资源简介

6.1.1　向量的概念
[学习目标]　1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义.2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置.3.了解平行向量和相等的向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.
导语　
向量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.在本章我们将探究如何用数学符号确切地描述向量,进一步探究向量的运算与应用.
一、位移与向量的概念及其表示
问题　如图,在图中分别用向量表示A地至B,C两地的位移.
提示　A地至B,C两地的位移可以用有向线段,表示.
知识梳理
1.定义
既有大小又有方向的量称为向量.
2.向量的长度
向量的大小也称为向量的模(或长度).
3.向量的表示法
(1)向量可以用有向线段来表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.
(2)始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为.除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如,,等来表示向量.
4.向量的有关概念
名称 定义 表示方法
零向量 始点和终点相同的向量 0
单位向量 模等于1的向量
注意点:
(1)书写向量时要带箭头.
(2)有向线段是表示向量的一种方法,是向量的直观表示,但二者不能划等号.从定义上看,向量有大小和方向两要素,而有向线段有起点、方向、长度三要素,因此这是两个不同的量.
(3)向量不能比较大小,向量的模可以比较大小.
(4)0与0不同.0表示数量,但0表示零向量,其中|0|=0.
例1　(1)(多选)下列说法错误的是 (　　)
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
答案　ABC
解析　A项,向量不能比较大小,不正确;
B项,同向的向量也不能比较大小,不正确;
C项,向量的大小即向量的模,指的是向量的长度,与方向无关,不正确;D项,向量的模是一个数量,可以比较大小,正确.
(2)(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.长度为2 024 cm的有向线段不可能表示单位向量
B.零向量的长度为0
C.零向量的方向是任意的
D.向量的模是一个非负实数
答案　BCD
解析　当一个单位长度取2 024 cm时,2 024 cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A错误;由零向量的定义知,零向量的长度为0,方向是任意的,故BC正确;由向量的模的定义可知,D正确.
反思感悟　解决与向量概念有关问题的方法
(1)向量是既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小,但向量的模(长度)是一个数量,可以比较大小.
(2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:单位向量的核心是长度都是1个单位长度,零向量的核心是长度是0,方向是任意的.
跟踪训练1　(1)下列说法正确的是 (　　)
A.身高是一个向量
B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量
C.温度含零上和零下温度,所以温度是向量
D.物理学中的摩擦力、重力都是向量
答案　D
解析　A中的身高,C中的温度都是数量,不是向量,故AC错误;B中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向,但没有长度,也不是向量,故B错误;D中的物理学中的摩擦力、重力都既有大小,又有方向,是向量.
(2)(多选)下列命题正确的是 (　　)
A.若向量a=,b=,则|a|=|b|
B.若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反
C.若向量是单位向量,则也是单位向量
D.在Rt△ABC中,∠A=90°,若该三角形的外接圆的半径长为,则为单位向量
答案　ACD
解析　由于|a|=||=AB,|b|=||=BA=AB,因此有|a|=|b|,故A正确;
由单位向量的定义知,长度为1个单位长度的向量均称为单位向量,但是对方向没有任何要求,故B不正确;
因为||=||,所以当是单位向量时,也是单位向量,故C正确;
由于Rt△ABC的斜边BC是外接圆的直径,所以||=1,故D正确.
二、向量的简单应用
例2　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°;
(2),使||=4,点B在点A正东方向;
(3),使||=6,点C在点B北偏东30°.
解　(1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°处,且||=6,依据勾股定理可得在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示.
反思感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2　某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求的模.
解　(1)作出向量,,,如图所示.
(2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米),所以||=5米.
三、向量的相等与平行
知识梳理
平行向量 (共线向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行;两个向量a和b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量平行
相等的向量 一般地,把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量;向量a和b相等,记作a=b
注意点:
向量平行与直线平行的区别.
例3　(1)(多选)下列命题为真命题的是 (　　)
A.两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等
B.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上
C.在菱形ABCD中,一定有=
D.a=b,b=c,则a=c
答案　BCD
解析　两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故A不正确;单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故B正确;C,D显然正确.
(2)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.
①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些
②与a共线的向量有哪些
③请一一列出与a,b,c相等的向量.
解　①与a的长度相等、方向相反的向量有,,,.
②与a共线的向量有,,,,,,,,.
③与a相等的向量有,,;与b相等的向量有,,;与c相等的向量有,,.
反思感悟　寻找共线向量或相等的向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)寻找相等的向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
跟踪训练3　如图所示,四边形ABCD与ABDE是平行四边形.
①找出与向量共线的向量;
②找出与向量相等的向量.
解　①依据图形可知,,与方向相同,,,,与方向相反,所以与向量共线的向量为,,,,,,.
②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形,知,与长度相等且方向相同,所以与向量相等的向量为和.
