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6.2.1　向量基本定理
[学习目标]　1.了解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义.2.能应用共线向量基本定理和平面向量基本定理解决一些实际问题.
导语　
七个音符谱出千支乐曲,二十六个字母写就百态文章!在多样的平面向量中,我们能否找到它的“基本音符”呢
一、共线向量基本定理
问题1　如果b=λa(a≠0),那么向量a,b是否共线 反过来,若向量b与非零向量a共线,那么是否存在一个实数λ,使得b=λa(a≠0)
提示　共线,存在.
知识梳理
1.共线向量基本定理
定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
2.说明:(1)b=λa时,通常称为b能用a表示.
(2)“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有λ=μ.
3.作用:如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得=λ.
注意点:
(1)λ的值是唯一存在的.
(2)利用共线向量基本定理,既可以证明点共线问题,也可以根据共线求参数的值.
(3)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.
例1　(1)下列命题正确的是 (　　)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.若=λ(λ≠0),则A,B,C,D四点共线
C.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
D.零向量是模为0,方向任意的向量
答案　D
解析　由于零向量与任意向量共线,所以若b为零向量,则a与c关系不确定,A错;
若=λ(λ≠0),则ABCD有可能是一个平行四边形,A,B,C,D四点不一定共线,B错;
共线向量基本定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数λ,使a=λb,否则λ可能不存在,C错;
根据零向量的定义可知,零向量的模为0,方向是任意的,D显然正确.
(2)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求实数k的值;
解　若A,B,D三点共线,则与共线.设=λ(λ∈R),∵=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,
∴2e1+ke2=λe1-4λe2.
由e1与e2不共线可得
解得λ=2,k=-8.
反思感悟　利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练1　已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.
解　由于A,B,P三点共线,所以向量,在同一直线上,由共线向量基本定理可知,存在实数λ使=λ,
即-=λ(-),
所以=(1-λ)+λ,
故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.
二、平面向量基本定理
问题2　如图,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量.
提示　=e1,=λ1e1,=e2,=λ2e2,=a=+=λ1e1+λ2e2.
问题3　上述问题中的分解方法是否唯一 为什么
提示　分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式,那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,由此式可推出λ1-μ1,λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1,λ2-μ2不全为0,不妨假设λ1-μ1≠0,则e1=-e2.由此可得e1,e2共线,这与e1,e2不共线矛盾),即λ1=μ1,λ2=μ2,因此,分解方法是唯一的.
知识梳理
平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底,记为{a,b}.此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.
注意点:
(1)同一平面内基底有无数多组,只要两向量不共线即可.
(2)当基底确定后,任意向量的表示式唯一,即(x,y)是唯一确定的.
例2　(1)已知{e1,e2}是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四个向量中,不能作为一组基底的是 (　　)
A.{e1+e2,e1-e2} B.{3e1-2e2,4e2-6e1}
C.{e1+2e2,e2+2e1} D.{e2,e1+e2}
答案　B
解析　因为4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以4e2-6e1与3e1-2e2共线,
所以{3e1-2e2,4e2-6e1}不能作为基底.
(2)(多选)下列说法中正确的是 (　　)
A.一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B.零向量可作为基底中的向量
C.{e1,e2}是平面上向量的一组基底,若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
D.{e1,e2}是平面上向量的一组基底,则平面内任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)
答案　ACD
解析　因为不共线的任意两个向量均可作为表示平面上向量的一组基底,故A正确,B不正确;因为0=0e1+0e2,由平面向量基本定理知C,D正确.
反思感悟　考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.
跟踪训练2　已知{a,b}是平面向量的一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y=　　　　.
答案　3
解析　因为{a,b}是平面向量的一组基底,
所以a与b不共线,
由平面向量基本定理得解得
所以x-y=3.
三、用基底表示向量
例3　如图所示,设M,N,P是△ABC三边上的点,且=,=,=,若=a,=b,试以{a,b}为基底将,,表示出来.
解　=-=-=a-b,
=-=--=--(-)
=-b-(a-b)=-a+b,
=-=-(+)
=-=(a+b).
反思感悟　将不共线的向量作为一组基底表示其他向量的方法有两种:一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基底表示为止;另一种是列向量方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.
跟踪训练3　如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是边AD,BC的中点,且BC=3AD,=a,=b.试以a,b为一组基底表示,,.
解　∵AD∥BC,且AD=BC,
∴==b.
∵E为AD的中点,∴===b.
∵F为BC的中点,∴==b,
∴=++=-b-a+b
=b-a,
=+=-b+b-a=b-a,
=+=-(+)
=-(+)=-=a-b.
四、向量基本定理的应用
例4　如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.
解　设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2.
故=+=-
=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而=+=2e1+3e2,
由平面向量基本定理,
得解得
∴=,=,
∴AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.
反思感悟　(1)充分挖掘题目中的有利条件,同时注意方程思想的应用.
(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用,熟练掌握.
