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章末复习课
一、用样本的频率分布估计总体分布
1.(1)用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图.当样本只有两组数据且样本容量比较小时,用茎叶图刻画数据比较方便.
(2)样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括众数、中位数和平均数;另一类是反映样本数据波动大小的,包括方差及标准差.
2.掌握用样本的频率分布估计总体的频率分布,重点提升数据分析和数学运算素养.
例1　为了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率约是多少
解　(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的,
因此第二小组的频率为=0.08.
因为第二小组的频率=,
所以样本容量===150.
(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为×100%=88%.
反思感悟　总体分布中相应的统计图表主要包括频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.
跟踪训练1　从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛,成绩的分组及各组的频数如下(单位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图;
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例.
解　(1)频率分布表如下.
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40,50) 2 0.04 0.004
[50,60) 3 0.06 0.006
[60,70) 10 0.20 0.020
[70,80) 15 0.30 0.030
[80,90) 12 0.24 0.024
[90,100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00 0.100
(2)频率分布直方图和折线图如图所示.
(3)成绩在[60,90)分的学生比例约为
0.2+0.3+0.24=0.74=74%.
二、互斥事件与对立事件、相互独立事件的概率计算
1.互斥和对立、相互独立都是反映事件相互关系的重要概念.互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式是基本公式,必须学会正确运用.运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式可以解决复杂的概率问题.
2.使用互斥事件和对立事件、相互独立事件的概率公式求解问题,培养正难则反的思想,提高数学运算和逻辑推理的数学素养.
例2　设甲、乙、丙三台机器是否需要照看相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要照看的概率为0.05,甲、丙都需要照看的概率为0.1,乙、丙都需要照看的概率为0.125.
(1)分别求甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看的概率;
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照看的概率.
解　记甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看分别为事件A,B,C,则A,B,C两两相互独立.
(1)由题意得
P(AB)=P(A)P(B)=0.05,
P(AC)=P(A)P(C)=0.1,
P(BC)=P(B)P(C)=0.125,
∴P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5,
∴甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看的概率分别为0.2,0.25,0.5.
(2)∵A,B,C两两相互独立,
∴两两相互独立,
∴甲、乙、丙三台机器在这一小时内都不需要照看的概率为P()=P()P()P()=0.8×0.75×0.5=0.3,
∴这一小时内至少有一台机器需要照看的概率P=1-P()=1-0.3=0.7.
反思感悟　求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,若A与B互为对立事件,则利用公式P(A)=1-P(B)求解.
跟踪训练2　甲、乙、丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是,甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率是,且三人各自能否被聘用相互独立.
(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率;
(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求{ξ=3}的概率.
解　(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1,A2,A3,则A1,A2,A3相互独立,且满足
解得
所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为.
(2)P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P()=P(A1)P(A2)P(A3)+[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]=××+××=.
三、古典概型
1.古典概型的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m,再利用公式P(A)=求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来,在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
2.通过古典概型判断及运算,培养逻辑推理和数学运算素养.
例3　甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
解　甲校两名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,两名女教师分别用E,F表示.
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的样本空间为Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共包含9个样本点.
记事件M为“选出的2名教师性别相同”,
则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共包含4个样本点,
所以选出的2名教师性别相同的概率P(M)=.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的样本空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15个样本点.
记事件N为“从中选出的2名教师来自同一学校”则N={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含6个样本点.
所以选出的2名教师来自同一学校的概率P(N)==.
反思感悟　解决古典概型问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件总数和随机事件包含的基本事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
跟踪训练3　甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各随机出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若用A表示和为6的事件,求P(A);
(2)现连玩三次,若用B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件,为什么
(3)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
解　(1)基本事件个数与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应,
所以S中点的总数为5×5=25,
所以基本事件总数n=25.
事件A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共有5个,故P(A)==.
(2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生,
如甲赢一次,乙赢两次时,B,C同时发生.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,
所以甲赢的概率为,乙赢的概率为,两者不相等,
所以这种游戏规则不公平.
