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6.1.2　向量的加法
[学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性.
导语　
我们知道,实数可以进行运算,如1+2=3,2×3=6,正是有了运算,数字才有了无穷的威力,在运算中,我们还有加法交换律和结合律,乘法交换律、分配律和结合律,那么向量是否也能像数一样进行运算呢 它的运算规则又是怎样的呢 是不是也有相应的运算律 今天我们就从向量的加法开始,来研究向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用.
一、向量加法的三角形法则
问题1　某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示
提示　这个质点两次位移,的结果,与从点A直接到点C的位移的结果相同,因此位移可以看成是位移与合成的,即可以算作是与的和.
问题2　请结合课本例1,探索一下|a+b|与|a|,|b|之间的关系
提示　(1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b方向不同,且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
知识梳理
1.一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作a+b,因此+=.当a与b不共线时,求它们的和可用图表示,此时a,b,a+b正好能构成一个三角形,所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.
2.对任意向量a,有a+0=0+a=a.
3.向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
注意点:
运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,连首尾”.
例1　(1)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,点F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):
①+=　　　　　;
②+=　　　　　.
答案　①　②
解析　如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知
+=+=,
+=+=.
(2)设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　,　　　　.
答案　20　4
解析　当a,b共线且同向时,
|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,
当a,b共线且反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.
当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20,
综上可知,4≤|a+b|≤20,所以最大值为20,最小值为4.
反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接,即++……+=.
跟踪训练1　(1)如图所示,
①a+b=　　　　;
②c+d=　　　　;
③a+b+d=　　　　;
④c+d+e=　　　　.
答案　①c　②f　③f　④g
(2)若a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 (　　)
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是方向相反的向量
C.a=-b
D.a,b无论什么关系均可
答案　A
解析　由向量加法的几何意义可知,若a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则有a∥b,且a与b方向相同,A正确;若a,b是方向相反的向量,则|a+b|=||a|-|b||,B错误;若a=-b,则a+b=0,|a+b|=0,C错误;若a,b为任意非零向量,有|a+b|≤|a|+|b|,D错误.
二、向量加法的平行四边形法则
问题3　图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向伸长了EO;图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下,沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析,力F与F1,F2之间的关系如何 你能从这个问题出发,给出求解向量之和的另一种方法吗
提示　F=F1+F2;平行四边形法则.
知识梳理
1.平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,因为=,所以=+=+,这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.
2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.
3.向量的加法运算满足交换律,即对于任意的向量a,b,都有a+b=b+a.
注意点:
运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同.
例2　(1)如图①所示,求作向量a+b;
(2)如图②所示,求作向量a+b+c.
图①　　　　　　图②
解　(1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图③所示.
图③
(2)方法一　(三角形法则)如图④所示,
首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求.
图④　　　　　　 　　　　图⑤
方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示,
首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,
以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,
则=+=a+b.
再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,
则=+=a+b+c即为所求.
反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形 法则 (1)首尾相接; (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边 形法则 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和
跟踪训练2　如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量.
(1)+=　　　　　;
(2)+=　　　　　;
(3)+=　　　　　.
答案　(1)　(2)　(3)0
解析　(1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,故+=.
(2)因为=,故+与方向相同,长度为的长度的2倍,
故+=.
(3)因为=,故+=+=0.
三、多个向量相加
问题4　我们知道实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法也满足交换律,是否也满足结合律呢 你能证明自己的猜想吗
提示　如图,不难证明满足结合律.
知识梳理
加法结合律(a+b)+c=a+(b+c).
例3　化简:
(1)+;
(2)++;
(3)++++.
解　(1)+=+=.
(2)++=++
=(+)+=+=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则:通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
跟踪训练3　++++等于 (　　)
A. B.0
C. D.
答案　B
解析　++++
=+
=0+0=0.
1.知识清单:
(1)向量加法的三角形法则.
(2)向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接,平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
1.化简++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据平面向量的加法运算,得++=(+)+=+=.
2.正方形ABCD的边长为1,则|+|为 (　　)
A.1 B. C.3 D.2
答案　B
解析　在正方形ABCD中,AB=1,易知AC=,所以|+|=||=AC=.
3.(多选)下列等式不正确的是 (　　)
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|=|a|+|b|
答案　BD
解析　B错误,+=0;D错误,当a,b方向相同时成立,故选BD.
4.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　+++=+++=++=+=.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共18分
1.++++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.
2.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示 (　　)
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+)km
答案　B
解析　如图,易知tan α=,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2 km,故选B.
3.如图,在正六边形ABCDEF中,++等于 (　　)
A.0 B.
C. D.
答案　D
解析　++=++=+=.
4.在如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　利用平行四边形法则作出向量+(图略),平移即可发现+=.
5.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是 (　　)
A.正三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案　D
解析　由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以△ABC为等腰直角三角形.
6.(多选)在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式成立的是 (　　)
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.|a+b|=|c|
答案　ABD
解析　由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故|a+b|=|c|也成立;由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立,b+d=a不成立.
7.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.则
(1)++=　　　　;
(2)++=　　　　.
