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5.3.4　频率与概率
[学习目标]　1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义,理解频率与概率的区别与联系.
导语
对于样本点等可能的试验,我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率,但在现实中,很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如,抛掷一枚质地不均匀的骰子,或者抛掷一枚图钉,此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率,我们需要寻找新的求概率的方法.
一、概率概念的理解
问题1　利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验,得到事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A),结果如表所示:
序号 n=20 n=100 n=500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
随着试验次数n的增加,你能观察出频率在哪一个常数附近波动吗
提示　随着试验次数n的增加,频率在常数0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较大时,波动幅度较小.
知识梳理
1.事实上,大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.
2.概率是一个确定的数,与每次的试验次数无关.
例1　解释下列概率的含义.
(1)某厂生产产品的合格率为0.9;
(2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2.
解　(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”.说明该厂产品合格的可能性为90%,也可以说100件该厂的产品中大约有90件是合格的.
(2)“中奖的概率为0.2”.说明参加抽奖的人有20%的可能中奖,也可以说,若有100人参加抽奖,约有20人中奖.
反思感悟　概率是事件的本质属性,不随试验次数的变化而变化,概率反映了事件发生的可能性的大小,但概率只提供了一种“可能性”,而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定发生,只是认为发生的可能性大.
跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.由生物学知道生男生女的概率均为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,不一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
答案　AD
解析　一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
二、用频率估计概率
问题2　在问题1中,频率与概率有什么关系
提示　(1)试验次数n相同,频率fn(A)可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性.
(2)从整体来看,频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较大时,波动幅度较小,但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小,只是波动幅度小的可能性更大.
知识梳理
用频率估计概率
一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为,此时也有0≤P(A)≤1.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.
例2　某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并做如下规定:顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.
下表是活动进行中的一组统计数据:
转动转盘 的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域 “1”的频数m 13 19 24 62 101 125
落在区域 “1”的频率
(1)计算并完成表格(精确到0.001);
(2)当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近多少
(3)获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少
解　(1)落在区域“1”的频率如下表:
转动转盘 的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域 “1”的频数m 13 19 24 62 101 125
落在区域 “1”的频率 0.130 0.127 0.120 0.124 0.126 0.125
(2)由(1)中计算的频率,可判断当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近0.125.
(3)由(1),(2)及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.125.
反思感悟　随机事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.
(2)求法:通过公式fn(A)==计算出频率,再由频率估算概率.
跟踪训练2　某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如下:
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟的次数 81 95 123 82 119 127 121
击中飞碟的频率
(1)将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中(精确到0.01);
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少(精确到0.01)
解　(1)表中由左至右,依次填入的数据是0.81,0.79,0.82,0.82,0.79,0.79,0.81.
(2)由于频率稳定在常数0.80附近,所以这个运动员击中飞碟的概率约为0.80.
三、用频率估计概率的应用
例3　某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,采用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解　(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4,
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
则分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5,
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.
(3)由题意,可知样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30,
所以样本中的男生人数为30×2=60,
女生人数为100-60=40,
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2,
所以根据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
反思感悟　(1)频数、频率分布图表中各频数、频率或各小区间内的频数(频率)对应的事件是互斥的.
(2)两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式在频率估计概率时仍成立.
跟踪训练3　为了了解某次数学考试全校学生的得分情况,数学老师随机选取了若干名学生的成绩,并以[50,60),[60,70),…,[90,100]为分组,作出了如图所示的频率分布直方图.从该学校中随机选取一名学生,估计这名学生该次数学考试成绩在[80,100]内的概率.
解　由频率分布直方图可以看出,所抽取的学生成绩中,在[80,100]内的频率为(0.03+0.01)×(90-80)=0.4.
因为由样本的分布可以估计总体的分布,所以全校学生的数学得分在[80,100]内的频率可以估计为0.4.
根据用频率估计概率的方法可知,随机选取一名学生,这名学生该次数学考试成绩在[80,100]内的概率可以估计为0.4.
1.知识清单:
(1)理解概率的意义.
(2)频率与概率的关系.
(3)用频率估计概率.
2.方法归纳:极限法.
3.常见误区:频率与概率的区别与联系.