1.知识清单:
(1)向量的概念的辨析.
(2)向量的表示方法.
(3)向量的相等与平行.
2.方法归纳:定义法、数形结合法.
3.常见误区:0的特殊性.共线向量不一定在一条直线上.
1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案　D
解析　一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.
2.(多选)在下列四个命题中,正确的是 (　　)
A.单位向量都共线
B.长度相等的向量都相等
C.共线的单位向量不一定相等
D.任意向量与零向量都共线
答案　CD
解析　对于A,单位向量长度都相等,但不一定都共线,A错误;
对于B,长度相等的向量,方向不一定相同,故长度相等的向量不一定相等,B错误;
对于C,共线的单位向量方向可能相反,C正确;
对于D,任意向量与零向量都共线,D正确.
3.如图,点A,B,C是以O为圆心的圆周上的三等分点,则向量,,是 (　　)
A.方向相同的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
答案　C
解析　由题图可知,三个向量,,方向均不同,也没任何两个向量方向相反,所以它们不共线,由于它们到点O的距离相等,所以模相等.
4.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=　　　.
答案　
解析　因为正方形的对角线长为2,所以||=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共30分
1.(多选)给出下列命题,其中正确的命题为 (　　)
A.若a=b,则|a|=|b|
B.若=,则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点
C.若一个向量的方向是任意的,则这个向量的模为0
D.若0∥a,0∥b,则a∥b
答案　AC
解析　对于A,a=b说明两向量大小相等,方向相同,故此命题正确;对于B,由=,可得||=||且∥,由于∥,A,B,C,D可能在同一条直线上,故此命题不正确;C正确;对于D,0与任意向量平行,故此命题不正确.
2.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题中正确的是 (　　)
A.汽车的速度大于摩托车的速度
B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程
D.以上都不对
答案　C
解析　向量不能比较大小.
3.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是 (　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
答案　B
解析　向量相等要求模相等,方向相同,因此与都是和相等的向量.
4.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为 (　　)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
答案　C
解析　由=,知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.
5.下列说法正确的是 (　　)
A.向量与向量是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,aC.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D.若两个非零向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合
答案　D
解析　对于A,向量与向量是方向相反的向量,所以A错误;对于B,因为向量是有方向和大小的量,所以两个向量不能比较大小,所以B错误;对于C,当两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线平行或共线,所以C错误;对于D,由共线向量的定义可知,当两个向量是共线向量时,向量所在的直线可以平行,也可以重合,所以D正确.
6.(多选)给出下列四个条件,其中能使a∥b成立的条件是 (　　)
A.a=b B.|a|=|b|
C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0
答案　ACD
解析　A中若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;B中若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;C中方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;D中零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
7.(5分)设O为正六边形ABCDEF的中心,在如图所示标出的向量中,与共线的向量有　　　　.
答案　,
解析　根据正六边形的性质,FE∥AO∥BC且共线向量可以同向也可以异向,故图中与共线的向量为,.
8.(5分)已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=　　　　.
答案　2
解析　由题意知AC⊥BD,且∠ABD=30°,
设AC与BD的交点为O,
∴在Rt△ABO中,||=||·cos 30°=2×=,
∴||=2||=2.
9.(10分)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向北偏西40°的方向走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量,,;(5分)
(2)求||.(5分)
解　(1)向量,,如图所示.
(2)由题意,可知与方向相反,
故与共线,
∵||=||,
∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴=,∴||=||=200(km).
10.(10分)如图所示,已知在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又=且=,求证:=.
证明　因为=,
所以||=||且AB∥DC,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以||=||且DA∥CB.
又因为与的方向相同,所以=.
同理可证,四边形CNAM是平行四边形,
所以=.
因为||=||,||=||,
所以||=||.
又与的方向相同,所以=.
11.(多选)下列结论中,正确的是 (　　)
A.若e1,e2是单位向量,则|e1|=|e2|
B.若O是直线l上的一点,单位长度选定,则l上有且只有两点A,B,使得,是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D.一个人从点A向东走500米到达点B,则向量不可能表示这个人从点A到点B的位移
答案　AB
解析　所有的单位向量的模相等,故A正确;B显然正确;方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行向量,故C错误;位移既有大小又有方向,可以用向量表示,故D错误.
12.(多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 (　　)
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
答案　ABC
解析　与相等的向量只有,故A说法正确;在菱形ABCD中,AC=AB=BC=CD=DA,每一条线段可得方向相反的两个向量,它们的模都相等,故有5×2-1=9(个),故B说法正确;计算得DO=DA,所以BD=DA,即||=||,故C说法正确;由AD∥BC知与共线,故D说法错误.
13.(多选)在下列结论中,正确的有 (　　)
A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
C.a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
答案　ACD
解析　若a=b,则a与b方向相同,模相等,所以A,C,D正确,B错误.
