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6.2.2　直线上向量的坐标及其运算
[学习目标]　1.理解直线上向量坐标的含义及运算.2.能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算.
导语　
之前我们所学的向量都是从几何的角度来进行表示的,那么是否有代数的方法可以对向量进行表示 这节课就让我们来看看向量和坐标相结合会产生什么奇妙的反应!
一、直线上向量的坐标
问题1　我们已经学过了数轴上点的坐标,如图,已知A(-1),B(2).
对应的向量用坐标如何表示呢
提示　给定一条直线AB以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线AB上的向量,一定存在唯一的实数x,使得=xe,向量的坐标就可以用x表示.
知识梳理
1.向量a的坐标:给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时,x称为向量a的坐标.
2.直线上向量坐标的直观理解
名称 定义
数轴 在直线l上指定一点O作为原点,以e的方向为正方向,e的模为单位长度建立数轴
向量a 的坐标 对于l上的任意一个向量a,如果我们把它的始点平移到原点O,那么a的终点对应的数就是向量a的坐标
注意点:
(1)x既能刻画a的模,也能刻画向量a的方向.
(2)|a|=|xe|=|x||e|=|x|.
①当x>0时,a的方向与e的方向相同;
②当x=0时,a是零向量;
③当x<0时,a的方向与e的方向相反.
特别地,零向量的坐标是0.
(3)向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的始点是原点时,向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同.
例1　已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,分别在下列条件下写出a与b的坐标:
a=3e,b=-4e.
解　在直线l上指定一点O作为原点,以e的方向为正方向,e的模为单位长度建立数轴,对于l上的任意一个向量a,b,把它们的始点平移到原点O,如图,因为a=3e,所以a的终点对应3,a的坐标为3;因为b=-4e,所以b的终点对应-4,b的坐标为-4.
反思感悟　直线上向量的坐标的求法
(1)将向量用单位向量表示出来.
(2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
(3)已知两点求向量的坐标时,用终点坐标减去起点坐标.
跟踪训练1　(1)若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=-e,则 (　　)
A.向量a的坐标为
B.向量a的坐标为e
C.向量a的坐标为-
D.向量a的坐标为-e
答案　C
解析　根据直线上向量坐标的定义知,向量a的坐标为-.
(2)如图所示,直线上向量a,b的坐标分别为 (　　)
A.-2,4 B.2,4 C.4,-2 D.-4,-2
答案　C
解析　向量a的始点在原点,则a的坐标为4,把向量b的始点平移到原点,则b的坐标为-2.
二、直线上向量的运算与坐标的关系
问题2　你能表示出直线上两个向量和的坐标吗
提示　设直线上两个向量分别为a=x1e,b=x2e,则a+b=x1e+x2e=(x1+x2)e.
知识梳理
直线上向量的坐标运算
法则(或公式) 文字语言 符号语言
直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a=x1e,b=x2e, 则a=b x1=x2
直线上两个向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a=x1e,b=x2e, 则a+b=(x1+x2)e
例2　直线上向量a的坐标为5,b的坐标为-,求下列向量的坐标:
(1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b.
解　(1)-3b的坐标为(-3)×=1.
(2)a-b的坐标为5-=.
(3)2a+3b的坐标为2×5+3×=9.
(4)-a-6b的坐标为-5-6×=-3.
反思感悟　向量的坐标运算可完全类比实数的运算进行.
跟踪训练2　已知直线上的向量a与向量b,向量a的坐标为-10,向量2a-3b的坐标为4,求:
(1)向量b的坐标;
(2)a+2b的坐标.
解　(1)设直线上向量b的坐标为x,
由题意可得2×(-10)-3x=4,
解得x=-8,即向量b的坐标为-8.
(2)a+2b=-10+2×(-8)=-26,
所以a+2b的坐标为-26.
三、数轴上两点间的距离、中点坐标
问题3　设A(x1),B(x2)是数轴上两点,O为坐标原点,A与B两点间的距离如何表示 AB的中点如何表示
提示　AB=||=|x2-x1|,x=.
知识梳理
数轴上两点之间的距离公式 设A(x1),B(x2)是数轴上两点,AB=||=|x2-x1|
数轴上的中点坐标公式 设A(x1),B(x2),M(x)是线段AB的中点,则x=
例3　已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,点C是线段AB的中点,求下列条件下,,的坐标及A,B两点间的距离.
(1)x1=2,x2=-5.3;
(2)x1=10,x2=20.5.
