A:取出的两球都是白球;
(2)事件B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.
解　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点.
(1)A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点.
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)==.
(2)B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共8个样本点.
∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为P(B)=.
反思感悟　求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型;
(2)确定样本点的总数n;
(3)确定事件A包含的样本点个数m;
(4)计算事件A发生的概率,即P(A)=.
跟踪训练2　(1)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 (　　)
A. B. C. D.
(2)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)从5支彩笔中任取2支彩笔,样本空间为{(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)},共含10个样本点.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4个样本点,故所求概率P==.
(2)记2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中任选2名学生样本空间为{(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},共10个样本点,其中恰好选中2名女生有(a,b),(a,c),(b,c),共3个样本点,故所求概率为.
三、概率性质在古典概型中的应用
例3　先后掷两个质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A:两个骰子点数相同,事件B:点数之和小于7,事件C:点数之和小于11,求P(A),P(B),P(AB),P(A+B),P(C).
解　用数对(x,y)表示抛掷结果,则这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.共包含36个样本点,这36个样本点发生的可能性是相等的.
A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},包含6个样本点,所以P(A)==.
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)},包含15个样本点,所以P(B)==.
AB={(1,1),(2,2),(3,3)},包含3个样本点,所以P(AB)==.
A+B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),(4,4),(5,5),(6,6)},包含18个样本点,
所以P(A+B)==.
因为事件C的对立事件表示“点数之和等于或大于11”,所以={(5,6),(6,5),(6,6)},包含3个样本点,所以P()==.
所以P(C)=1-P()=1-=.
反思感悟　古典概型中概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点,事件A包含m个样本点,则
(1)0≤P(A)=≤1.
(2)P(A)+P()=1.
(3)若事件B包含k个样本点,而且A与B互斥,则容易知道A+B包含m+k个样本点,从而P(A+B)==+=P(A)+P(B).
跟踪训练3　某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车费多于14元的概率为,求甲的停车费为6元的概率;
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
解　(1)设甲“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)=,P(C+D)=,
又事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,所以P(A)=1--=.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点;而“停车费之和为28元”的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,所以所求概率为.
1.知识清单:
(1)古典概型概念的理解.
(2)古典概型中概率的计算.
(3)概率性质在古典概型中的应用.
2.方法归纳:列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区:基本事件列举没有规律,出现重复或遗漏.
1.下列试验是古典概型的是 (　　)
A.在适宜的条件下种一粒种子,发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球得白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
D.某篮球运动员投篮一次命中的概率
答案　B
解析　A,D不是等可能事件,C不满足有限性,B满足有限性和等可能性.
2.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除,若小王和小张在这5名同学之中,则小王和小张都没有被挑出的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　记另3名同学分别为a,b,c,
所有基本事件为(a,b),(a,c),(a,小王),(a,小张),(b,c),(b,小王),(b,小张),(c,小王),(c,小张),(小王,小张),共10种.
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为(a,b),(a,c),(b,c),共3种,
综上,小王和小张都没有被挑出的概率为.
3.用1,2,3组成无重复数字的三位数,这个数能被2整除的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个,分别为123,132,213,231,312,321,其中能被2整除的有132,312这2个数,故能被2整除的概率为.
4.中国象棋是中国棋文化,也是中华民族的文化瑰宝,它源远流长,趣味浓厚,基本规则简明易懂.张三和李四下棋,张三获胜的概率是,和棋的概率是,则张三不输的概率为　　　　.
答案　
解析　由题意得,张三不输的情况有和棋或者获胜,所以张三不输的概率P=+=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共18分
1.(多选)下列试验是古典概型的为 (　　)
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两枚骰子,点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
答案　ABD
解析　A,B,D是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性,三天中是否降雨受多方面因素影响.
2.在50瓶牛奶中,有5瓶已经过了保质期,从中任取一瓶,取到已经过保质期的牛奶的概率是 (　　)
A.0.02 B.0.05 C.0.1 D.0.9
答案　C
解析　由题意知,该题是一个古典概型,因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法,取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法,根据古典概型的概率公式求得概率是=0.1.
3.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子,现从箱子中同时取出两只袜子,则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　两只红色袜子分别设为A1,A2,两只黑色袜子分别设为B1,B2,这个试验的样本空间可记为Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)},共包含6个样本点,记A为“取出的两只袜子正好可以配成一双”,则A={(A1,A2),(B1,B2)},A包含的样本点个数为2,所以P(A)=.故选B.
4.一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同色的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　把红球标记为红1、红2,白球标记为白1、白2,试验的样本点共有16个,其中2个球同色的样本点有8个:(红1、红1),(红1、红2),(红2、红1),(红2、红2),(白1、白1),(白1、白2),(白2、白1),(白2、白2),故所求概率为P==.
