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5.3.5　随机事件的独立性
[学习目标]　1.理解相互独立事件的定义及意义.2.理解相互独立事件的充要条件.3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
导语
我们知道,积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.那么,这种关系会是怎样的呢
一、相互独立事件的概念与判断
问题　分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现
提示　用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率公式,得
P(A)=P(B)=,P(AB)=.
于是P(AB)=P(A)P(B).
知识梳理
相互独立事件的概念与性质
(1)定义:一般地,设A,B为两个事件,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).
(2)性质:如果事件A与B相互独立,则与B,A与与也相互独立.
(3)n个事件相互独立
对于n个事件“A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
注意点:
两个事件相互独立与互斥的区别:两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
例1　一个不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球.
(1)记事件A=“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”;
(2)记事件A=“从口袋内不放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内不放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”.
试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件.
解　(1)有放回地抽取小球,事件A是否发生对事件B是否发生没有影响,它们是相互独立事件.
(2)不放回地抽取小球,记红、黄、蓝球的号码分别为1,2,3,则样本空间为
Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},共6个样本点,
A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}.
因为P(A)==,P(B)==,P(AB)=,P(AB)≠P(A)P(B),
所以A,B不是相互独立事件.
反思感悟　判断两事件是否相互独立的方法
(1)直观法:利用事件所包含基本事件直接判断两个事件的发生是否相互影响.
(2)公式法:若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
跟踪训练1　(多选)下面所给出的事件中,M与N相互独立的是 (　　)
A.抛掷一枚骰子,事件M={出现1点},事件N={出现2点}
B.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,事件M={第一枚出现正面},事件N={第二枚出现反面}
C.在装有2红1绿三个形状、大小相同的小球的口袋中,任取一个小球,观察颜色后放回袋中,事件M={第一次取到绿球},N={第二次取到绿球}
D.某射手射击一次,事件M={击中靶心},事件N={未击中靶心}
答案　BC
解析　A中事件M与N是互斥事件,∴M与N不是相互独立事件;
B中第一枚出现正面还是反面,对第二枚出现反面没有影响,∴M与N相互独立;
C中由于每次取球观察颜色后放回,故事件M的发生对事件N发生的概率没有影响,∴M与N相互独立;
D中M与N是互斥事件且是对立事件,∴M与N不是相互独立事件.
二、相互独立事件概率的求法
知识梳理
相互独立事件的概率公式
(1)若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B);
(2)若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
例2　根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解　记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,
则D=B,所以P(D)=P(B)=P()·P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件是相互独立的;
②先求每个事件发生的概率,再求其积.
(2)公式P(AB)=P(A)P(B)可推广到一般情形,即如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
跟踪训练2　高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,且它们互不影响.求:
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解　分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,则A,B,C两两相互独立,且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用事件表示,
P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003,
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)+(AC)+(AB)表示.
由于事件BC,AC和AB两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式,所求的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()·P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329,
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
三、相互独立事件概率的综合应用
例3　如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
解　分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A,B,C.
由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.
根据相互独立事件概率的乘法公式,得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( )=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027.
所以在这段时间内线路正常工作的概率是
1-P( )=1-0.027=0.973.
反思感悟　解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件,还要注意互斥事件的拆分,以及对立事件概率的求法的运用,即三个公式的联用:P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(A)=1-P(),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互独立).
跟踪训练3　某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率.
解　记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i=1,2,3),则
P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
方法一　该选手被淘汰的概率为
P()+P(A1)+P(A1A2)
=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()
=+×+××=.
方法二　该选手被淘汰的概率为
1-P(A1A2A3)=1-××=.
1.知识清单:
(1)相互独立事件的概念与判断.
(2)相互独立事件概率的求法.
2.方法归纳:正难则反、逆向思维.
3.常见误区:相互独立事件的判断;相互独立事件与互斥事件的区别.
1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是 (　　)
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.以上都不对
答案　D
解析　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知.
2.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解对的概率为P1,乙解对的概率为P2,那么至少有1人解对的概率是 (　　)
A.P1+P2 B.P1P2
C.1-P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2)
答案　D
解析　设甲解对为事件A,乙解对为事件B,
则P(A)=P1,P(B)=P2,则P=1-P( )=1-(1-P1)(1-P2).
3.一个学生通过一种英语能力测试的概率是,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知,恰有一次通过的概率为×+×=.
4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为　　　　.
答案　
解析　设此队员每次罚球的命中率为p,
则1-p2=,所以p=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.设A,B,C为三个随机事件,其中A与B互斥,B与C相互独立,则下列命题一定成立的是 (　　)
A.A与B相互独立 B.A与C互斥
C.B与C互斥 D.与相互独立
答案　D
解析　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别,前者指的是不可能同时发生的事件,后者指的是在两个事件中,一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立,由两事件相互独立的性质易知D正确.
2.甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 (　　)
A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1)
C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2)
答案　B
解析　恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决.这两个事件显然是互斥的.所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1-p2)+p2(1-p1).
