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5.4统计与概率的应用
[学习目标]　1.能用随机模拟的方法进行估计.2.了解游戏、遗传性问题中的概率问题.3.利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题.
导语
统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻化,来帮助人们做出合理的决策.随着社会的不断发展,统计与概率的思想方法也越来越重要.
一、统计的应用
例1　某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到如下频数分布表:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水 (一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)
解　(1)如图所示.
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
反思感悟　频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据,掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键.
跟踪训练1　某销售公司为了解员工的月工资水平,从1 000位员工中随机抽取了100位员工进行调查,得到如下的频率分布直方图:
(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资;
(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的,一般认为,工资低于4 500元的员工属于学徒阶段,没有营销经验,若进行营销将会失败;高于4 500元的员工属于成熟员工,进行营销将会成功.现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层,进行分层抽样,从中抽出5人,在这5人中任选2人进行营销活动.活动中,每位员工若营销成功,将为公司赚得3万元,否则公司将损失1万元.在此次活动中公司收入多少万元的可能性最大
解　(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000+0.000 1×1 000×3 000+0.000 2×1 000×4 000+0.000 3×1 000×5 000+0.000 2×1 000×6 000+0.000 1×1 000×7 000=4 700(元).
(2)抽取比为=,
从工资在[1 500,4 500)内的员工中抽出100×(0.1+0.1+0.2)×=2(人),设这两位员工分别为1,2;从工资在[4 500,7 500]内的员工中抽出100×(0.3+0.2+0.1)×=3(人),设这三位员工分别为A,B,C.
从中任选2人,共有以下10个样本点:(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C).
两人营销都成功,公司收入6万元,有以下3个样本点:(A,B),(A,C),(B,C),概率为;
其中一人营销成功,一人营销失败,公司收入2万元,有以下6个样本点:(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),概率为=;
两人营销都失败,公司损失2万元,有1个样本点:(1,2),概率为.
∵<<,∴公司收入2万元的可能性最大.
二、概率的应用
例2　A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解　(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
用频率估计概率,可得所求概率为=0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得所求各频率为
所用时间(分钟) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),
∴甲应选择L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),
∴乙应选择L2.
反思感悟　(1)概率在决策问题中的应用
①由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小,概率是频率的近似值与稳定值,所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
②实际生活与生产中常用随机事件发生的概率来做出更有利的决策.
(2)利用频率与概率的关系求未知量的步骤
①抽出m个样本进行标记,设总体为未知量n,则标记概率为.
②随机抽取n1个个体,出现其中m1个被标记,则标记频率为.
③用频率近似等于概率,建立等式≈.
④求得n≈.
跟踪训练2　为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,如200只,给每只天鹅作上记号,不影响其存活,然后放回保护区.经过适当的时间,让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量为　　　　只.
答案　1 500
解析　设保护区中天鹅的数量为n.假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕一只,设事件A={捕到带有记号的天鹅},则P(A)=.
第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的统计定义可知,P(A)≈.
则≈,解得n≈1 500,
所以估计该自然保护区中约有天鹅1 500只.
三、统计与概率的综合应用
例3　某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制定了很多新的规章制度,新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查,调查问卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名学生的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙3人分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对新规章制度作深入学习.
(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(2)求第3,4,5组分别选取的人数.
(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深入学习,之后要再从这6人中随机选取2人全面考查他们对新规章制度的认知程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
解　(1)这100人的平均得分为
=5×
=87.25.
(2)第3组的人数为0.06×5×100=30(人);第4组的人数为0.04×5×100=20(人);第5组的人数为0.02×5×100=10(人),所以共有60人,用分层抽样在这三组中选取的人数分别为3,2,1.
(3)记其他3人为丁、戊、己,则所有选取的结果为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(甲,戊)、(甲,己)、(乙,丙)、(乙,丁)、(乙,戊)、(乙,己)、(丙,丁)、(丙,戊)、(丙,己)、(丁,戊)、(丁,己)、(戊,己),共15种情况,其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况,所以所求概率为P==.
反思感悟　概率与统计问题中的图表、数据包含着问题的基本信息,也往往暗示着解决问题的目标和方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征的规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.
跟踪训练3　某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估,为了解某学校师生对学校教学管理的满意度﹐分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干人进行评分(满分100分),绘制如下频率分布直方图(分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并将分数从低到高分为四个等级:
满意度评分 [40,60) [60,80) [80,90) [90,100]
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人.
(1)求表中a的值及不满意的人数;
(2)记A表示事件“满意度评分不低于80分”,估计A发生的概率;
(3)若师生的满意指数不低于0.8,则该校可获评“教学管理先进单位”.根据你所学的统计知识﹐判断该校是否能获评“教学管理先进单位”,并说明理由.