1.某医院治疗一种疾病的治愈率为,前4个病人都没有治好,第5个病人的治愈率为 (　　)
A.1 B. C. D.0
答案　B
解析　由概率的意义知,第5个病人的治愈率仍为,与前4个病人都没治好没有关系.
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　抛掷一枚质地均匀的硬币,只考虑第999次,有两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果等可能出现,故所求概率为.
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到号码为奇数的频率是 (　　)
A.0.53 B.0.5
C.0.47 D.0.37
答案　A
解析　利用公式fn(A)=计算出频率值,取到号码为奇数的频率是=0.53.
4.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个,从中任取一球后放回,取了10次有7次是白球,则估计袋中数量较多的是　　　　　球.
答案　白
解析　取出白球的频率是0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.(多选)以下说法错误的是 (　　)
A.昨天没有下雨,则说明昨天气象局的天气预报“降水的概率为99%”是错误的
B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖
C.做10次抛掷硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率为
D.某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品
答案　ABC
解析　A中,降水概率为99%,仍有不降水的可能,故错误;
B中,“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故错误;
C中,正面朝上的频率为,概率仍为,故错误;
D中,次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件或更多次品,故正确.
2.某位同学进行投球练习,连投了10次,恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件,则事件A发生的 (　　)
A.概率为 B.频率为
C.频率为8 D.概率接近0.8
答案　B
解析　∵ 投球一次即进行一次试验,投球10次,投进8次,
即事件A发生的频数为8,∴ 事件A发生的频率为=.
3.我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒.这批米夹的谷约为 (　　)
A.134石 B.169石 C.338石 D.454石
答案　B
解析　由题意可知这批米内夹谷约为1 534×≈169(石).
4.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大 (　　)
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币都是反面向上
答案　A
解析　抛掷两枚硬币,其结果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四种情况,至少一枚硬币正面向上包括三种情况,其概率最大.
5.某市交警部门在调查一起车祸的过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆A型出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色,而该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆A型出租车,3 000辆B型出租车,乙公司有3 000辆A型出租车,100辆B型出租车.交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理 (　　)
A.甲公司 B.乙公司
C.甲与乙公司 D.以上都对
答案　B
解析　由于甲公司A型出租车所占的比例为=,乙公司A型出租车所占的比例为=,可知应选B.
6.(多选)下列说法中,正确的有 (　　)
A.频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性的大小
B.做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率
C.频率是不能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D.频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值
答案　ACD
解析　由频率和概率的意义知,频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性的大小,故A正确;由频率和概率的关系知,频率是概率的近似值,是通过大量试验得到的,而概率是频率的稳定值,是确定的理论值,故B错误,CD正确.
7.(5分)空气质量指数(AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,AQI的数值越大、级别和类别越高,说明空气污染状况越严重.当空气质量指数在0~50时,空气质量指数级别为一级(优);当空气质量指数在51~100时,空气质量指数级别为二级(良)……为了加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市2022年的空气质量进行调研,随机抽取了100天的空气质量指数(AQI),得下表:
空气质量指数 [0,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] (80,100] >100
天数 8 21 22 18 17 8 5 1
依据上表,估计该市某一天的空气质量指数级别为一级(优)的概率是　　　　.
答案　0.51
解析　当空气质量指数级别为一级(优)时,空气质量指数在0~50,共有8+21+22=51(天),则样本中空气质量指数级别为一级(优)的频率为=0.51,
故估计该市某一天的空气质量指数级别为一级(优)的概率是=0.51.
8.(5分)对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下表所示:
调查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 478
根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽950件合格品,大约需抽查　　　　件产品.
答案　1 000
解析　由表中数据知,抽查5次,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品,则=0.95,所以n=1 000.
9.(10分)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成[40,50),[50,60),…,[90,100]六组后画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格);(5分)
(2)从成绩在70分以上(包括70分)的学生中任选一人,求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人).(5分)
解　(1)依题意,60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以估计这次考试的及格率约为75%.
(2)因为成绩在[70,100]的人数是60×(0.03+0.025+0.005)×10=36,
所以从成绩在70分以上(包括70分)的学生中任选一人,
选到第一名学生的概率P=.