四、概率与统计的综合问题
1.概率与统计相结合,是新课程的一个亮点,其中所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大.
2.借助概率与统计的综合问题,培养数据分析、数学运算等素养.
例4　某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a,b),(a,),(a,b),(,b),(),(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(),(a,b),(a,),(,b),(a,b).其中a,分别表示甲组研发成功和失败;b,分别表示乙组研发成功和失败,两个研发小组是否研发成功相互独立.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
解　(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,
其平均数为==;
方差为=×=.
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,
其平均数为==;
方差为=×=.
因为><,
所以甲组的研发水平优于乙组.
(2)由(1)得甲研发成功的概率约为,乙研发成功的概率约为,记E={恰有一组研发成功}.
则P(E)≈×+×=.
反思感悟　(1)概率的应用问题是与统计紧密相联系的,因此要熟悉统计中的各种图表的应用,才能正确的解答概率应用问题.
(2)实际问题中的概率问题,要注意首先找出事件的和与事件的积,才能正确使用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式.
跟踪训练4　某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到数据统计如表和各年龄段人数的频率分布直方图:
组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100 0.5
第四组 [40,45) a 0.4
第五组 [45,50) 30 0.3
第六组 [50,55] 15 0.3
(1)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用按比例分配的分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.
解　(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高为=0.06.频率分布直方图如下:
第一组的人数为=200,频率为0.04×5=0.2,所以n==1 000.
由题可知,第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1 000×0.3=300,所以p==0.65.第四组的频率为0.03×5=0.15,所以第四组的人数为1 000×0.15=150,所以a=150×0.4=60.
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,所以采用按比例分配的分层抽样的方法抽取6人,在[40,45)岁的“低碳族”有4人,在[45,50)岁的“低碳族”有2人.
设[40,45)岁“低碳族”中抽的4人为a,b,c,d,[45,50)岁“低碳族”中抽的2人为m,n,则选取2人作为领队对应的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共包含15个样本点,其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8个样本点.
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为.章末复习课
一、用样本的频率分布估计总体分布
1.(1)用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图.当样本只有两组数据且样本容量比较小时,用茎叶图刻画数据比较方便.
(2)样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括众数、中位数和平均数;另一类是反映样本数据波动大小的,包括方差及标准差.
2.掌握用样本的频率分布估计总体的频率分布,重点提升数据分析和数学运算素养.
例1　为了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率约是多少
反思感悟　总体分布中相应的统计图表主要包括
频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.
跟踪训练1　从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛,成绩的分组及各组的频数如下(单位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图;
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例.
二、互斥事件与对立事件、相互独立事件的概率计算
1.互斥和对立、相互独立都是反映事件相互关系的重要概念.互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式是基本公式,必须学会正确运用.运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式可以解决复杂的概率问题.
2.使用互斥事件和对立事件、相互独立事件的概率公式求解问题,培养正难则反的思想,提高数学运算和逻辑推理的数学素养.
例2　设甲、乙、丙三台机器是否需要照看相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要照看的概率为0.05,甲、丙都需要照看的概率为0.1,乙、丙都需要照看的概率为0.125.
(1)分别求甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看的概率;
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照看的概率.
跟踪训练2　甲、乙、丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是,甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率是,且三人各自能否被聘用相互独立.
(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率;
(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求{ξ=3}的概率.
三、古典概型
1.古典概型的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m,再利用公式P(A)=求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来,在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
2.通过古典概型判断及运算,培养逻辑推理和数学运算素养.
例3　甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
反思感悟　解决古典概型问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件总数和随机事件包含的基本事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
跟踪训练3　甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各随机出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若用A表示和为6的事件,求P(A);
(2)现连玩三次,若用B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件,为什么
(3)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
四、概率与统计的综合问题
1.概率与统计相结合,是新课程的一个亮点,其中所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大.
2.借助概率与统计的综合问题,培养数据分析、数学运算等素养.
