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6.1.3　向量的减法
[学习目标]　1.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义.2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.
导语　
上节课我们学习了向量的加法运算,掌握了进行加法运算的三角形法则和平行四边形法则,通过上节课的练习,绝大部分同学都掌握的不错.那么向量有没有减法运算呢 如何进行向量的减法运算呢 今天我们一起来学习一下!
一、向量减法的三角形法则
问题1　在初中,我们学过相反数,课本上是怎么给它定义的 互为相反数的两个数有什么性质 结合定义和性质,我们能否给出“相反向量”的定义
提示　只有符号不同的两个数叫做相反数,互为相反数的两个数的绝对值相等.由于向量既有大小,又有方向,所以我们可以从这两个角度,类比相反数的定义和性质,给出如下相反向量的定义,长度相等但方向相反的两个向量称作相反向量.
问题2　在数的运算中,减法是求两个实数的差的运算,与加法是互逆运算,其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”,类比上面的这段话,把其中的“数”变为“向量”,上面这段话变成什么了
提示　类比上面的这段话,我们可以得到:在向量的运算中,减法是求两个向量的差的运算,与加法是互逆运算,其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”.
问题3　如果已知=a,=b,请利用向量减法与加法的转化规则,用作图的方法得到a-b.
提示　如图,作=-b,由向量减法与加法的转化规则可知a-b=a+(-b)=+,以和为邻边作平行四边形OACD,则+=,且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义,在四边形OCAB中,AC与OB平行且相等,所以四边形OCAB是平行四边形,所以==a-b.
知识梳理
1.向量减法
定义 一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,记作x=a-b
向量减法 的三角形 法则 在平面内任取一点O,作=a,=b,作出向量,注意到+=,因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量),即-=
结论 ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
2.相反向量
定义 给定一个向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量.向量a的相反向量记作-a
性质 (1)零向量的始点与终点相同,所以-0=0; (2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,则a=-b,b=-a
3.向量减法的三角形法则
当a与b不共线时,求a-b的差可用图表示,此时向量a,b,a-b正好能构成一个三角形,因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.
注意点:
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就可以把减法转化为加法,即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+(-b).
(2)注意向量加、减运算三角形法则的区别.
(3)以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量为=a+b,=b-a,=a-b,这一结论应用非常广泛,应该加强理解并记牢.
例1　如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
解　方法一　如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
方法二　如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b).
(2)可以直接用向量减法的几何意义,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
跟踪训练1　如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:
①b+c-a;
②a-b-c.
解　①如图1所示,以,为邻边作 OBDC,连接OD,AD,则=+=b+c,
所以b+c-a=-=.
②由①知,=b+c,如图2所示,
则a-b-c=-=.
图1　　　　 　图2
二、向量加减的混合运算
例2　(1)化简:①+--;
②(++)-(--).
解　①+--=(-)+(-)=+=.
②(++)-(--)
=+-+
=+++
=+=0.
(2)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为 (　　)
A.0 B. C. D.
答案　A
解析　+--=(-)+(-)=+=0.
反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
跟踪训练2　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有 (　　)
A.+ B.-
C.- D.-
答案　AD
(2)化简下列各式:
①-+-;
②(-)+(-).
解　①-+-=+-=-=.
②(-)+(-)=+++=+(++)=+0=.
三、用已知向量表示其他向量
例3　如图,解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
解　由图可知,=a,=b,=c,=d,=e,则
(1)=++=d+e+a.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b.
(4)=-=-(+)=-c-d.
反思感悟　用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形特征,把未知向量放在三角形或平行四边形中.
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.
(3)当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练3　如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及.
解　∵四边形ACDE是平行四边形,
∴==c,
=-=b-a,
=-=c-a,
=-=c-b,
∴=+=b-a+c.
四、向量减法的综合问题
例4　(1)O是四边形ABCD所在平面内任一点,且∥,|-|=|-|,则四边形ABCD一定是 (　　)
A.菱形 B.任意四边形
C.矩形 D.平行四边形
答案　D
解析　由|-|=|-|知||=||,又∥,故四边形ABCD是平行四边形.
(2) 已知||=8,||=5,求||的取值范围.
解　因为=-,||=8,||=5,
|||-|||≤|-|≤||+||,
所以3≤||≤13,
当与同向时,||=3,
当与反向时,||=13,
所以||的取值范围是[3,13].
反思感悟　(1)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
(2)涉及向量a,b的模与a-b,a+b的模之间的关系时,可利用|a|,|b|,|a+b|,|a-b|的几何意义画出图形,数形结合求解所求的模.
(3)应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题,要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
跟踪训练4　如图,在四边形ABCD中,||=||=||,且=-,则∠ABC=　　　　.