解　(1)∵x1=2,x2=-5.3,
∴的坐标为-5.3-2=-7.3,
的坐标为2-(-5.3)=7.3,
由A,B两点的坐标分别为2,-5.3,得点C的坐标为=-1.65,
故的坐标为-1.65-2=-3.65,
A,B两点间的距离为|x2-x1|=|-5.3-2|=7.3.
(2)∵x1=10,x2=20.5,
∴的坐标为20.5-10=10.5,
的坐标为10-20.5=-10.5,
由A,B两点的坐标分别为10,20.5,得点C的坐标为=15.25,
故的坐标为15.25-10=5.25,
A,B两点间的距离为|x2-x1|=|20.5-10|=10.5.
反思感悟　求数轴上两点间距离的方法:要先求数轴上向量的坐标,再根据距离公式求解.
跟踪训练3　已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-1,6,10.分别求A与B,B与C,B与D之间的距离.
解　由题得||=|-1-(-4)|=3,||=|-1-6|=7,||=|10-(-1)|=11.
1.知识清单:
(1)直线上向量的坐标表示.
(2)直线上向量的坐标运算.
(3)数轴上两点间的距离、中点坐标.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常用误区:混淆向量的起点和终点,导致求解向量坐标出错.
1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是0,-1,则的坐标是 (　　)
A.-1 B.1 C.2 D.-2
答案　A
解析　的坐标为-1-0=-1.
2.已知直线上向量a,b的坐标分别为-2,2,则向量a
+b的坐标为 (　　)
A.1 B.-1 C.0 D.4
答案　B
解析　因为向量a,b的坐标分别为-2,2,所以向量a+b的坐标为-2+2×=-1.
3.已知数轴上两点A,B的坐标分别为-5,4,则A与B的距离为 (　　)
A.1 B.-1 C.9 D.-9
答案　C
解析　AB=||=|4-(-5)|=9.
4.设数轴上A,B的坐标分别是2,6,则AB的中点C的坐标是　　　　.
答案　4
解析　因为xA=2,xB=6.所以AB的中点C的坐标为xC===4.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共24分
1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-4,-1,则的坐标与||分别是 (　　)
A.-3,3 B.3,3 C.3,-3 D.-6,6
答案　B
解析　的坐标为-1-(-4)=3,||=3.
2.已知数轴上两点M,N,且||=4.若xM=-3,则xN等于 (　　)
A.1 B.2 C.-7 D.1或-7
答案　D
解析　||=|xN-(-3)|=4,∴xN-(-3)=±4,即xN=1或xN=-7.
3.(多选)数轴上三点A,B,C的坐标分别为-1,2,5,则 (　　)
A.AB=-3 B.BC=3
C.的坐标为6 D.的坐标为3
答案　BCD
4.已知直线上向量a,b的坐标分别为-1,3,则下列向量与a同向的是 (　　)
A.a+b B.a-b C.a+2b D.3b
答案　B
解析　由题意,a+b的坐标为2,a+2b的坐标为5,3b的坐标为9,都与a反向,a-b的坐标为-4,与a同向.
5.(多选)数轴上点A和点B的坐标分别为-1和3,若P是数轴上一点,且||+||=6,则点P的坐标为 (　　)
A.-3 B.5 C.-2 D.4
答案　CD
解析　∵||=|3-(-1)|=4,||+||=6,设点P的坐标为xP,当点P在点A的左边时,-1-xP+3-xP=6,得xP=-2;当点P在点B的右边时,xP-3+xP-(-1)=6,得xP=4,综上所述,点P的坐标为-2或4.
6.(多选)已知数轴上点A的坐标为2,||=6,C是AB的中点,则向量的坐标为 (　　)
A.-4 B.8 C.-3 D.3
答案　CD
解析　∵数轴上点A的坐标为2,且||=6,则点B的坐标为-4或8.而C是AB的中点,则点C的坐标为或,即-1或5,故的坐标为-3或3.
7.(5分)在数轴x上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量),且点B的坐标为3,则向量的坐标为　　　　.
答案　6
解析　由=-3e,得点A的坐标为-3,则的坐标为3-(-3)=6.
8.(5分)数轴上三点A,B,C的坐标分别为1,-1,-5,则+的坐标为　　　　,||+||=　　　　.
答案　-10　10
解析　+的坐标为-6+(-4)=-10,||+||=6+4=10.
9.(10分)数轴上点A,B,C的坐标分别为4,-6,x,线段AB的中点为D.