解　(1)由频率分布直方图可知,
a=0.1-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036,
设不满意的人数为x,
则(0.002+0.004)∶(0.016+0.018)=x∶340,
解得x=60,
故不满意的人数为60.
(2) “满意度评分不低于80分”的频率为
(0.036+0.024)×10=0.6,
因此,事件A的概率估计值为0.6.
(3)师生的满意指数为
η=×(45×0.02+55×0.04+65×0.16+75×0.18+85×0.36+95×0.24)=0.804,
因为η≥0.8,
所以该校可获评“教学管理先进单位”.
1.知识清单:
(1)统计的应用.
(2)概率的应用.
(3)统计与概率的综合应用.
2.方法归纳:数学建模.
3.常见误区:不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误.
1.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛,其中甲被选中的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　这个试验的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},
其中甲被选中包含3个样本点,
故甲被选中的概率为.
2.某省在校中学生近视率约为37.4%,某配镜商要到一中学给学生配镜,若已知该校学生总数为600,则该配镜商应带眼镜的数目为 (　　)
A.374副 B.224副
C.不少于225副 D.不多于225副
答案　C
解析　根据概率,37.4%×600=224.4,结合实际情况,该校近视生的人数约为225,配镜商应带眼镜数不少于225副.
3.乘客在某电车站等候26路或16路电车,在该站停靠的有16,22,26,31四路电车,若各路电车先停靠的概率相等,则乘客等候的电车首先停靠的概率等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为各路电车先停靠的概率都等于,
所以乘客等候的电车首先停靠的概率为+=.
4.在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率为 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　共有90个两位数,这些两位数中,有45个偶数,有30个能被3整除的数,其中奇数有30÷2=15(个),所以所求的概率为=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用C表示抽到次品这一事件,则对C的说法正确的是 (　　)
A.概率为
B.频率为
C.概率接近
D.每抽10台电视机必有1台次品
答案　B
解析　事件C发生的频率为,由于只做了一次试验,故不能得出概率接近的结论.
2.根据医疗所的调查,某地区居民血型分布为:O型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血,若在该地区任选1人,那么此人能为病人输血的概率为 (　　)
A.50% B.15%
C.45% D.65%
答案　A
解析　仅有O型血的人能为O型血的人输血.故选A.
3.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面向上记作2点,反面向上记作1点,两枚硬币的点数和是几,就选几班.按照这个规则,当选概率最大的是 (　　)
A.二班 B.三班
C.四班 D.三个班机会均等
答案　B
解析　掷两枚硬币,共有4种结果:(2,2),(2,1),(1,2),(1,1),故选四班的概率是,选三班的概率为=,选二班的概率为,故选B.
4.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类.在我国的云南及周边各省都有分布.春暖花开的时候是放蜂的大好季节.养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂,养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂.那么,生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理 (　　)
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.以上都对
答案　B
解析　养蜂人甲放的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的,而养蜂人乙放的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的,所以,现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大.
5.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
93　28　12　45　85　69　68　34　31　25　73　93　02　75　56　48　87　30　11　35
据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为 (　　)
A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35
答案　A
解析　两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一,它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个,因此所求的概率为=0.50.
6.如图,元件Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流互不影响,则电流能在M,N之间通过的概率是 (　　)
A.0.729 B.0.882 9 C.0.864 D.0.989 1
答案　B
解析　电流能同时通过A1,A2的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A3的概率为0.9,故电流既不能同时通过A1,A2,也不能通过A3的概率为(1-0.81)×(1-0.9)=0.019,所以电流能通过A3或同时通过A1,A2的概率为1-0.019=0.981,而电流能通过A4的概率为0.9,所以电流能在M,N之间通过的概率为0.981×0.9=0.882 9.
7.(5分)某人在江边码头上乘船摆渡过江,码头仅可供一艘船靠岸上客,若在半小时内大船靠岸的概率为0.6,汽艇靠岸的概率为0.2,那么此人在半小时内能乘船过江的概率是　　　　.
答案　0.8
解析　P=0.6+0.2=0.8.
8.(5分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名,将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示,从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人,则他们在同一分数段的概率是　　　　.
答案　
解析　记“选出的2人在同一分数段”为事件E,由题意知,[80,90)分之间有40×0.1=4(人),设为a,b,c,d;[90,100]分之间有40×0.05=2(人),设为A,B.从这6人中选出2人,有(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15个样本点,且这15个基本事件发生的可能性是相等的,其中事件E包括(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),共7个样本点,则P(E)=.
9.(11分)已知某音响设备由A电视机,B影碟机,C线路,D左声道和E右声道五个部件组成,其中每个部件工作的概率如图所示,当A与B中有一个工作,C工作,D与E中有一个工作时能听到声音;且若D和E同时工作则有立体声效果.