跟踪训练4　如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点,线段OD上有一点M满足=3,线段CO上有点N满足=λ(λ>0),设=a,=b,已知=μa-b,试求实数λ,μ的值.
解　依题意得=b-a,=a+b,
且==(a-b)=a-b,
=+==(a+b),
∴=+=b+=a+b,
=+=a+b+=a+b,
即=(a+b)=a+b,
由平面向量基本定理,得
解得
1.知识清单:
(1)共线向量基本定理.
(2)平面向量基本定理.
(3)两个定理的应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:基底的不唯一.
1.若{e1,e2}是平面向量的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的一组基底的是 (　　)
A.{e1-e2,e2-e1}
B.
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{e1+e2,e1-e2}
答案　D
解析　e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.
2.如图,向量a-b等于 (　　)
A.-4e1-2e2
B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
答案　C
解析　由题意知,差向量a-b是由b的终点指向a的终点的一个向量,
用基底{e1,e2}表示即为{e1-3e2}.
3.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为 (　　)
A.0 B.-1 C.-2 D.-
答案　D
解析　因为向量a与b共线,所以设b=ma,
即e1+λe2=m(2e1-e2),解得λ=-.
4.如图,在△ABC中,点D,E,F依次是边AB的四等分点,则=　　　　.(以=e1,=e2为一组基底)
答案　e1+e2
解析　=-=e1-e2,
因为D,E,F依次是边AB的四等分点,
所以==(e1-e2),
所以=+=e2+(e1-e2)=e1+e2.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.(多选)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是 (　　)
A.a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则=
D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
答案　BC
解析　由平面向量基本定理可知,A,D正确;对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于C,应为λ1μ2-λ2μ1=0.
2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为 (　　)
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
答案　D
解析　∵向量e1与e2不共线,且3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,
∴解得
3.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则等于 (　　)
A.-2 B.- C.- D.
答案　A
解析　∵=+=+=-+=-,∴λ=1,μ=-,因此=-2.
4.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧上的两个三等分点,=a,=b,若以{a,b}为基底,则等于 (　　)
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
答案　D
解析　连接OD,CD(图略),显然∠BOD=∠CAO=60°,则AC∥OD,且AC=OD,即四边形CAOD为菱形,故=+=a+b.
5.如图,若D点在△ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵=4=r+s,
且==(-)=-,
∴r=,s=-,∴3r+s=-=.
6.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为 (　　)
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
答案　D
解析　∵A,B,C三点共线,
∴向量,共线,∴=m,m∈R,
即λa+b=m(a+μb),
∴(m-λ)a=(1-mμ)b,
∵a,b是不共线的向量,
∴m-λ=0,1-mμ=0,
即m=λ,mμ=1,∴λμ=1.
若λμ=1,则μ=,
∴=a+b=(λa+b)=,
∴,共线,即A,B,C三点共线,故λμ=1为A,B,C三点共线的充要条件.
7.(5分)已知e1,e2是两个不共线的向量,而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=　　　　　.
答案　-2或
解析　由题设知=,所以3k2+5k-2=0,解得k=-2或k=.
8.(5分)已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使{a,b}能作为平面向量的一组基底,则实数λ的取值范围为　　　　.
答案　(-∞,4)∪(4,+∞)
解析　若{a,b}能作为平面向量的一组基底,则a与b不共线.又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,故由a≠kb(k∈R),得λ≠4.
9.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:{a,b}可以作为平面向量的一组基底;(5分)
(2)以{a,b}为基底表示向量c=3e1-e2.(5分)
(1)证明　假设a=λb(λ∈R),
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得方程组无解,
所以λ不存在.
故a与b不共线,{a,b}可以作为平面向量的一组基底.
(2)解　设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
所以解得
所以c=2a+b.
10.(11分)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
解　在矩形OACB中,=+,
又=λ+μ
=λ(+)+μ(+)
=λ+μ
=+,
所以解得
11.已知向量=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,其中{e1,e2}为平面向量的一组基底,若A,B,D三点共线,则k的值是 (　　)
A.2 B.-3 C.-2 D.3
答案　A
解析　根据题意得=-=3e1-3e2-2e1+e2=e1-2e2,
∵A,B,D三点共线,∴=λ,
即e1-ke2=λ(e1-2e2),∴
∴k=2.
12.如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若=ma+nb,则m+n等于 (　　)
A. B. C. D.1
答案　C
解析　由题意可得=2,=2,
∵=+=+2=a, ①
=+=+=+-=+-=-=b, ②
由①②解方程求得=a+b.
再由=ma+nb可得m=,n=,m+n=.
13.(多选)已知M为△ABC的重心,D为边BC的中点,则下列等式成立的是 (　　)
A.||=||=||
B.++=0
C.=+
D.S△MBC=S△ABC
答案　BD
解析　如图,M为△ABC的重心,则++=0,故A错误,B正确;
=+=+=+(-)=+,故C错误;
由DM=AM=AD得S△MBC=S△ABC,
故D正确.
14.(5分)如图,点A,B,C是圆O上三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P.若=m+2m,=λ,则λ=　　　　.