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,则他第3次拨号才接通电话的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设Ai={第i次拨号接通电话},i=1,2,3,第3次拨号才接通电话可表示为 A3,显然,,A3相互独立,所以P( A3)=××=.
4.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队每局赢的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率P1=;第二类,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=×=.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.
5.已知A,B相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.3,则P(+B)等于 (　　)
A.0.58 B.0.9
C.0.7 D.0.72
答案　A
解析　P(+B)=P()+P(B)-P(B)
=P()+P(B)-P()P(B)
=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58.
6.为丰富老年人的精神文化生活,提高老年人的生活幸福指数,某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛,比赛分老年男组和老年女组,男女组分别进行淘汰赛.经过多轮淘汰后,西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛.按照以往的比赛经验,在决赛中“龙马”队获胜的概率为,“风采”队获胜的概率为p,“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为(“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响),则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得两队中只有一队获胜包含“龙马”队获胜“风采”队未获胜、“龙马”队未获胜“风采”队获胜,
则×(1-p)+p=-p=,解得p=.所以两队同时获得冠军的概率为p=×=.
7.(5分)从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,记事件A为“抽得K”,记事件B为“抽得红牌”,则事件A与B　　　　(填“是”或“不是”)相互独立事件.
答案　是
解析　P(A)==,P(B)==.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”,亦即“抽得红桃K或方块K”,故P(AB)==,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此事件A与B相互独立.
8.(5分)某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为　　　　.
答案　
解析　分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A,B,C,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=,
停车一次为事件(BC)+(AC)+(AB),
故其概率P=××+××+××=.
9.(10分)甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p;(5分)
(2)求甲投球2次,至少命中1次的概率.(5分)
解　设“甲投一次球命中”为事件A,“乙投一次球命中”为事件B.
(1)由题意得P()P()=,
解得P()=或P()=-(舍去),
故p=1-P()=,
所以乙投球的命中率为.
(2)方法一　由题设知,P(A)=,P()=,
故甲投球2次,至少命中1次的概率为
1-P()=1-P()P()=.
方法二　由题设知,P(A)=,P()=,
故甲投球2次,至少命中1次的概率为
2P(A)P()+P(A)P(A)=.
10.(12分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计,甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:
(1)三人都合格的概率;(3分)
(2)三人都不合格的概率;(4分)
(3)出现几人合格的概率最大.(5分)
解　记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,则
P(A)=,P(B)=,P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率P3=P(ABC)=P(A)·P(B)P(C)=××=.
(2)三人都不合格的概率P0=P()=P()·P()P()=××=.
(3)恰有两人合格的概率
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=.
恰有一人合格的概率
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现一人合格的概率最大.
11.张老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,他预估做对第一道题的概率是0.8,做对两道题的概率是0.6,能否做对两道题之间互不影响,则预估做对第二道题的概率是 (　　)
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
答案　B
解析　设事件Ai(i=1,2)表示“做对第i道题”,A1,A2相互独立,由已知得,P(A1)=0.8,P(A1A2)=0.6,由P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=0.8P(A2)=0.6,解得P(A2)==0.75.
12.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且每个开关是否闭合是相互独立的,则灯亮的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记“A,B,C,D四个开关闭合”分别为事件A,B,C,D,可用对立事件求解,图中含开关的三条线路同时断开的概率为P()P()[1-P(AB)]=××=.所以灯亮的概率P=1-=.
13.(5分)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　.
答案　0.128
解析　由已知条件知,第2个问题答错,第3,4个问题答对,记“问题回答正确”为事件A,
则P(A)=0.8,
故P=P((A+)AA)=[1-P(A)]·P(A)·P(A)=0.128.
14.(5分)同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　.
答案　0.46
解析　设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3+A1A3+A2A3发生,
故所求概率为P=P(A1A2A3+A1A3+A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)
=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5
=0.46.
15.(多选)伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验,其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次,记录这n次试验的结果,设事件M=“n次试验结果中,既出现正面又出现反面”,事件N=“n次试验结果中,最多只出现一次反面”,则下列结论正确的是 (　　)
A.若n=2,则M与N不互斥
B.若n=2,则M与N相互独立
C.若n=3,则M与N互斥
D.若n=3,则M与N相互独立
答案　AD
解析　当n=2时,所有样本点有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4个,
其中(正,反)和(反,正)这两种试验结果,事件M和事件N同时发生,故M与N不互斥,A选项正确;
P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)≠P(M)P(N),则M与N不相互独立,B选项错误;
当n=3时,所有样本点有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8个,
其中(正,正,反),(正,反,正)和(反,正,正)这三种试验结果,事件M和事件N同时发生,故M与N不互斥,C选项错误;
P(M)==,P(N)==,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),则M与N相互独立,D选项正确.
16.(12分)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为, 收到1的概率为.
