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6.2.3　平面向量的坐标及其运算
[学习目标]　1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
导语　
我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么,如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢
一、平面向量的坐标表示
问题1　如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,可以用{i,j}表示成什么
提示　由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.
知识梳理
1.向量垂直
平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.
2.正交基底
如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
3.向量的坐标
一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
注意点:
求平面上向量的坐标,可以选择如下两种方法中的任何一种:
(1)将向量用单位向量e1,e2表示出来;
(2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
例1　如图,在平面直角坐标系xOy中,已知OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求向量的坐标.
解　(1)如图,作AM⊥x轴于点M,
则OM=OA·cos 45°=4×=2,
AM=OA·sin 45°=4×=2,
所以A(2,2),故a=(2,2).
因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
所以∠COy=30°.又OC=AB=3,
所以C,所以==,
即b=.
(2)=-=.
反思感悟　求一个向量的坐标,可以把该向量进行正交分解,在相应的直角三角形内求向量的长度,从而求出对应的坐标.
跟踪训练1　已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐标.
解　设点A(x,y),则x=||cos 60°=4cos 60°=2,y=||sin 60°=4sin 60°=6,
即A(2,6),所以=(2,6).
二、平面上向量的运算与坐标的关系
问题2　已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b的坐标吗
提示　a+b=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2).
问题3　已知a=(x,y),你能得出λa的坐标吗
提示　λa=λ(xe1+ye2)=λxe1+λye2,即λa=(λx,λy).
问题4　如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求的坐标
提示　=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
知识梳理
向量的加、减法 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差
数乘向量 若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy),即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积
向量的数乘、 加、减混合运算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v∈R,则ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2)
向量的模 若a=(x,y),则|a|=
例2　(1)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标;
解　a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),
2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).
(2)已知点A(-1,2),B(2,8),且=,=-,求点C,D和的坐标.
解　设C(x1,y1),D(x2,y2),
由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),
=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=,=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),
(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),
则有和
解得和
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0),
∴=(-2,-4).
反思感悟　平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练2　(1)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|等于 (　　)
A. B.2 C.5 D.50
答案　A
解析　∵a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),
∴|a-b|==.
(2)已知M(3,-2),N(-5,-1),=,则P点坐标为　　　　　　.
答案　
解析　设P(x,y),则=(x-3,y+2),=(-8,1),
∴==(-8,1)=,
∴解得
故P点坐标为.
三、平面内两点间的距离、中点坐标
问题5　直线l上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),你能写出这两点之间的距离吗 若P点位于P1P2中点位置,你能写出P点的坐标吗
提示　P1P2=||=,P点的坐标为.
知识梳理
平面直角坐标系内两点间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则AB=||=,线段AB的中点坐标为.
例3　已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),点M为BC的中点.
(1)求点M的坐标;
(2)求BC+2BM的长.
解　(1)设C(x,y),则=(x-0,y-1)=(x,y-1)=(-4,-3),即C(-4,-2),由中点坐标公式知,M.
(2)由两点间的距离公式,可知BC===,
BM===.
∴BC+2BM=+=2.
∴BC+2BM的长为2.
反思感悟　利用平面内两点间的距离公式及中点坐标公式时,关键是确定线段两个端点的坐标.
跟踪训练3　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1),B(2,2),C(3,6),而且A,B,C,D按逆时针方向排列,求:
(1)AB,AD;
(2)D点的坐标.
解　(1)由两点间的距离公式,得
AB==.
又因为AD=BC,
所以AD=BC==.
(2)由题意知=,所以-=-.
因此=+-=(-2,1)+(3,6)-(2,2)=(-1,5),从而D(-1,5).
四、向量平行的坐标表示
问题6　已知向量a,b,则两个向量共线的条件是什么 如何用坐标表示两个向量共线
提示　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,
由a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb,则有(x1,y1)=λ(x2,y2) 消去λ,得x1y2-x2y1=0.
知识梳理
向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x2y1=x1y2.
例4　(1)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则λ的值等于 (　　)
A. B. C.1 D.2
答案　A
解析　a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),
2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),
由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,
解得λ=.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k=　　　　.
答案　-
解析　=-=(1-k,2k-2),
=-=(1-2k,-3),
由题意可知∥,
所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,
解得k=-(k=1不合题意,舍去).
反思感悟　向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理,b∥a(a≠0)推出b=λa(λ是唯一实数).
(2)利用向量共线的坐标表达式x2y1=x1y2直接求解.
跟踪训练4　已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
解　=(0,4)-(2,1)=(-2,3).
=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
∵=-2,
∴与共线且方向相反.
1.知识清单:
(1)平面向量的正交分解及坐标表示.
(2)平面向量坐标的运算.
(3)两点间的距离公式与中点坐标公式.
(4)向量平行的坐标表示.
2.方法归纳:转换法.
3.常见误区:向量的坐标不一定是终点的坐标;向量平行的坐标表示.
1.若a=(2,1),b=(1,0),则3a-2b的坐标是 (　　)
A.(5,3) B.(4,3)
C.(8,3) D.(0,-1)
答案　B
解析　3a-2b=3(2,1)-2(1,0)=(4,3).