答案　
解析　∵与共线,
∴存在实数μ,使=μ=mμ+2mμ.
∵=-,
∴=mμ+2mμ-
=(mμ-1)+2mμ=λ
=λ(-)=-λ+λ.
∵与不共线,∴
解得λ=.
15.(5分)如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　.
答案　6
解析　如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则=+.
在Rt△OCD中,
∵||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,
∴||=4,||=2,
∴=4,=2,=4+2,
即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.
16.(12分)如图所示,在 ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示,;(4分)
(2)若AM交DN于点O,求AO∶OM的值.(8分)
解　(1)因为AN=AB,
所以==a,
所以=-=a-b.
因为BM=BC,所以===b,所以=+=a+b.
(2)因为A,O,M三点共线,
所以存在实数λ,使=λ,
则=-=λ-=λ-b
=λa+b.
因为D,O,N三点共线,
所以存在实数μ,使得=μ,
则λa+b=μ.
由于向量a,b不共线,
则解得
所以=,=,
所以AO∶OM=3∶11.6.2.1　向量基本定理
[学习目标]　1.了解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义.2.能应用共线向量基本定理和平面向量基本定理解决一些实际问题.
一、共线向量基本定理
问题1　如果b=λa(a≠0),那么向量a,b是否共线 反过来,若向量b与非零向量a共线,那么是否存在一个实数λ,使得b=λa(a≠0)
知识梳理
1.共线向量基本定理
定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
2.说明:(1) b=λa时,通常称为b能用a表示.
(2)“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有λ=μ.
3.作用:如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的　　　　　条件是:存在实数λ,使得=λ.
例1　(1)下列命题正确的是 (　　)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.若=λ(λ≠0),则A,B,C,D四点共线
C.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
D.零向量是模为0,方向任意的向量
(2)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求实数k的值;
反思感悟　利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练1　已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.
二、平面向量基本定理
问题2　如图,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量.
问题3　上述问题中的分解方法是否唯一 为什么
知识梳理
平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组　　　　　,记为{a,b}.此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.
例2　(1)已知{e1,e2}是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四个向量中,不能作为一组基底的是 (　　)
A.{e1+e2,e1-e2}
B.{3e1-2e2,4e2-6e1}
C.{e1+2e2,e2+2e1}
D.{e2,e1+e2}
(2)(多选)下列说法中正确的是 (　　)
A.一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B.零向量可作为基底中的向量
C.{e1,e2}是平面上向量的一组基底,若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
D.{e1,e2}是平面上向量的一组基底,则平面内任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)
反思感悟　考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.
跟踪训练2　已知{a,b}是平面向量的一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y=　　　　.
三、用基底表示向量
例3　如图所示,设M,N,P是△ABC三边上的点,且===,若=a,=b,试以{a,b}为基底将表示出来.
反思感悟　将不共线的向量作为一组基底表示其他向量的方法有两种:一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基底表示为止;另一种是列向量方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.
跟踪训练3　如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是边AD,BC的中点,且BC=3AD,=a,=b.试以a,b为一组基底表示.
四、向量基本定理的应用
例4　如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.
跟踪训练4　如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点,线段OD上有一点M满足=3,线段CO上有点N满足=λ(λ>0),设=a,=b,已知=μa-b,试求实数λ,μ的值.
1.知识清单:
(1)共线向量基本定理.
(2)平面向量基本定理.
(3)两个定理的应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:基底的不唯一.
1.若{e1,e2}是平面向量的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的一组基底的是 (　　)
A.{e1-e2,e2-e1}
B.
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{e1+e2,e1-e2}
2.如图,向量a-b等于 (　　)
A.-4e1-2e2
B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
3.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为 (　　)
A.0 B.-1
C.-2 D.-
4.如图,在△ABC中,点D,E,F依次是边AB的四等分点,则=　　　　.(以=e1,=e2为一组基底)
答案精析
问题1　共线，存在．
知识梳理
3．充要
例1　(1)D
(2)解　若A，B，D三点共线，则与共线．设＝λ(λ∈R)，
∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.
由e1与e2不共线可得
解得λ＝2，k＝－8.
跟踪训练1　解　由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由共线向量基本定理可知，存在实数λ使＝λ，
即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
问题2　＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2.
问题3　分解方法唯一．如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的．
知识梳理
基底
例2　(1)B　(2)ACD
跟踪训练2　3
例3　解　＝－
＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－－(－)
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)
＝－
＝(a＋b)．
跟踪训练3　解　∵AD∥BC，
且AD＝BC，
∴＝＝b.
∵E为AD的中点，
∴＝＝＝b.
∵F为BC的中点，
∴＝＝b，
∴＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋b－a＝b－a，
＝＋＝－(＋)＝－(＋)＝－＝a－b.
例4　解　设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，
＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－
＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
跟踪训练4　解　依题意得
＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝
＝(a＋b)，
∴＝＋
＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b，
即＝(a＋b)
＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
随堂演练
1．D　2.C　3.D　4.e1＋e2

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