(1)重复发送信号1三次,计算至少收到两次1的概率;(4分)
(2)依次发送1,1,0,判断以下两个事件:①事件A=“至少收到一个正确信号”;②事件B=“至少收到两个0”,是否相互独立,并给出证明.(8分)
解　(1)重复发送信号1三次,“至少收到两次1”的可能情况为(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
因为信号的传输相互独立,
故“至少收到两次1”的概率为××+××+××+××=.
(2)事件A与事件B不相互独立,证明如下:
若依次发送1,1,0,则“三次都没收到正确信号”的概率为××=,故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)=1-=;
若依次发送1,1,0,则“至少收到两个0”的可能情况为(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),根据事件的相互独立性,
故P(B)=××+××+××+××==;
若依次发送1,1,0,“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),根据事件的相互独立性,
故P(AB)=××+××+××=,
因为P(A)P(B)≠P(AB),所以事件A与事件B不相互独立.5.3.5　随机事件的独立性
[学习目标]　1.理解相互独立事件的定义及意义.2.理解相互独立事件的充要条件.3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
一、相互独立事件的概念与判断
问题　分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现
知识梳理
相互独立事件的概念与性质
(1)定义:一般地,设A,B为两个事件,当　　　　　　　时,就称事件A与B相互独立(简称独立).
(2)性质:如果事件A与B相互独立,则与　　　,　　　与与也相互独立.
(3)n个事件相互独立
对于n个事件“A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
例1　一个不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球.
(1)记事件A=“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”;
(2)记事件A=“从口袋内不放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内不放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”.
试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件.
反思感悟　判断两事件是否相互独立的方法
(1)直观法:利用事件所包含基本事件直接判断两个事件的发生是否相互影响.
(2)公式法:若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
跟踪训练1　(多选)下面所给出的事件中,M与N相互独立的是 (　　)
A.抛掷一枚骰子,事件M={出现1点},事件N={出现2点}
B.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,事件M={第一枚出现正面},事件N={第二枚出现反面}
C.在装有2红1绿三个形状、大小相同的小球的口袋中,任取一个小球,观察颜色后放回袋中,事件M={第一次取到绿球},N={第二次取到绿球}
D.某射手射击一次,事件M={击中靶心},事件N={未击中靶心}
二、相互独立事件概率的求法
知识梳理
相互独立事件的概率公式
(1)若事件A,B相互独立,则P(AB)=　　　　　　　　　　;
(2)若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=　　　　　　　　　　.
例2　根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件是相互独立的;
②先求每个事件发生的概率,再求其积.
(2)公式P(AB)=P(A)P(B)可推广到一般情形,即如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
跟踪训练2　高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,且它们互不影响.求:
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
三、相互独立事件概率的综合应用
例3　如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
反思感悟　解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件,还要注意互斥事件的拆分,以及对立事件概率的求法的运用,即三个公式的联用:P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(A)=1-P(),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互独立).
跟踪训练3　某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率.
1.知识清单:
(1)相互独立事件的概念与判断.
(2)相互独立事件概率的求法.
2.方法归纳:正难则反、逆向思维.
3.常见误区:相互独立事件的判断;相互独立事件与互斥事件的区别.
1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是 (　　)
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.以上都不对
2.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解对的概率为P1,乙解对的概率为P2,那么至少有1人解对的概率是 (　　)
A.P1+P2 B.P1P2
C.1-P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2)
3.一个学生通过一种英语能力测试的概率是,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为　　　　.
答案精析
问题　用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率公式,得
P(A)=P(B)=,P(AB)=.
于是P(AB)=P(A)P(B).
知识梳理
(1)P(AB)=P(A)P(B)　(2)B　A
例1　解　(1)有放回地抽取小球,事件A是否发生对事件B是否发生没有影响,它们是相互独立事件.
(2)不放回地抽取小球,记红、黄、蓝球的号码分别为1,2,3,则样本空间为
Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},共6个样本点,
A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}.
因为P(A)==,P(B)==,P(AB)=,P(AB)≠P(A)P(B),
所以A,B不是相互独立事件.
跟踪训练1　BC
知识梳理
(1)P(A)·P(B)　(2)P(A1)·P(A2)·…·P(An)
例2　解　记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与与B,
与都是相互独立事件,
且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)
=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,
则D=B,所以P(D)=P(B)=P()·P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
跟踪训练2　解　分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,则A,B,C两两相互独立,且P(A)=0.9,P(B)=0.8,
P(C)=0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用事件表示,
P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)
=0.003,
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)+(AC)+(AB)表示.
由于事件BC,AC和AB两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式,所求的概率为
P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()·P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329,
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
例3　解　分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A,B,C.
由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.
根据相互独立事件概率的乘法公式,得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( )=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)
=0.027.
所以在这段时间内线路正常工作的概率是
1-P( )=1-0.027=0.973.
跟踪训练3　解　记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i=1,2,3),则
P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
该选手被淘汰的概率为
P()+P(A1)+P(A1A2)
=P()+P(A1)P()+P(A1)·P(A2)P()
=+×+××=.
随堂演练
1.D　2.D　3.C　4.

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