10.(11分)有三张除字母外完全相同的纸牌,字母分别是K,K,Q.进行有放回抽样,每次试验抽出一张纸牌,经过多次试验后结果汇总如下表:
试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1 000
抽出K的频数 7 13 32 136 198 270 660
抽出K的频率 65% 67%
(1)将上述表格补充完整;(3分)
(2)观察表格,计算摸到K的频率为多少;(4分)
(3)估计摸到K的概率.(4分)
解　(1)完善后表格如下表所示:
试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1 000
抽出K的频数 7 13 32 65 136 198 270 335 660
抽出K的频率 70% 65% 64% 65% 68% 66% 67.5% 67% 66%
(2)由(1)可得摸到K的频率约为66%.
(3)由频率与概率的关系可得,摸到K的概率约为66%,事实上摸到K的概率为.
11.为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
12.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率:用计算机随机模拟产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
5727　0293　7140　9857　0347　4373　8636
9647　1417　4698　0371　6233　2616　8045
6011　3661　9597　7424　6710　4281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 (　　)
A.0.7 B.0.75 C.0.8 D.0.85
答案　B
解析　在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有5727,0293,9857,0347,4373,8636,9647,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281,共15组随机数,所以所求概率约为=0.75.
13.某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果的频率折线图如图所示,则符合这一结果的试验可能是 (　　)
A.抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一个球,取得的是黑球
答案　D
解析　由折线图可知,频率在0.3到0.4之间,抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为0.5,不符合题意,故A错;掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上的概率为,不符合题意,故B错;一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为,不符合题意,故C错;从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一个球,取得的是黑球的概率为,在0.3到0.4之间,符合题意,故D正确.
14.(5分)一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20),2个;[20,30),3个;[30,40),x个;[40,50),5个;[50,60),4个;[60,70],2个.则x=　　　　;根据样本的频率估计概率,数据落在[10,50)的概率约为　　　　.
答案　4　0.7
解析　样本中数据总个数为20,∴x=20-(2+3+5+4+2)=4;在[10,50)中的数据有14个,故所求概率P==0.7.
15.(5分)某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
投资成功 投资失败
192次 8次
则估计该公司一年后可获收益的平均数是　　　　万元.
答案　0.476
解析　应先求出投资成功与失败的概率,再计算收益的平均数.设可获收益为x万元,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%.一年后公司成功的概率估计为=,失败的概率估计为=.所以估计一年后公司收益的平均数为5×12%×-5×50%×=0.476(万元).
16.(12分)某高中启动了“全民阅读,书香校园”活动,在活动期间用简单随机抽样方法,抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,所得数据的茎叶图如图所示.将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
(1)将频率视为概率,试估计该校900名学生中“读书迷”有多少人;(4分)
(2)从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动.
①共有多少种不同的抽取方法 (4分)
②求抽取的男、女两位‘读书迷’月均课外阅读时间相差不超过2小时的概率.(4分)
解　(1)设该校900名学生中“读书迷”有x人,由茎叶图得30名学生中有7名学生月均课外阅读时间不低于30小时,所以30名学生中“读书迷”的频率是,
则=,解得x=210,
故估计该校900名学生中“读书迷”有210人.
(2)①由茎叶图得7名“读书迷”中男生有3人,设为a35,a38,a41,女生有4人,设为b34,b36,b38,b40(其中符号下标表示该学生月均课外阅读时间),
则从7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人的样本空间Ω={(a35,b34),(a35,b36),(a35,b38),(a35,b40),(a38,b34),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b34),(a41,b36),(a41,b38),(a41,b40)},共包含12个样本点,
所以共有12种不同的抽取方法.
②设A表示事件“抽取的男、女两位‘读书迷’月均课外阅读时间相差不超过2小时”.
由①得事件A包含(a35,b34),(a35,b36),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b40),共6个样本点,则P(A)==,
所以抽取的男、女两位“读书迷”月均课外阅读时间相差不超过2小时的概率为.5.3.4　频率与概率
[学习目标]　1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义,理解频率与概率的区别与联系.
一、概率概念的理解
问题1　利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验,得到事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A),结果如表所示:
序号 n=20 n=100 n=500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
随着试验次数n的增加,你能观察出频率在哪一个常数附近波动吗
知识梳理
1.事实上,大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.