2.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值是 (　　)
A.- B. C.- D.
答案　C
解析　a+b=(1,2)+(-3,5)=(-2,7),λc=(4λ,xλ),又a+b=λc,故解得
则λ+x=-.
3.已知a=(2,3),b=(4,y),且a∥b,则y的值为 (　　)
A.6 B.-6 C. D.-
答案　A
解析　∵a∥b,∴2y-3×4=0,即y=6.
4.已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,则m的值为　　　　.
答案　6
解析　=(2,4)-(1,2)=(1,2).
=(3,m)-(1,2)=(2,m-2).
∵A,B,C三点共线,即向量,共线,
∴1×(m-2)-2×2=0,∴m=6.
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于 (　　)
A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3)
答案　A
解析　a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).
2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则|b|等于 (　　)
A. B.2 C. D.2
答案　A
解析　b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2),
故|b|==.
3.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 (　　)
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
答案　D
解析　∵c=λ1a+λ2b,
∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),
∴解得
4.(多选)已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是 (　　)
A.(4,8) B.(4,-8)
C.(-4,-8) D.(-4,8)
答案　BD
解析　由a∥b,得b=λa,又|b|=4|a|,
∴λ=±4.
∴b=(4,-8)或b=(-4,8).
5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),c=(-3,3).若非零实数m,n满足(na+b)∥(b-mc),则等于 (　　)
A.3 B. C.- D.-3
答案　A
解析　由题意可知,na+b=n(1,-1)+(-1,2)=(n-1,-n+2),
b-mc=(-1,2)-m(-3,3)=(-1+3m,2-3m).
因为(na+b)∥(b-mc),
所以(n-1)(2-3m)=(-n+2)(-1+3m),
整理得n=3m,即=3.
6.(多选)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知=(-1,4),=(8,-5),若P是线段AB的三等分点,则点P的坐标是 (　　)
A.(2,1) B.(3,0)
C.(4,-1) D.(5,-2)
答案　AD
解析　因为=(-1,4),=(8,-5),
所以=-=(9,-9).
设P(x,y),则=(x+1,y-4).
又P是线段AB的三等分点,
所以=或=,
即或
解得或
即点P的坐标是(2,1)或(5,-2).
7.(5分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),=3,=2,则的坐标为　　　　.
答案　(9,-18)
解析　∵=3(1,8)=(3,24),
=2(6,3)=(12,6),
∴=-=(12,6)-(3,24)=(9,-18).
8.(5分)设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为　　　　.
答案　(-4,-2)
解析　因为b=(2,1),且a与b的方向相反,
所以设a=(2λ,λ)(λ<0).
因为|a|=2,所以4λ2+λ2=20,
解得λ2=4,λ=-2,所以a=(-4,-2).
9.(10分)已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;(5分)
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求y与λ的值.(5分)
解　(1)设点B的坐标为(x1,y1).
∵=(4,3)=(x1+1,y1+2).
∴∴
∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,
∴点M的坐标为.
(2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
又=λ,
∴(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),
则∴
10.(11分)在平面内已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(5分)
(2)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求向量d的坐标.(6分)
解　(1)由已知条件以及a=mb+nc,可得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得
(2)设向量d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
∵(d-c)∥(a+b),|d-c|=,
∴解得或
∴向量d的坐标为(3,-1)或(5,3).
11.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 (　　)
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
答案　D
解析　∵a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d不平行,排除A,B.若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即c∥d且c与d反向.
12.已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ等于 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.25
答案　B
解析　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),
所以且
解得
即a=(1,2),b=(2,1).
所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),
则解得
故λ+μ=0.
13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=45°,||=2,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.
答案　2
解析　因为||=2,∠AOC=45°,
所以C(,),
又=λ+μ,
所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
所以λ=μ=,λ+μ=2.
14.(5分)已知a=(-2,3),b∥a,b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则B点坐标为　　　　.
答案　或
解析　由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).
设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.
由
又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,
所以B或.
15.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是 (　　)
A.(1,5)或(5,5)
B.(1,5)或(-3,-5)
C.(5,-5)或(-3,-5)
D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)
答案　D
解析　设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,
①若这个平行四边形为 ABCD,
则=,∴D(-3,-5);
②若这个平行四边形为 ACDB,
则=,∴D(5,-5);
③若这个平行四边形为 ACBD,
则=,∴D(1,5).
综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).
16.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).
(1)若++=0,求的坐标;(5分)
(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n的值.(7分)
解　(1)设点P的坐标为(x,y),
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2),
故=(2,2).
(2)设点P的坐标为(x0,y0),
因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因为=m+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),
所以两式相减得m-n=y0-x0,
又因为点P在函数y=x+1的图象上,
所以y0-x0=1,
所以m-n=1.6.2.3　平面向量的坐标及其运算
[学习目标]　1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
一、平面向量的坐标表示
问题1　如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,可以用{i,j}表示成什么
知识梳理
1.向量垂直
平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相　　　　,我们就称向量a与b垂直,记作　　　　.规定零向量与任意向量都垂直.