例4　某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a,b),(a,),(a,b),(,b),(),(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(),(a,b),(a,),(,b),(a,b).其中a,分别表示甲组研发成功和失败;b,分别表示乙组研发成功和失败,两个研发小组是否研发成功相互独立.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
反思感悟　(1)概率的应用问题是与统计紧密相联系的,因此要熟悉统计中的各种图表的应用,才能正确的解答概率应用问题.
(2)实际问题中的概率问题,要注意首先找出事件的和与事件的积,才能正确使用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式.
跟踪训练4　某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到数据统计如表和各年龄段人数的频率分布直方图:
组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100 0.5
第四组 [40,45) a 0.4
第五组 [45,50) 30 0.3
第六组 [50,55] 15 0.3
(1)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用按比例分配的分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.
答案精析
例1　解　(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的,
因此第二小组的频率为
=0.08.
因为第二小组的频率=,
所以样本容量===150.
(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为×100%=88%.
跟踪训练1　解　(1)频率分布表如下.
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40,50) 2 0.04 0.004
[50,60) 3 0.06 0.006
[60,70) 10 0.20 0.020
[70,80) 15 0.30 0.030
[80,90) 12 0.24 0.024
[90,100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00 0.100
(2)频率分布直方图和折线图如图所示.
(3)成绩在[60,90)分的学生比例约为
0.2+0.3+0.24=0.74=74%.
例2　解　记甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看分别为事件A,B,C,则A,B,C两两相互独立.
(1)由题意得
P(AB)=P(A)P(B)=0.05,
P(AC)=P(A)P(C)=0.1,
P(BC)=P(B)P(C)=0.125,
∴P(A)=0.2,P(B)=0.25,
P(C)=0.5,
∴甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看的概率分别为0.2,0.25,0.5.
(2)∵A,B,C两两相互独立,
∴两两相互独立,
∴甲、乙、丙三台机器在这一小时内都不需要照看的概率为P()=P()P()P()=0.8×0.75×0.5=0.3,
∴这一小时内至少有一台机器需要照看的概率
P=1-P()=1-0.3=0.7.
跟踪训练2　解　(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1,A2,A3,则A1,A2,A3相互独立,且满足
解得
所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为.
(2)P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P()=P(A1)P(A2)P(A3)+[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]=××+××=.
例3　解　甲校两名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,两名女教师分别用E,F表示.
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的样本空间为Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共包含9个样本点.
记事件M为“选出的2名教师性别相同”,
则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共包含4个样本点,
所以选出的2名教师性别相同的概率P(M)=.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的样本空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15个样本点.
记事件N为“从中选出的2名教师来自同一学校”则N={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含6个样本点.
所以选出的2名教师来自同一学校的概率P(N)==.
跟踪训练3　解　(1)基本事件个数与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应,
所以S中点的总数为5×5=25,
所以基本事件总数n=25.
事件A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共有5个,故P(A)==.
(2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生,
如甲赢一次,乙赢两次时,B,C同时发生.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,
所以甲赢的概率为,乙赢的概率为,两者不相等,
所以这种游戏规则不公平.
例4　解　(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,
其平均数为==;
方差为=×=.
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,
其平均数为==;
方差为=×=.
因为><,
所以甲组的研发水平优于乙组.
(2)由(1)得甲研发成功的概率约为,乙研发成功的概率约为,
记E={恰有一组研发成功}.
则P(E)≈×+×=.
跟踪训练4　解　(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高为=0.06.频率分布直方图如下:
第一组的人数为=200,频率为
0.04×5=0.2,所以n==1 000.
由题可知,第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1 000×0.3=300,所以p==0.65.第四组的频率为0.03×5=0.15,所以第四组的人数为1 000×0.15=150,所以a=150×0.4=60.
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,所以采用按比例分配的分层抽样的方法抽取6人,在[40,45)岁的“低碳族”有4人,在[45,50)岁的“低碳族”有2人.
设[40,45)岁“低碳族”中抽的4人为a,b,c,d,[45,50)岁“低碳族”中抽的2人为m,n,则选取2人作为领队对应的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共包含15个样本点,其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8个样本点.
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为.

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