(1)求能听到立体声效果的概率;(5分)
(2)求听不到声音的概率.(6分)
解　(1)能听到立体声效果的概率P1=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×0.94×0.94=0.835 222 9.
(2)能听到声音的概率P2=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×[1-(1-0.94)2]=0.941 847 1,
从而所求概率为1-P2=1-0.941 847 1=0.058 152 9.
10.(13分)某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜,该方案对双方是否公平 为什么
解　该方案是公平的,理由如下.
各种情况如表所示:
4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1==,(2)班代表获胜的概率P2==,P1=P2,即机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
11.(多选)甲、乙两人做游戏,下列游戏中公平的是 (　　)
A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个整数,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜
答案　ACD
解析　对于A,C,D,甲胜,乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,甲胜的概率小,游戏不公平.
12.某比赛为两运动员制定下列发球规则.
规则一:投掷一枚硬币,出现正面向上,甲发球,反面向上,乙发球;
规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;
规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
则对甲、乙公平的规则是 (　　)
A.规则一和规则二 B.规则一和规则三
C.规则二和规则三 D.规则二
答案　B
解析　规则一两人发球的概率是相等的,公平.规则二的所有情况有(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2),共6种,同色的有2种,所以甲发球的可能性为,不公平.规则三的所有情况有(红1,红2),(红1,红3),(红2,红3),(红1,黑),(红2,黑),(红3,黑),共6种,同色球有3种,所以两人发球的可能性是相等的,公平.
13.如果消息M发生的概率为P(M),那么消息M所含的信息量为I(M)=log2,若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告,则发布的以下4条消息中,信息量最大的是 (　　)
A.小明在第4排
B.小明在第5列
C.小明在第4排第5列
D.小明在某一排
答案　C
解析　记选项A,B,C,D中的事件分别为A,B,C,D.
则P(A)=,
I(A)=log2=log2;
P(B)=,I(B)=log2=log2;
P(C)=,I(C)=log2
=log2;
P(D)=1,I(D)=1,故信息量最大的为选项C.
14.(5分)设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cm的概率最大,则m的值为　　　　.
答案　3或4
解析　点P的所有可能值为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),点P(a,b)落在直线x+y=n上(2≤n≤5,n∈N),且事件Cm的概率最大,
当n=2时,点P是(1,1),
当n=3时,点P可能是(1,2),(2,1).
当n=4时,点P可能为(1,3),(2,2),
当n=5时,点P是(2,3),
即事件C3,C4的概率最大,故m=3或m=4.
15.(15分)为了加强对数学文化的学习,某校高三年级特别定制了一套与数学文化有关的专题训练卷(试卷满分为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩(单位:分),按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假设每名学生的成绩均不低于50分).
(1)求频率分布直方图中x的值,并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(5分)
(2)用样本估计总体,若高三年级共有2 000名学生,试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数;(5分)
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的质量分析会,试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率.(5分)
解　(1)由频率分布直方图可得,第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2.则x==0.02.
故可估计所抽取的50名学生的成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74.
由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4,前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7,故中位数在第3组中.
设中位数为t,则有(t-70)×0.03=0.1,得t=,即所求的中位数为.
(2)由(1)可知,50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,用样本估计总体,可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6=1 200.
(3)由(1)可知,后三组中的人数分别为15,10,5,由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.
记成绩在[70,80)的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90)的2名学生分别为d,e,成绩在[90,100]的1名学生为f,则从中随机抽取3人的所有样本点为(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f),共20个,且这20个样本点发生的可能性是相等的.
其中成绩在[80,100]的学生没被抽到的样本点为(a,b,c),只有1个.
故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率为1-=.5.4统计与概率的应用
[学习目标]　1.能用随机模拟的方法进行估计.2.了解游戏、遗传性问题中的概率问题.3.利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题.
一、统计的应用
例1　某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到如下频数分布表:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水 (一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)
反思感悟　频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据,掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键.
跟踪训练1　某销售公司为了解员工的月工资水平,从1 000位员工中随机抽取了100位员工进行调查,得到如下的频率分布直方图:
(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资;
(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的,一般认为,工资低于4 500元的员工属于学徒阶段,没有营销经验,若进行营销将会失败;高于4 500元的员工属于成熟员工,进行营销将会成功.现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层,进行分层抽样,从中抽出5人,在这5人中任选2人进行营销活动.活动中,每位员工若营销成功,将为公司赚得3万元,否则公司将损失1万元.在此次活动中公司收入多少万元的可能性最大
二、概率的应用
例2　A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
反思感悟　(1)概率在决策问题中的应用
①由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小,概率是频率的近似值与稳定值,所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
②实际生活与生产中常用随机事件发生的概率来做出更有利的决策.