答案　(1)　(2)0
8.(5分)在边长为1的等边三角形ABC中,|+|=　　,|+|=　　　　.
答案　1　
解析　易知|+|=||=1,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则|+|=||=2||×
sin 60°=2×1×=.
9.(10分)如图所示,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列各式:
(1)++;(3分)
(2)++;(3分)
(3)++.(4分)
解　(1)++=+=.
(2)++=(+)+=+=.
(3)++=++=+=.
10.(11分)某人在静水中游泳,速度大小为4 千米/时,他在水流速度大小为4千米/时的河中游泳.若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进 实际前进的速度大小为多少
解　如图,设此人游泳的速度为,水流的速度为,以,为邻边作 OACB,则此人的实际速度为+=.
由勾股定理知||=8,且在Rt△ACO中,∠COA=60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/时.
11.(多选)下列说法错误的有 (　　)
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同
B.若向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同
C.若++=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|-|b|
答案　ACD
解析　A错,若a+b=0,则a+b的方向是任意的;B正确,若a和b方向相同,则它们的和向量的方向应该与a(或b)的方向相同,若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和向量的方向与a的方向相同;C错误,当A,B,C三点共线时,也满足++=0;D错,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
12.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是 (　　)
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
答案　D
解析　+=,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.
13.(多选)设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为 (　　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
答案　AC
解析　由条件得,a=(+)+(+)=+++=0,所以选项中a与b的关系,即0与b的关系,易知A,C正确.
14.(5分)已知点G是△ABC的重心,则++=　　　.
答案　0
解析　如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,
则+=,+=0,
∴++=0.
15.(5分)设|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值为　　　.
答案　3
解析　在平面内任取一点O,作=a,=e,则a+e=+=,
因为e为单位向量,
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知当点B在点B1的位置时,O,A,B1三点共线,||即|a+e|最大,最大值是3.
16.(11分)如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点,求证:++=0.
证明　由题意知,=+,
=+,=+.
由平面几何知识可知,=,=,
所以++
=(+)+(+)+(+)
=(+++)+(+)
=(+++)+0
=++=++=0.6.1.2　向量的加法
[学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性.
一、向量加法的三角形法则
问题1　某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示
问题2　请结合课本例1,探索一下|a+b|与|a|,|b|之间的关系
知识梳理
1.一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作　　　　,因此+=.当a与b不共线时,求它们的和可用图表示,此时a,b,a+b正好能构成一个三角形,所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的　　　　　　.
2.对任意向量a,有a+0=　　　　　　=a.
3.向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
例1　(1)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,点F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):
①+=　　　　　;
②+=　　　　　.
(2)设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　,　　　　.
反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接,即++……+=.
跟踪训练1　(1)如图所示,
①a+b=　　　　;
②c+d=　　　　;
③a+b+d=　　　　;
④c+d+e=　　　　.
(2)若a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 (　　)
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是方向相反的向量
C.a=-b
D.a,b无论什么关系均可
二、向量加法的平行四边形法则
问题3　图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向伸长了EO;图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下,沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析,力F与F1,F2之间的关系如何 你能从这个问题出发,给出求解向量之和的另一种方法吗
知识梳理
1.平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,因为=,所以=+=+,这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.
2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.
3.向量的加法运算满足交换律,即对于任意的向量a,b,都有a+b=　　　　　.
例2　(1)如图①所示,求作向量a+b;
(2)如图②所示,求作向量a+b+c.
图①　　　　　　图②
反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接; (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和
跟踪训练2　如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量.
(1)+=　　　　　;
(2)+=　　　　　;
(3)+=　　　　　.
三、多个向量相加
问题4　我们知道实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法也满足交换律,是否也满足结合律呢 你能证明自己的猜想吗
知识梳理
加法结合律　　　　　　=a+(b+c).
例3　化简:
(1)+;
(2)++;
(3)++++.
反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则:通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
跟踪训练3　++++等于 (　　)
A. B.0
C. D.
1.知识清单:
(1)向量加法的三角形法则.
(2)向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接,平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
1.化简++等于 (　　)
A. B.
C. D.
2.正方形ABCD的边长为1,则|+|为 (　　)
A.1 B.
C.3 D.2
3.(多选)下列等式不正确的是 (　　)
A.a+(b+c)=(a+c)+b
B.+=0
C.=++
D.|a+b|=|a|+|b|
4.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案精析
问题1　这个质点两次位移，的结果，
与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和．
问题2　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，
且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
知识梳理
1．a＋b　三角形法则　2.0＋a
例1　(1)①　②　(2)20　4
跟踪训练1　(1)①c　②f　③f
④g　(2)A
问题3　F＝F1＋F2；平行四边形法则．
知识梳理
3．b＋a
例2　解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示．
图③
(2)方法一　(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
　　
图④　　 　　　　图⑤
方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
跟踪训练2　(1)　(2)　(3)0
问题4　如图，不难证明满足结合律．
知识梳理
(a＋b)＋c
例3　解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0．
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0．
跟踪训练3　B
随堂演练
1．C　2.B　3.BD　4.B

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