14.(5分)如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则在图中标出的向量中,与向量相等的向量为　　　　;与向量共线的向量为　　　　;与向量的模相等的向量为　　　　.(填图中所画出的向量)
答案　　,　,,,,
解析　∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形,∴与相等的向量为;与共线的向量为,;与的模相等的向量为,,,,.
15.(5分)已知四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有9个小正方形,16个顶点,从中选取两个点作为向量的起点和终点,则与平行且长度为2的向量有　　　　个,与向量同向且长度为2的向量有　　　　个.
答案　8　4
解析　如图所示,满足与平行且长度为2的向量有,,,,,,,,共8个,与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半,共4个.
16.(10分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且 ||=.
(1)画出所有的向量;(4分)
(2)求||的最大值与最小值.(6分)
解　(1)画出所有的向量,如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,
||取得最小值=;
②当点C位于点C5或C6时,
||取得最大值=.
所以||的最大值为,最小值为.6.1.1　向量的概念
[学习目标]　1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义.2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置.3.了解平行向量和相等的向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.
一、位移与向量的概念及其表示
问题　如图,在图中分别用向量表示A地至B,C两地的位移.
知识梳理
1.定义
既有　　　　又有　　　　的量称为向量.
2.向量的长度
向量的大小也称为向量的　　　　(或长度).
3.向量的表示法
(1)向量可以用有向线段来表示,其中有向线段的长度表示向量的　　　　,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.
(2)始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为.除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如等来表示向量.
4.向量的有关概念
名称 定义 表示方法
零向量 始点和终点相同的向量 0
单位向量 模等于1的向量
例1　(1)(多选)下列说法错误的是 (　　)
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
(2)(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.长度为2 024 cm的有向线段不可能表示单位向量
B.零向量的长度为0
C.零向量的方向是任意的
D.向量的模是一个非负实数
反思感悟　解决与向量概念有关问题的方法
(1)向量是既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小,但向量的模(长度)是一个数量,可以比较大小.
(2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:单位向量的核心是长度都是1个单位长度,零向量的核心是长度是0,方向是任意的.
跟踪训练1　(1)下列说法正确的是 (　　)
A.身高是一个向量
B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量
C.温度含零上和零下温度,所以温度是向量
D.物理学中的摩擦力、重力都是向量
(2)(多选)下列命题正确的是 (　　)
A.若向量a=,b=,则|a|=|b|
B.若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反
C.若向量是单位向量,则也是单位向量
D.在Rt△ABC中,∠A=90°,若该三角形的外接圆的半径长为,则为单位向量
二、向量的简单应用
例2　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°;
(2),使||=4,点B在点A正东方向;
(3),使||=6,点C在点B北偏东30°.
反思感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2　某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量;
(2)求的模.
三、向量的相等与平行
知识梳理
平行向量 (共线向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行;两个向量a和b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量　　　
相等的向量 一般地,把大小　　　　、方向　　　　的向量称为相等的向量;向量a和b相等,记作a=b
例3　(1)(多选)下列命题为真命题的是 (　　)
A.两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等
B.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上
C.在菱形ABCD中,一定有=
D.a=b,b=c,则a=c
(2)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.
①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些
②与a共线的向量有哪些
③请一一列出与a,b,c相等的向量.
反思感悟　寻找共线向量或相等的向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)寻找相等的向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
跟踪训练3　如图所示,四边形ABCD与ABDE是平行四边形.
①找出与向量共线的向量;
②找出与向量相等的向量.
1.知识清单:
(1)向量的概念的辨析.
(2)向量的表示方法.
(3)向量的相等与平行.
2.方法归纳:定义法、数形结合法.
3.常见误区:0的特殊性.共线向量不一定在一条直线上.
1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.(多选)在下列四个命题中,正确的是 (　　)
A.单位向量都共线
B.长度相等的向量都相等
C.共线的单位向量不一定相等
D.任意向量与零向量都共线
3.如图,点A,B,C是以O为圆心的圆周上的三等分点,则向量是 (　　)
A.方向相同的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
4.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=　　　　　.
答案精析
问题　A地至B，C两地的位移可以用有向线段，表示．
知识梳理
1．大小　方向　2.模　3.(1)大小
例1　(1)ABC　(2)BCD
跟踪训练1　(1)D　(2)ACD
例2　解　(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
跟踪训练2　解　(1)作出向量，，，如图所示．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，
所以||＝5米．
知识梳理
平行　相等　相同
例3　(1)BCD
(2)解　①与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
②与a共线的向量有，，，，，，，，.
③与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
跟踪训练3　解　①依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
随堂演练
1．D　2.CD　3.C　4.

展开更多......

收起↑