(2)利用频率与概率的关系求未知量的步骤
①抽出m个样本进行标记,设总体为未知量n,则标记概率为.
②随机抽取n1个个体,出现其中m1个被标记,则标记频率为.
③用频率近似等于概率,建立等式≈.
④求得n≈.
跟踪训练2　为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,如200只,给每只天鹅作上记号,不影响其存活,然后放回保护区.经过适当的时间,让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量为　　　　只.
三、统计与概率的综合应用
例3　某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制定了很多新的规章制度,新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查,调查问卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名学生的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙3人分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对新规章制度作深入学习.
(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(2)求第3,4,5组分别选取的人数.
(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深入学习,之后要再从这6人中随机选取2人全面考查他们对新规章制度的认知程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
反思感悟　概率与统计问题中的图表、数据包含着问题的基本信息,也往往暗示着解决问题的目标和方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征的规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.
跟踪训练3　某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估,为了解某学校师生对学校教学管理的满意度﹐分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干人进行评分(满分100分),绘制如下频率分布直方图(分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并将分数从低到高分为四个等级:
满意度评分 [40,60) [60,80) [80,90) [90,100]
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人.
(1)求表中a的值及不满意的人数;
(2)记A表示事件“满意度评分不低于80分”,估计A发生的概率;
(3)若师生的满意指数不低于0.8,则该校可获评“教学管理先进单位”.根据你所学的统计知识﹐判断该校是否能获评“教学管理先进单位”,并说明理由.
1.知识清单:
(1)统计的应用.
(2)概率的应用.
(3)统计与概率的综合应用.
2.方法归纳:数学建模.
3.常见误区:不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误.
1.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛,其中甲被选中的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
2.某省在校中学生近视率约为37.4%,某配镜商要到一中学给学生配镜,若已知该校学生总数为600,则该配镜商应带眼镜的数目为 (　　)
A.374副 B.224副
C.不少于225副 D.不多于225副
3.乘客在某电车站等候26路或16路电车,在该站停靠的有16,22,26,31四路电车,若各路电车先停靠的概率相等,则乘客等候的电车首先停靠的概率等于 (　　)
A. B.
C. D.
4.在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
答案精析
例1　解　(1)如图所示.
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
跟踪训练1　解　(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000+0.000 1×1 000×3 000+0.000 2×
1 000×4 000+0.000 3×1 000×5 000+0.000 2×1 000×6 000+0.000 1×1 000×7 000=4 700(元).
(2)抽取比为=,
从工资在[1 500,4 500)内的员工中抽出100×(0.1+0.1+0.2)×=2(人),设这两位员工分别为1,2;从工资在[4 500,7 500]内的员工中抽出100×(0.3+0.2+0.1)×=3(人),设这三位员工分别为A,B,C.
从中任选2人,共有以下10个样本点:(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C).
两人营销都成功,公司收入6万元,有以下3个样本点:(A,B),(A,C),(B,C),概率为;
其中一人营销成功,一人营销失败,公司收入2万元,有以下6个样本点:(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),概率为=;
两人营销都失败,公司损失2万元,有1个样本点:(1,2),概率为.
∵<<,
∴公司收入2万元的可能性最大.
例2　解　(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
用频率估计概率,
可得所求概率为=0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得所求各频率为
所用时 间(分钟) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
P(A1)>P(A2),
∴甲应选择L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),
∴乙应选择L2.
跟踪训练2　1 500
例3　解　(1)这100人的平均得分为
=5×
=87.25.
(2)第3组的人数为0.06×5×100=30(人);第4组的人数为0.04×5×100=20(人);第5组的人数为0.02×5×100=10(人),所以共有60人,用分层抽样在这三组中选取的人数分别为3,2,1.
(3)记其他3人为丁、戊、己,则所有选取的结果为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(甲,戊)、(甲,己)、(乙,丙)、(乙,丁)、(乙,戊)、(乙,己)、(丙,丁)、(丙,戊)、(丙,己)、(丁,戊)、(丁,己)、(戊,己),共15种情况,其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况,所以所求概率为P==.
跟踪训练3　解　(1)由频率分布直方图可知,
a=0.1-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036,
设不满意的人数为x,
则(0.002+0.004)∶(0.016+0.018)=x∶340,解得x=60,
故不满意的人数为60.
(2) “满意度评分不低于80分”的频率为(0.036+0.024)×10=0.6,
因此,事件A的概率估计值为0.6.
(3)师生的满意指数为
η=×(45×0.02+55×0.04+65×0.16+75×0.18+85×0.36+95×0.24)=0.804,
因为η≥0.8,
所以该校可获评“教学管理先进单位”.
随堂演练
1.B　2.C　3.A　4.C

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