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6.3平面向量线性运算的应用
[学习目标]　1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决几何问题、物理问题的能力.
导语　
向量集“数”与“形”于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,另外向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.
一、向量基底法在平面几何中的应用
例1　设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,AB∥DC,试用平面向量证明:PQ∥AB.
证明　设=λ(λ>0且λ≠1),
因为=-=+-
=+(-)
=+[(-)-(+)]
=+(-)
=(+)=(-λ+1),
所以∥,又P,Q,A,B四点不共线,
所以PQ∥AB.
反思感悟　用向量解决平面几何问题的方法之一
向量基底法:选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
跟踪训练1　如图所示,已知△ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE交CD于点P,求△APC的面积.
解　设=a,=b为一组基底,
则=+=a+b,
=+=a+b,
∵点A,P,E三点共线,
∴存在实数λ使得=λ=λa+λb.
∵点D,P,C三点共线,
∴存在实数μ使=μ=μa+μb.
又∵=+=a+μb,
∴
∴S△PAB=S△ABC=14×=8(cm2),
S△PBC=S△ABC=×14=2(cm2),
故S△APC=14-8-2=4(cm2).
二、向量坐标法在平面几何中的应用
例2　如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用平面向量证明PA=EF.
证明　建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为a,||=λ(λ>0),
则F,P,E,A(0,a).
所以=,=,
因为||2=+=λ2-aλ+a2,
||2=+=λ2-aλ+a2,
所以||=||,即PA=EF.
反思感悟　用向量解决平面几何问题的方法之二
向量坐标法:对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题),通过建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,利用代数运算解决平面几何中的长度、平行等问题.
跟踪训练2　如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=λ+μ,则λ+μ的最大值为　　　　.
答案　3
解析　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略),设正方形的边长为2,点P的横坐标为x,x∈[0,2],则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(x,2).
∴=(2,2),=(2,-2),=(x,2).
∵=λ+μ=λ(2,-2)+μ(x,2)=(2λ+xμ,-2λ+2μ),
∴解得
∴λ+μ=.
令f(x)==-1(0≤x≤2),
∵f(x)在[0,2]上单调递减,
∴f(x)max=f(0)=3.
三、向量在物理中的应用
知识梳理
我们在物理中已经学习过,利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等,因此,在涉及这些量的运算时,我们都可以借助向量来完成.
(1)力、速度、位移的合成就是向量的加法,符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
(2)力、速度、位移的分解就是向量的减法,符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则.
(3)动量mv就是数乘向量,符合数乘向量的运算律.
注意点:
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)转化:把物理问题中的相关量用向量表示,转化为向量问题的模型.
(2)运算:通过向量的运算使问题得以解决.
(3)还原:把结果还原为物理问题.
例3　如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求绳子AC和BC所受拉力的大小.(绳子的重量忽略不计)
解　如图所示,设,分别表示绳子AC,BC所受的拉力,10 N的重力用表示,则+=.
由题意可得∠ECG=180°-150°=30°,
∠FCG=180°-120°=60°.
∴||=||cos 30°=10×=5(N),
||=||cos 60°=10×=5(N).
故绳子AC所受的拉力为5 N,绳子BC所受的拉力为5 N.
反思感悟　由于力、位移、速度都是向量,对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
跟踪训练3　一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为南偏东30°,风速为4 m/s,这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
解　依据物理知识,有三个相对速度:汽车对地的速度为v车地,风对车的速度为v风车,风对地的速度为v风地,风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度,即v风地=v风车+v车地,如图,根据向量加法的平行四边形法则,可知表示向量v风地的有向线段是 ACDB的对角线.
因为||=4 m/s,∠ACD=30°,||=2 m/s,
所以∠ADC=90°,在Rt△ADC中,||=||·cos 30°=2(m/s).
所以风的实际方向是吹向正南方向;汽车速度的大小为2 m/s.
1.知识清单:
(1)向量基底法和坐标法在平面几何中的应用.
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳:转化法、数形结合法.
3.常见误区:不能转化为向量问题.
1.在△ABC中,已知顶点A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 (　　)
A.2 B. C.3 D.
答案　B
解析　∵BC的中点为D,=,
∴||=.
2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,需再加上一个力F4,则F4等于 (　　)
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
答案　D
解析　∵物体保持平衡,
∴F1+F2+F3+F4=0,
∴F4=-F1-F2-F3=-(-2,-1)-(-3,2)-(4,-3)=(1,2).
3.某人以速度a km/h向东行走,此时正刮着时速为a km/h的南风,那么此人感受到的风向、风速为 (　　)
A.东南风,a km/h B.东风,a km/h
C.南风,a km/h D.西南风,a km/h
答案　A
解析　如图所示,设人的速度为v1,风速为v2,则人感受到的风速为v,且|v|=a.