5.(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子,四位同学各自发表了以下见解,其中正确的有 (　　)
A.“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率
B.只要连掷6次,一定会“出现1点”
C.投掷前默念几次“出现6点”,投掷结果“出现6点”的可能性就会加大
D.连续投掷3次,出现的点数之和不可能等于19
答案　AD
解析　掷一枚骰子,出现奇数点和出现偶数点的概率都是,故A正确;“出现1点”是随机事件,故B错误;概率是客观存在的,不因为人的意念而改变,故C错误;连续掷3次,若每次都出现最大点数6,则三次之和最大为18,故D正确.
6.数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是:3.141 592 6<π<3.141 592 7,为纪念祖冲之在圆周率的成就,把3.141 592 6称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取两位数字,整数部分3不变,那么得到的数字大于3.14的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从1,4,1,5,9,2,6这7位数字中任选两位数字的样本点有14,11,15,19,12,16,41,45,49,42,46,59,52,56,92,96,26,51,91,21,61,54,94,24,64,95,25,65,29,69,62,共31个,其中得到的数字大于3.14的样本点有28个,所以得到的数字大于3.14的概率P=.
7.(5分)从a,b,c,d四名学生中任选两名去参加不同的活动,则选到学生a的概率为　　　　.
答案　
解析　所有样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个.其中选到学生a的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),共3个,所以所求事件的概率P=.
8.(5分)从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长,其中甲、乙为男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是　　　　.
答案　
解析　从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长样本点有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)共6个,其中“没有女生当选”只包含(甲,乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P=1-=.
9.(10分)某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球,记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;(5分)
(2)求中奖的概率.(5分)
解　设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回地取两个有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16个样本点.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7个样本点,则中三等奖的概率为P(A)=.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种,两个小球号码相加之和等于5的取法有2种,两个小球号码相加之和等于6的取法有1种,
则中奖概率为P(B)==.
10.(10分)根据某省的高考改革方案,考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料,1位同学选择生物的概率为0.5,选择物理但不选择生物的概率为0.2,考生选择各门学科是互不影响的.
(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科的概率;(4分)
(2)某校高二年级的400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.(6分)
解　记事件A表示“考生选择生物学科”;
事件B表示“考生选择物理但不选择生物学科”;
事件C表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科”;
事件D表示“考生选择生物但不选择物理学科”;
事件E表示“考生同时选择生物、物理两门学科”.
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.2,C=A∪B,A∩B= ,P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7.
(2)由某校高二年级的400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,可知P(D)=0.35,
因为D∪E=A,且D,E为互斥事件,所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15.
11.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球,其中1个白球,2个红球,1个黄球,若从中随机取出1个球,记下颜色后放回盒子,均匀搅拌后,再随机取出1个球,则两次取出小球颜色不同的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记白球为1,红球为2,3,黄球为4,则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16个样本点,则两次取出小球颜色不同包括(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共10个样本点,所以两次取出小球颜色不同的概率为.
12.(多选)掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”.若表示B的对立事件,则一次试验中,下列说法正确的是 (　　)
A.P= B.P=
C.P= D.P=
答案　ABC
解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果,出现的点数分别为1,2,3,4,5,6,则满足事件A的情况有点数为2,4;满足事件B的情况有点数为1,2,3,4.
依题意,P==,P==,故A,B正确;
P=1-=,
因为表示“出现5点或6点”的事件,A表示“出现小于5的偶数点”,所以A与互斥,
故P=P+P=,故D错误;
表示“出现的点数为1,3,5,6”的事件,则P==,
显然包含在内,则P=P=,故C正确.
13.(5分)在一次教师联欢会上,到场的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有　　　　人.
答案　120
解析　可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1-=.
再由题意,知n-n=12,解得n=120.
14.(5分)如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(都为整数),其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　　　.
答案　
解析　从图中的数据知甲组数据的平均数为=90.被污损的数字可以是0,1,2,…,9,共10种情况.
若甲、乙两组平均数相等,有90×5-(83+83+87+99)=98,则被污损的数字为8.
若甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩,则被污损的数字可为0,1,…,7,共8个样本点,
故其概率P==.
15.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},
∴共含有12个样本点.
函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增,
①当a=0时,f(x)=-2bx,需要满足-2b>0,即b<0,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1,共1个样本点;
②当a≠0时,a>0,需要满足≤1,即b≤a,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4个样本点.∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率P=.
16.(12分)科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素,分别为16O,17O,18O,根据1940年比较精确的质谱测定,自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%,17O占0.037%,18O占0.204%.现有3个16O,2个17O,n个18O,若从中随机选取1个氧原子,这个氧原子不是17O的概率为.
(1)求n;(5分)
(2)若从中随机选取2个氧原子,求这2个氧原子是同一种同位素的概率.(7分)
解　(1)依题意,从这些氧原子中随机选取1个,这个氧原子是17O的概率P1=,则有1-=,解得n=1.