2.正交基底
如果平面向量的基底{e1,e2}中,　　　　,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的　　　　　.
3.向量的坐标
一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=　　　　　.
例1　如图,在平面直角坐标系xOy中,已知OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求向量的坐标.
反思感悟　求一个向量的坐标,可以把该向量进行正交分解,在相应的直角三角形内求向量的长度,从而求出对应的坐标.
跟踪训练1　已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐标.
二、平面上向量的运算与坐标的关系
问题2　已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b的坐标吗
问题3　已知a=(x,y),你能得出λa的坐标吗
问题4　如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求的坐标
知识梳理
向量的 加、减法 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　　　　　　　　　,a-b=　　　　　　　,即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差
数乘向量 若a=(x,y),λ∈R,则λa=　　　　　　,即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积
向量的数乘、加、 减混合运算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v∈R,则ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2)
向量的模 若a=(x,y),则|a|=
例2　(1)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标;
(2)已知点A(-1,2),B(2,8),且==-,求点C,D和的坐标.
反思感悟　平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练2　(1)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|等于 (　　)
A. B.2
C.5 D.50
(2)已知M(3,-2),N(-5,-1),=,则P点坐标为　　　　　　.
三、平面内两点间的距离、中点坐标
问题5　直线l上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),你能写出这两点之间的距离吗 若P点位于P1P2中点位置,你能写出P点的坐标吗
知识梳理
平面直角坐标系内两点间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则AB=||=　　　　　　,线段AB的中点坐标为　　　　　　　　.
例3　已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),点M为BC的中点.
(1)求点M的坐标;
(2)求BC+2BM的长.
反思感悟　利用平面内两点间的距离公式及中点坐标公式时,关键是确定线段两个端点的坐标.
跟踪训练3　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1),B(2,2),C(3,6),而且A,B,C,D按逆时针方向排列,求:
(1)AB,AD;
(2)D点的坐标.
四、向量平行的坐标表示
问题6　已知向量a,b,则两个向量共线的条件是什么 如何用坐标表示两个向量共线
知识梳理
向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 　　　　　　　　　　.
例4　(1)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则λ的值等于 (　　)
A. B.
C.1 D.2
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k=　　　　.
反思感悟　向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理,b∥a(a≠0)推出b=λa(λ是唯一实数).
(2)利用向量共线的坐标表达式x2y1=x1y2直接求解.
跟踪训练4　已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
1.知识清单:
(1)平面向量的正交分解及坐标表示.
(2)平面向量坐标的运算.
(3)两点间的距离公式与中点坐标公式.
(4)向量平行的坐标表示.
2.方法归纳:转换法.
3.常见误区:向量的坐标不一定是终点的坐标;向量平行的坐标表示.
1.若a=(2,1),b=(1,0),则3a-2b的坐标是 (　　)
A.(5,3) B.(4,3)
C.(8,3) D.(0,-1)
2.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值是 (　　)
A.- B.
C.- D.
3.已知a=(2,3),b=(4,y),且a∥b,则y的值为 (　　)
A.6 B.-6
C. D.-
4.已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,则m的值为　　　　.
答案精析
问题1　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，
使得a＝xi＋yj.
知识梳理
1．垂直　a⊥b　2.e1⊥e2　正交分解　3.(x，y)　
例1　解　(1)如图，作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
所以A(2，2)，
故a＝(2,2)．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
所以C，
所以＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
跟踪训练1　解　设点A(x，y)，
则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，
y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6)．
问题2　a＋b＝(x1e1＋y1e2)＋(x2e1＋y2e2)＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，
即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
问题3　λa＝λ(xe1＋ye2)＝λxe1＋λye2，即λa＝(λx，λy)．
问题4　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
知识梳理
(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx，λy)
例2　(1)解　a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
(2)解　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴点C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
跟踪训练2　(1)A　(2)
问题5　P1P2＝||＝，P点的坐标为.
知识梳理
　
例3　解　(1)设C(x，y)，则＝(x－0，y－1)＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即C(－4，－2)，由中点坐标公式知，M.
(2)由两点间的距离公式，
可知BC＝
＝＝，
BM＝
＝＝.
∴BC＋2BM＝＋＝2.
∴BC＋2BM的长为2.
跟踪训练3　解　(1)由两点间的距离公式，得
AB＝＝.
又因为AD＝BC，
所以AD＝BC
＝＝.
(2)由题意知＝，
所以－＝－.
因此＝＋－＝(－2,1)＋(3,6)－(2,2)＝(－1,5)，从而D(－1,5)．
问题6　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2) 消去λ，
得x1y2－x2y1＝0.
知识梳理
x2y1＝x1y2
例4　(1)A　[a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，
解得λ＝.]
(2)－
解析　＝－＝(1－k,2k－2)，
＝－＝(1－2k，－3)，
由题意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)·(1－2k)＝0，
解得k＝－(k＝1不合题意，舍去)．
跟踪训练4　解　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵＝－2，
∴与共线且方向相反．
随堂演练
1．B　2.C　3.A　4.6

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