4.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
答案　(3,3)
解析　设点P(x,y),
则=(x,y),=(4,4),
=(x-4,y-0)=(x-4,y),
=(2-4,6-0)=(-2,6),
由与共线得4x-4y=0, ①
由与共线得6(x-4)-(-2)y=0, ②
联立①②,解得x=3,y=3,
即点P的坐标为(3,3).
课时对点练　[分值:100分]
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共12分
1.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为 (　　)
A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)
答案　A
解析　F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),
则=+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).
2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A,B,C,D,则四边形ABCD是 (　　)
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
答案　A
解析　∵=,=(3,4),
∴=,
∴∥且||≠||.
∴四边形ABCD是梯形.
3.(多选)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 (　　)
A.|b|=1 B.|a|=1 C.a∥b D.|b|=2
答案　BD
解析　如图,由题意得,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误,D正确;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,故B正确;因为a=,b=,故a,b不平行,故C错误.
4.当两个人提起重量为|G|的旅行包时,两人用力方向的夹角为θ,用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为 (　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案　D
解析　作=F1,=F2,=-G(图略),
则=+,
当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形,
所以∠AOC=60°,从而∠AOB=120°,
即θ的值为120°.
5.O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若=+,则∠BAC等于 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　C
解析　取BC的中点D,连接AD(图略),
则+=2.
由题意得3=2,
∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心,
∴△ABC为正三角形,
∴∠BAC=60°.
6.已知a=(-1,),=a-b,=a+b,若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB的面积是 (　　)
A. B.2 C.2 D.4
答案　D
解析　因为a=(-1,),
所以|a|==2.
设AB的中点为C,则=(+)=a,
则||=|a|=2.
所以在Rt△AOB中,||=2||=4,
所以S△AOB=×4×2=4.
7.(5分)在Rt△ABC中,斜边BC的长为2,O是平面ABC内一点,点P满足=+(+),则||=　　　　.
答案　1
解析　如图,设BC边的中点为D,连接AD,则(+)=,=+(+) =+ -= =,
因此||=||=1.
8.(5分)设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为　　　　.
答案　1∶2
解析　设D为AC的中点,
如图所示,连接OD,
则+=2.
又+=-2,
所以=-,
即O为BD的中点,
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
9.(10分)河水自西向东流动的速度为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度为10 km/h,求小船的实际航行速度.
解　设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点O作=a,=b,以,为邻边作矩形OACB,连接,如图,则=a+b,并且即为小船的实际航行速度.
||==20(km/h),
tan∠AOC==,
∴∠AOC=60°,
∴小船的实际航行速度为20 km/h,按北偏东30°的方向航行.
10.(11分)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是边AD,DC的中点,连接BE,BF,分别交AC于R,T两点.求证:AR=RT=TC.
证明　设=a,=b,=r,=t,
则=a+b.
由于与共线,
所以可设r=n(a+b),
因为=-=a-b,与共线,
所以可设=m=m,
因为=+,
所以r=b+m,
所以n(a+b)=b+m,
即(n-m)a+b=0.
由于向量a,b不共线,要使上式成立,
则有解得
所以=.同理=.
所以AR=RT=TC.
11.已知平面向量a,b,其中|a|=2,a,b的夹角是,若t为任意实数,则|a+tb|的最小值为 (　　)
A.1 B. C. D.2
答案　C
解析　依题意,作=a,=b,使∠AOB=,如图,显然对 t∈R,tb的终点的轨迹是线段OB确定的直线l,于是|a+tb|=|a-(-tb)|为点A与直线l上的点的距离,过点A作AD⊥l于点D,所以|a+tb|min=AD=||sin =.
12.(多选)点P是△ABC所在平面内一点,满足|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状不可能是 (　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案　AD
解析　∵P是△ABC所在平面内一点,且|-|-|+-2|=0,
∴||-|(-)+(-)|=0,
即||=|+|,
∴|-|=|+|,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC(图略),
由向量加法和减法的几何意义知平行四边形ABDC为矩形,
∴⊥,∴∠A=90°,则△ABC一定是直角三角形.故选AD.
13.(5分)设P为△ABC所在平面上一点,且满足+2=m(m>0),若△ABP的面积为2,则△ABC的面积为　　　　.
答案　3
解析　因为+2=m(m>0),所以+=(m>0),令=+,则-=-,所以=,所以D为AC上靠近C的三等分点,因为=,所以∥,所以S△ABP=S△ABD=S△ABC=2,所以S△ABC=3.
14.(5分)一条河宽为800 m,一艘船从A处出发想要垂直到达河正对岸的B处,若船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需的时间为　　　min.