(1)求向量的坐标及A与B的距离;(3分)
(2)求点D的坐标;(3分)
(3)若||=8,求x的值.(4分)
解　(1)由A,B的坐标分别为4,-6,得的坐标为-6-4=-10,A与B的距离AB=||=10.
(2)由A,B的坐标分别为4,-6且D为AB的中点,得点D的坐标为=-1.
(3)当点C在点A的左侧时,4-x=8,x=-4;
当点C在点A的右侧时,x-4=8,x=12.
故x的值为-4或12.
10.(10分)已知A,B,C为数轴上三点,且xA=-2,xB=6.试求符合下列条件的点C的坐标.
(1)的坐标为10;(2分)
(2)||=10;(3分)
(3)||=3||.(5分)
解　(1)∵的坐标为10,∴xC-xA=10.
∴xC=xA+10=8.
(2)∵||=10,∴=10或=-10,
当=10时,xC-xA=10,xC=xA+10=8;
当=-10时,xC-xA=-10,xC=xA-10=-12.
∴点C的坐标为8或-12.
(3)∵||=3||,∴=3或=-3.
当=3时,xC-xA=3(xC-xB).
∴xC=(3xB-xA)=10;
当=-3时,xC-xA=-3(xC-xB),
∴xC=(3xB+xA)=4.
∴点C的坐标为10或4.
11.已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,且a=2e,b=-5e,则|2a-b|为 (　　)
A.4 B.9 C.-7 D.1或-7
答案　B
解析　2a-b的坐标为2×2-(-5)=9,
所以|2a-b|=9.
12.(多选)若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=-e,b=e,则下列说法正确的是 (　　)
A.a=-b B.b=-a
C.a+b的坐标为0 D.|a||b|=1
答案　BD
解析　因为a=-e,b=e,所以|a|=,|b|=;|a||b|=×=1,b=-×=-a,a+b=e=-e,a+b的坐标为-.
13.(5分)若e是直线l上的一个单位向量,向量a=2e,b=-2e是这条直线上的向量,则|a|+|b|=　　　　.
答案　4
解析　因为a=2e,b=-2e,所以|a|+|b|=2+2=4.
14.(5分)已知M,P,N三点在数轴上,且点P的坐标是5,的坐标为2,的坐标为8,则点N的坐标为　　　　.
答案　11
解析　设点M,N的坐标分别为x1,x2,
∵点P的坐标是5,的坐标为2,的坐标为8,
∴解得
故点N的坐标为11.
15.(5分)如图,点A,B为数轴上的两点,O为原点,A,B两点的坐标分别为m,2m+1,B,O两点间的距离等于A,B两点间的距离,则|2+|=　　　　.
答案　
解析　由题意得,0-(2m+1)=2m+1-m,得m=-,故点A的坐标为-,点B的坐标为-×2+1=-,的坐标为--=,
故2+的坐标为2×-=,
故|2+|=.
16.(11分)已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若的坐标为5,求c的值;(3分)
(2)若||=6,求d的值;(3分)
(3)若=-3,求证:3=-4.(5分)
(1)解　∵的坐标为5,∴c-(-4)=5,∴c=1.
(2)解　∵||=6,∴|d-(-2)|=6,
即d+2=6或d+2=-6,∴d=4或d=-8.
(3)证明　∵的坐标为c+4,的坐标为d+4,
又=-3,
∴c+4=-3(d+4),即c=-3d-16.
3的坐标为3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,
-4的坐标为-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,
∴3=-4.6.2.2　直线上向量的坐标及其运算
[学习目标]　1.理解直线上向量坐标的含义及运算.2.能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算.
一、直线上向量的坐标
问题1　我们已经学过了数轴上点的坐标,如图,已知A(-1),B(2).
对应的向量用坐标如何表示呢
知识梳理
1.向量a的坐标:给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在　　　　的实数x,使得　　　　　,此时,x称为向量a的坐标.
2.直线上向量坐标的直观理解
名称 定义
数轴 在直线l上指定一点O作为原点,以e的方向为正方向,e的模为单位长度建立数轴
向量a 的坐标 对于l上的任意一个向量a,如果我们把它的始点平移到原点O,那么a的终点对应的数就是向量a的坐标
例1　已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,分别在下列条件下写出a与b的坐标:
a=3e,b=-4e.