2.概率是一个确定的数,与每次的试验次数无关.
例1　解释下列概率的含义.
(1)某厂生产产品的合格率为0.9;
(2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2.
反思感悟　概率是事件的本质属性,不随试验次数的变化而变化,概率反映了事件发生的可能性的大小,但概率只提供了一种“可能性”,而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定发生,只是认为发生的可能性大.
跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.由生物学知道生男生女的概率均为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,不一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
二、用频率估计概率
问题2　在问题1中,频率与概率有什么关系
知识梳理
用频率估计概率
一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为,此时也有　　　　　　.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.
例2　某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并做如下规定:顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.
下表是活动进行中的一组统计数据:
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域“1”的频数m 13 19 24 62 101 125
落在区域“1”的频率
(1)计算并完成表格(精确到0.001);
(2)当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近多少
(3)获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少
反思感悟　随机事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.
(2)求法:通过公式fn(A)==计算出频率,再由频率估算概率.
跟踪训练2　某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如下:
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟的次数 81 95 123 82 119 127 121
击中飞碟的频率
(1)将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中(精确到0.01);
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少(精确到0.01)
三、用频率估计概率的应用
例3　某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,采用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
反思感悟　(1)频数、频率分布图表中各频数、频率或各小区间内的频数(频率)对应的事件是互斥的.
(2)两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式在频率估计概率时仍成立.
跟踪训练3　为了了解某次数学考试全校学生的得分情况,数学老师随机选取了若干名学生的成绩,并以[50,60),[60,70),…,[90,100]为分组,作出了如图所示的频率分布直方图.从该学校中随机选取一名学生,估计这名学生该次数学考试成绩在[80,100]内的概率.
1.知识清单:
(1)理解概率的意义.
(2)频率与概率的关系.
(3)用频率估计概率.
2.方法归纳:极限法.
3.常见误区:频率与概率的区别与联系.
1.某医院治疗一种疾病的治愈率为,前4个病人都没有治好,第5个病人的治愈率为 (　　)
A.1 B.
C. D.0
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到号码为奇数的频率是 (　　)
A.0.53 B.0.5
C.0.47 D.0.37
4.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个,从中任取一球后放回,取了10次有7次是白球,则估计袋中数量较多的是　　　　　球.
答案精析
问题1　随着试验次数n的增加,频率在常数0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较大时,波动幅度较小.
例1　解　(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”.说明该厂产品合格的可能性为90%,也可以说100件该厂的产品中大约有90件是合格的.
(2)“中奖的概率为0.2”.说明参加抽奖的人有20%的可能中奖,也可以说,若有100人参加抽奖,约有20人中奖.
跟踪训练1　AD
问题2　(1)试验次数n相同,频率fn(A)可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性.
(2)从整体来看,频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较大时,波动幅度较小,但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小,只是波动幅度小的可能性更大.
知识梳理
0≤P(A)≤1
例2　解　(1)落在区域“1”的频率如下表:
转动转盘 的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域 “1”的频数m 13 19 24 62 101 125
落在区域 “1”的频率 0.130 0.127 0.120 0.124 0.126 0.125
(2)由(1)中计算的频率,可判断当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近0.125.
(3)由(1),(2)及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.125.
跟踪训练2　解　(1)表中由左至右,依次填入的数据是0.81,0.79,0.82,0.82,0.79,0.79,0.81.
(2)由于频率稳定在常数0.80附近,所以这个运动员击中飞碟的概率约为0.80.
例3　解　(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为
1-0.6=0.4,
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
则分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5,
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.
(3)由题意,可知样本中分数不小于70的学生人数为
(0.02+0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30,
所以样本中的男生人数为30×2=60,
女生人数为100-60=40,
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2,
所以根据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
跟踪训练3　解　由频率分布直方图可以看出,所抽取的学生成绩中,在[80,100]内的频率为
(0.03+0.01)×(90-80)=0.4.
因为由样本的分布可以估计总体的分布,所以全校学生的数学得分在[80,100]内的频率可以估计为0.4.
根据用频率估计概率的方法可知,随机选取一名学生,这名学生该次数学考试成绩在[80,100]内的概率可以估计为0.4.
随堂演练
1.B　2.D　3.A　4.白

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