答案　3
解析　由题意作出示意图,如图,
∵v实际=v船+v水=v1+v2,
|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,
∴|v实际|=
==16(km/h).
∴所需时间t==0.05(h)=3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
15.(5分)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,∠ADC=90°,若点M在线段AC上,则|+|的取值范围为　　　　.
答案　
解析　以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(1,2),
D(0,2),设=λ(0≤λ≤1),
则M(λ,2λ),
故=(-λ,2-2λ),=(2-λ,-2λ),
则+=(2-2λ,2-4λ),
|+|=
=,
当λ=0时,|+|取得最大值为2;
当λ=时,|+|取得最小值为,
∴|+|∈.
16.(12分)一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天的水流速度为3 km/h,方向正东,风的方向为北偏西30°,受风力影响,静水中船的漂行速度为3 km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡,求船本身的速度大小及方向.
解　如图,设水的速度为v1,风的速度为v2,v1+v2=a.易求得a的方向是北偏东30°,a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v,方向由南向北,大小为2 km/h.船本身的速度为v3,则a+v3=v,即v3=v-a,由数形结合知,v3的方向是北偏西60°,大小是 km/h.6.3 平面向量线性运算的应用
[学习目标]　1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决几何问题、物理问题的能力.
一、向量基底法在平面几何中的应用
例1　设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,AB∥DC,试用平面向量证明:PQ∥AB.
反思感悟　用向量解决平面几何问题的方法之一
向量基底法:选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
跟踪训练1　如图所示,已知△ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE交CD于点P,求△APC的面积.
二、向量坐标法在平面几何中的应用
例2　如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用平面向量证明PA=EF.
反思感悟　用向量解决平面几何问题的方法之二
向量坐标法:对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题),通过建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,利用代数运算解决平面几何中的长度、平行等问题.
跟踪训练2　如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=λ+μ,则λ+μ的最大值为　　　　.
三、向量在物理中的应用
知识梳理
我们在物理中已经学习过,利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等,因此,在涉及这些量的运算时,我们都可以借助向量来完成.
(1)力、速度、位移的合成就是向量的加法,符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
(2)力、速度、位移的分解就是向量的减法,符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则.
(3)动量mv就是数乘向量,符合数乘向量的运算律.
例3　如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求绳子AC和BC所受拉力的大小.(绳子的重量忽略不计)
反思感悟　由于力、位移、速度都是向量,对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
跟踪训练3　一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为南偏东30°,风速为4 m/s,这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
1.知识清单:
(1)向量基底法和坐标法在平面几何中的应用.
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳:转化法、数形结合法.
3.常见误区:不能转化为向量问题.
1.在△ABC中,已知顶点A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 (　　)
A.2 B.
C.3 D.
2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,需再加上一个力F4,则F4等于 (　　)
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
3.某人以速度a km/h向东行走,此时正刮着时速为a km/h的南风,那么此人感受到的风向、风速为 (　　)
A.东南风,a km/h B.东风,a km/h
C.南风,a km/h D.西南风,a km/h
4.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
答案精析
例1　证明　设＝λ(λ＞0且λ≠1)，
因为＝－
＝＋－
＝＋(－)
＝＋[(－)－
(＋)]
＝＋(－)
＝(＋)＝(－λ＋1)，
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，
所以PQ∥AB.
跟踪训练1　解　设＝a，＝b为一组基底，
则＝＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
∵点A，P，E三点共线，
∴存在实数λ使得＝λ
＝λa＋λb.
∵点D，P，C三点共线，
∴存在实数μ使＝μ
＝μa＋μb.
又∵＝＋
＝a＋μb，
∴
∴S△PAB＝S△ABC＝14×＝8(cm2)，
S△PBC＝S△ABC＝×14＝2(cm2)，
故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．
例2　证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，
||＝λ(λ>0)，
则F，
P，
E，
A(0，a)．
所以＝，
＝，
因为||2＝2＋2＝λ2－aλ＋a2，
||2＝2＋2
＝λ2－aλ＋a2，
所以||＝||，即PA＝EF.
跟踪训练2　3
例3　解　如图所示，设，分别表示绳子AC，BC所受的拉力，10 N的重力用表示，则＋＝.
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°＝10×
＝5(N)，
||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
故绳子AC所受的拉力为5 N，绳子BC所受的拉力为5 N.
跟踪训练3　解　依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地，如图，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段是 ACDB的对角线．
因为||＝4 m/s，∠ACD＝30°，||＝2 m/s，
所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，||＝||·cos 30°＝2(m/s)．
所以风的实际方向是吹向正南方向；汽车速度的大小为2 m/s.
随堂演练
1．B　2.D　3.A　4.(3,3)

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