答案　120°
解析　由向量的减法的几何意义可知,-=,因为=-,所以=,
所以四边形ABCD是平行四边形,
又因为||=||=||,
所以四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°.
1.知识清单:
(1)向量减法的三角形法则.
(2)向量减法的运算及几何意义.
(3)向量减法的综合应用.
2.方法归纳:数形结合法、转化法.
3.常见误区:
(1)忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算.
(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件.
1.在△ABC中,若=a,=b,则等于 (　　)
A.a B.a+b C.b-a D.a-b
答案　D
解析　=-=a-b.
2.化简-++等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　原式=(+)+(+)=+0=.
3.(多选)若非零向量m与n是相反向量,则下列正确的是 (　　)
A.m=n B.m=-n
C.|m|=|n| D.m与n方向相反
答案　BCD
解析　相反向量的大小相等、方向相反,故A错误.
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|的长度为　　　　.
答案　2
解析　|-+|=|++|=||=2.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,则-+等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　-+=++=+0=.
2.如图,在四边形ABCD中,若=a,=b,=c,则等于 (　　)
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
答案　A
解析　
=a+c-b.
3.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则必有 (　　)
A.=0
B.=0或=0
C.四边形ABCD为矩形
D.四边形ABCD为正方形
答案　C
解析　因为+=,-=,所以||=||,所以平行四边形ABCD为矩形.
4.下列各式不能化简为的是 (　　)
A.+(+) B.++-
C.-+ D.+-
答案　D
解析　对于A,+(+)=++=;
对于B,++-=+++=;
对于C,-+=++=;
对于D,因为+=,+=,
所以≠+-=-.
5.(多选)已知向量a与b反向,则下列等式中成立的是 (　　)
A.||a|-|b||=|a+b|
B.|a+b|=|a-b|
C.|a|+|b|=|a-b|
D.|a|+|b|=|a+b|
答案　AC
解析　因为向量a与b反向,则有||a|-|b||=|a+b|,故A正确,B错误;|a|+|b|=|a-b|,故C正确,D错误.
6.在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为 (　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　D
解析　如图,作菱形ABCD,
则|-|=|-|
=||=.
7.(5分)化简:(1)+-=　　　　;
(2)---=　　　　.
答案　(1)0　(2)
解析　(1)+-=+=0;
(2)---=(-)-(+)=-0=.
8.(5分)在矩形ABCD中,||=2,||=4,则|+-|=　　　,|++|=　　　.
答案　4　8
解析　在矩形ABCD中,
因为+-=++=+,
所以|+-|=2||=4.
因为++=++=+,
所以|++|=8.
9.(10分)如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
解　方法一　=+=a+
=a+(-)=a+c-b.
方法二　=+++
=++(+)=++0
=+(+)=a+(-b+c)=a-b+c.
10.(12分)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.
解　设=a,=b,
则||=|a-b|.
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB(图略),
则||=|a+b|.
∵(+1)2+(-1)2=42,
∴||2+||2=||2,
∴OA⊥OB.∴平行四边形OACB是矩形.
∵矩形的对角线相等,∴||=||=4,
即|a+b|=4.
11.在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是 (　　)
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
答案　B
解析　因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,
因为|-|=|-|,所以||=||.所以四边形ABCD为矩形.
12.下列各式正确的是 (　　)
A.--=
B.-++=
C.-+=0
D.--+=0
答案　B
解析　--=-≠,-++=+++=,-+=++=+,--+=+++=+.
13.(5分)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则--++=　　　　.
答案　
解析　--++=(-)-(-)+=-+=.
14.(5分)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,|+|=|-|,则||=　　　　.
答案　2
解析　以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,
由向量加减法的几何意义可知,
=+,=-,
∵|+|=|-|,
∴||=||,
又||=4,M是线段BC的中点,
∴||=2.
15.下列不等式或等式中,一定成立的是 (　　)
A.||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
B.|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|
C.|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|
D.|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|
答案　A
解析　A显然成立;对于B,当a=b=0或b=0,a≠0时成立;对于C,当a与b共线,方向相反,且|a|≥|b|时成立;对于D,当a与b共线,方向相同,且|a|>|b|时成立.
16.(12分)如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,求:
(1)|a+b+c|;(6分)
(2)|a-b+c|.(6分)
解　(1)由已知得a+b=+=,
∵=c,∴延长AC到点E,使||=||,
如图所示,
则a+b+c=,且||=2.
∴|a+b+c|=2.
(2)作=,连接CF,BD,则+=,
而=-=-=a-b,
∴|a-b+c|=|+|=||,且||=2.