跟踪训练1　(1)若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=-e,则 (　　)
A.向量a的坐标为
B.向量a的坐标为e
C.向量a的坐标为-
D.向量a的坐标为-e
(2)如图所示,直线上向量a,b的坐标分别为 (　　)
A.-2,4 B.2,4
C.4,-2 D.-4,-2
二、直线上向量的运算与坐标的关系
问题2　你能表示出直线上两个向量和的坐标吗
知识梳理
直线上向量的坐标运算
法则(或公式) 文字语言 符号语言
直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的　　　　 设a=x1e,b=x2e, 则a=b x1=x2
直线上两个向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的　　　　 设a=x1e,b=x2e, 则a+b= (x1+x2)e
例2　直线上向量a的坐标为5,b的坐标为-,求下列向量的坐标:
(1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b.
反思感悟　向量的坐标运算可完全类比实数的运算进行.
跟踪训练2　已知直线上的向量a与向量b,向量a的坐标为-10,向量2a-3b的坐标为4,求:
(1)向量b的坐标;　(2)a+2b的坐标.
三、数轴上两点间的距离、中点坐标
问题3　设A(x1),B(x2)是数轴上两点,O为坐标原点,A与B两点间的距离如何表示 AB的中点如何表示
知识梳理
数轴上两点之间的距离公式 设A(x1),B(x2)是数轴上两点,AB=||=|x2-x1|
数轴上的中点坐标公式 设A(x1),B(x2),M(x)是线段AB的中点,则x=
例3　已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,点C是线段AB的中点,求下列条件下的坐标及A,B两点间的距离.
(1)x1=2,x2=-5.3;
(2)x1=10,x2=20.5.
反思感悟　求数轴上两点间距离的方法:要先求数轴上向量的坐标,再根据距离公式求解.
跟踪训练3　已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-1,6,10.分别求A与B,B与C,B与D之间的距离.
1.知识清单:
(1)直线上向量的坐标表示.
(2)直线上向量的坐标运算.
(3)数轴上两点间的距离、中点坐标.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常用误区:混淆向量的起点和终点,导致求解向量坐标出错.
1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是0,-1,则的坐标是 (　　)
A.-1 B.1
C.2 D.-2
2.已知直线上向量a,b的坐标分别为-2,2,则向量a+b的坐标为 (　　)
A.1 B.-1
C.0 D.4
3.已知数轴上两点A,B的坐标分别为-5,4,则A与B的距离为 (　　)
A.1 B.-1
C.9 D.-9
4.设数轴上A,B的坐标分别是2,6,则AB的中点C的坐标是　　　　.
答案精析
问题1　给定一条直线AB以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线AB上的向量，一定存在唯一的实数x，使得＝xe，向量的坐标就可以用x表示．
知识梳理
1．唯一　a＝xe
例1　解　在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，b，把它们的始点平移到原点O，如图，因为a＝3e，所以a的终点对应3，a的坐标为3；因为b＝－4e，所以b的终点对应－4，b的坐标为－4.
跟踪训练1　(1)C　(2)C
问题2　设直线上两个向量分别为a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝x1e＋x2e＝(x1＋x2)e.
知识梳理
坐标相等　坐标的和
例2　解　(1)－3b的坐标为
(－3)×＝1.
(2)a－b的坐标为5－＝.
(3)2a＋3b的坐标为
2×5＋3×＝9.
(4)－a－6b的坐标为
－5－6×＝－3.
跟踪训练2　解　(1)设直线上向量b的坐标为x，
由题意可得2×(－10)－3x＝4，
解得x＝－8，即向量b的坐标为－8.
(2)a＋2b＝－10＋2×(－8)＝－26，
所以a＋2b的坐标为－26.
问题3　AB＝||＝|x2－x1|，
x＝.
例3　解　(1)∵x1＝2，x2＝－5.3，
∴的坐标为－5.3－2＝－7.3，
的坐标为2－(－5.3)＝7.3，
由A，B两点的坐标分别为2，－5.3，得点C的坐标为＝－1.65，
故的坐标为－1.65－2＝－3.65，
A，B两点间的距离为
|x2－x1|＝|－5.3－2|＝7.3.
(2)∵x1＝10，x2＝20.5，
∴的坐标为20.5－10＝10.5，
的坐标为10－20.5＝－10.5，
由A，B两点的坐标分别为10,20.5，得点C的坐标为＝15.25，
故的坐标为15.25－10＝5.25，
A，B两点间的距离为
|x2－x1|＝|20.5－10|＝10.5.
跟踪训练3　解　由题得||＝|－1－(－4)|＝3，||＝|－1－6|＝7，||＝|10－(－1)|＝11.
随堂演练
1．A　2.B　3.C　4.4

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