(2)记3个16O分别为a,b,c,2个17O分别为x,y,1个18O为m,从中随机选取2个,所有的情况为(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(a,m),(b,c),(b,x),(b,y),(b,m),(c,x),(c,y),(c,m),(x,y),(x,m),(y,m),共15种,它们是等可能的,其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a,b),(a,c),(b,c),(x,y),共4种,其概率为P2=,所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是.5.3.3　古典概型
[学习目标]　1.了解基本事件的特点,理解古典概型的定义.2.会判断古典概型,会用古典概型的概率公式解决问题.
一、古典概型的理解
问题1　我们讨论过抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些
知识梳理
一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是　　　　(简称为　　　　),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即　　　　　)发生的可能性大小　　　　　(简称为　　　　　),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为　　　　　.
例1　下列概率模型是古典概型吗 为什么
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;
(3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率.
反思感悟　古典概型的判断,关键看是否满足两个特征
(1)有限性:在一次试验中,所有可能出现的样本点只有有限个.
(2)等可能性:每个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练1　下列选项中是古典概型的是 (　　)
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
二、古典概型中概率的计算
问题2　在掷骰子的试验中,记A事件为“点数为偶数”,A事件包含哪些样本点 A事件发生的概率是多少
知识梳理
一般地,设试验E是古典概型,样本空间含有n个样本点,事件C包含有m个样本点,则定义事件C的概率P(C)=　　　　　.
例2　袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)事件A:取出的两球都是白球;
(2)事件B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.
反思感悟　求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型;
(2)确定样本点的总数n;
(3)确定事件A包含的样本点个数m;
(4)计算事件A发生的概率,即P(A)=.
跟踪训练2　(1)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
(2)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　.
三、概率性质在古典概型中的应用
例3　先后掷两个质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A:两个骰子点数相同,事件B:点数之和小于7,事件C:点数之和小于11,求P(A),P(B),P(AB),P(A+B),P(C).
反思感悟　古典概型中概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点,事件A包含m个样本点,则
(1)0≤P(A)=≤1.
(2)P(A)+P()=1.
(3)若事件B包含k个样本点,而且A与B互斥,则容易知道A+B包含m+k个样本点,从而P(A+B)==+=P(A)+P(B).
跟踪训练3　某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车费多于14元的概率为,求甲的停车费为6元的概率;
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
1.知识清单:
(1)古典概型概念的理解.
(2)古典概型中概率的计算.
(3)概率性质在古典概型中的应用.
2.方法归纳:列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区:基本事件列举没有规律,出现重复或遗漏.
1.下列试验是古典概型的是 (　　)
A.在适宜的条件下种一粒种子,发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球得白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
D.某篮球运动员投篮一次命中的概率
2.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除,若小王和小张在这5名同学之中,则小王和小张都没有被挑出的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
3.用1,2,3组成无重复数字的三位数,这个数能被2整除的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
4.中国象棋是中国棋文化,也是中华民族的文化瑰宝,它源远流长,趣味浓厚,基本规则简明易懂.张三和李四下棋,张三获胜的概率是,和棋的概率是,则张三不输的概率为　　　　.
答案精析
问题1　样本空间的样本点是有限个,每个样本点发生的可能性相等.
知识梳理
有限的　有限性　基本事件　都相等　等可能性　古典概型
例1　解　(1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等,与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等.
跟踪训练1　D
问题2　A={2,4,6}.
对于掷骰子试验,出现各个点的可能性相同,记出现1点,2点,…,6点的事件分别为A1,A2,…,A6,记事件“出现偶数点”为B,
则P(A1)=P(A2)=…=P(A6),
又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=1,
所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=,
P(B)==.
知识梳理
例2　解　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点.
(1)A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点.
∴取出的两个球全是白球的概率为
P(A)==.
(2)B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共8个样本点.
∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为P(B)=.
跟踪训练2　(1)C　(2)
例3　解　用数对(x,y)表示抛掷结果,则这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.共包含36个样本点,这36个样本点发生的可能性是相等的.
A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},包含6个样本点,
所以P(A)==.
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)},包含15个样本点,
所以P(B)==.
AB={(1,1),(2,2),(3,3)},包含3个样本点,所以P(AB)==.
A+B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),(4,4),(5,5),(6,6)},包含18个样本点,
所以P(A+B)==.
因为事件C的对立事件表示“点数之和等于或大于11”,所以={(5,6),(6,5),(6,6)},包含3个样本点,所以P()==.
所以P(C)=1-P()=1-=.
跟踪训练3　解　(1)设甲“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)=,P(C+D)=,
又事件A,B,C,D互斥,
且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,
所以P(A)=1--=.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点;而“停车费之和为28元”的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,所以所求概率为.
随堂演练
1.B　2.B　3.C　4.

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