∴|a-b+c|=2.6.1.3　向量的减法
[学习目标]　1.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义.2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.
一、向量减法的三角形法则
问题1　在初中,我们学过相反数,课本上是怎么给它定义的 互为相反数的两个数有什么性质 结合定义和性质,我们能否给出“相反向量”的定义
问题2　在数的运算中,减法是求两个实数的差的运算,与加法是互逆运算,其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”,类比上面的这段话,把其中的“数”变为“向量”,上面这段话变成什么了
问题3　如果已知=a,=b,请利用向量减法与加法的转化规则,用作图的方法得到a-b.
知识梳理
1.向量减法
定义 一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,记作x=　　　　
向量减法 的三角形 法则 在平面内任取一点O,作=a,=b,作出向量,注意到+=,因此向量就是向量a与b的　　　　(也称为向量a与b的差向量),即-=
结论 　　　　　≤|a-b|≤　　　　　
2.相反向量
定义 给定一个向量,我们把与这个向量方向　　　　　、大小　　　　　的向量称为它的相反向量.向量a的相反向量记作　　　　
性质 (1)零向量的始点与终点　　　　,所以-0=0; (2)互为相反向量的两个向量的和为　　　　,即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,则a=　　　　,b=　　　　
3.向量减法的三角形法则
当a与b不共线时,求a-b的差可用图表示,此时向量a,b,a-b正好能构成一个三角形,因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.
例1　如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b).
(2)可以直接用向量减法的几何意义,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
跟踪训练1　如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:
①b+c-a;
②a-b-c.
二、向量加减的混合运算
例2　(1)化简:①+--;
②(++)-(--).
(2)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为 (　　)
A.0 B.
C. D.
反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
跟踪训练2　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有 (　　)
A.+ B.-
C.- D.-
(2)化简下列各式:
①-+-;
②(-)+(-).
三、用已知向量表示其他向量
例3　如图,解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
反思感悟　用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形特征,把未知向量放在三角形或平行四边形中.
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.
(3)当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练3　如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量及.
四、向量减法的综合问题
例4　(1)O是四边形ABCD所在平面内任一点,且∥,|-|=|-|,则四边形ABCD一定是 (　　)
A.菱形 B.任意四边形
C.矩形 D.平行四边形
(2)已知||=8,||=5,求||的取值范围.
反思感悟　(1)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
(2)涉及向量a,b的模与a-b,a+b的模之间的关系时,可利用|a|,|b|,|a+b|,|a-b|的几何意义画出图形,数形结合求解所求的模.
(3)应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题,要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
跟踪训练4　如图,在四边形ABCD中,||=||=||,且=-,则∠ABC=　　　　.
1.知识清单:
(1)向量减法的三角形法则.
(2)向量减法的运算及几何意义.
(3)向量减法的综合应用.
2.方法归纳:数形结合法、转化法.
3.常见误区:
(1)忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算.
(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件.
1.在△ABC中,若=a,=b,则等于 (　　)
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2.化简-++等于 (　　)
A. B.
C. D.
3.(多选)若非零向量m与n是相反向量,则下列正确的是 (　　)
A.m=n B.m=-n
C.|m|=|n| D.m与n方向相反
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|的长度为　　　　.
答案精析
问题1　只有符号不同的两个数叫做相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等．由于向量既有大小，又有方向，所以我们可以从这两个角度，类比相反数的定义和性质，给出如下相反向量的定义，长度相等但方向相反的两个向量称作相反向量．
问题2　类比上面的这段话，我们可以得到：在向量的运算中，减法是求两个向量的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”．
问题3　如图，作＝－b，由向量减法与加法的转化规则可知a－b＝a＋(－b)＝＋，以和为邻边作平行四边形OACD，
则＋＝，且AC与OD平行且相等．再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b.
知识梳理
1．a－b　差　||a|－|b||　|a|＋|b|
2．相反　相等　－a　相同　(2)0
(3)－b　－a
例1　解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a＋b，再作＝c，
则＝a＋b－c.
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c.
跟踪训练1　解　①如图1所示，以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，
所以b＋c－a＝－＝.
②由①知，＝b＋c，如图2所示，
则a－b－c＝－＝.
　
图1　　　　 　图2
例2　(1)①　②0　(2)A
跟踪训练2　(1)AD
(2)解　①－＋－＝＋－＝－＝.
②(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.
例3　解　由图可知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－
＝－b－c.
(3)＝＋＋＝e＋a＋b.
(4)＝－＝－(＋)
＝－c－d.
跟踪训练3　解　∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
例4　(1)D　(2)[3,13]
跟踪训练4　120°
随堂演练
1．D　2.B　3.BCD　4.2

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