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习题课　平面向量的综合问题
[学习目标]　会利用向量的有关知识去解决平面向量的综合问题.
一、共线向量定理的应用
例1　如图所示,在平行四边形ABCD中,=,=,CE与BF相交于G点,记=a,=b,试用基底{a,b}表示.
解　∵E,G,C三点共线,
∴由平面内三点共线可得:存在唯一的实数x使得=x+(1-x),
∵==a,=a+b,
∴=x×a+(1-x)(a+b)=a+(1-x)b. ①
又∵F,G,B三点共线,∴由平面内三点共线可得:存在唯一的实数λ使得=λ+(1-λ)·,
∵==b,
∴=λa+(1-λ)b. ②
由①②两式可得
∴∴=a+b.
反思感悟　本题的解法中由两组三点共线(F,G,B以及E,G,C三点分别在一条直线上),利用平面内三点共线构造方程组求解,避免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本题的复杂运算,达到了简化解题过程的目的.
跟踪训练1　如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于点K,其中=,=,=λ,则λ的值为 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为=,=,
所以=,=2.
由向量加法的平行四边形法则可知,=+,所以=λ=λ(+)=λ=λ+2λ,
由E,F,K三点共线,
可得λ+2λ=1,解得λ=.
二、平面向量基本定理的应用
例2　如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则等于 (　　)
A.- B.-
C.-+ D.-+
答案　C
解析　方法一　如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-,
所以=+=+
=+=+,
于是=-=-
=-=-+.
方法二　=+=+
=-+
=-+
=-+++(++)
=-+.
反思感悟　平面向量基本定理离不开向量的线性运算.
跟踪训练2　如图,半径为的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,则λ+μ等于 (　　)
A. B. C. D.2
答案　A
解析　由题意,得∠AOC=90°,故以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系如图所示,
则O(0,0),A(0,),C(,0),
B.
因为=λ+μ,
所以(,0)=λ(0,)+μ,
即则
所以λ+μ=.
三、向量线性运算中的最值与范围问题
例3　如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正实数),求+的最小值.
解　由题意得=+=-,
所以=m+n
=m+n
=+n,
由P,B,C三点共线得,
m-n+n=m+n=1(m,n>0),
所以+=
=++≥+2
=+=(当且仅当3n2=4m2时取等号),
即+的最小值为.
反思感悟　利用向量的概念及基本运算,将所求问题转化为相应的等式关系,然后用均值不等式求最值.
跟踪训练3　如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若=m+n,则m+n的取值范围是　　　　.
答案　(-1,0)
解析　由点D是圆O外一点,可设=λ(λ>1),
则=+λ=λ+(1-λ).
又因为C,O,D三点共线,
令=-μ(μ>1),
则=--(λ>1,μ>1),
所以m=-,n=-,
则m+n=--=-∈(-1,0).
四、向量在三角形中的应用
例4　(1)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,求m的值.
解　由题意知,点M为△ABC的重心,连接AM并延长交BC于点D(图略).
则=. ①
又∵AD为BC边上的中线,
∴+=2=m,
即2=m. ②
由①②可得m =3.
(2)已知△ABC满足-=k(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
答案　C
解析　如图,取=,
=,
∴||=||=1.
又∵-=k,
∴-=k,
∴=k,∴EF∥BC,
∴=,
∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.
反思感悟　充分利用向量知识找到三角形中边或角之间的关系是解题的突破口.
跟踪训练4　已知点O是△ABC内部一点,并且满足2+3+5=0,△OAC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵2+3+5=0,
∴2(+)=-3(+).
设AC的中点为M,BC的中点为N(图略),
则2=-3,
∴MN为△ABC的中位线,且=,
∴S△OAC=2S△OMC=2×S△CMN=×S△ABC=S△ABC,即=.
1.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为 (　　)
A.m= B.m≠ C.m≠ D.m≠
答案　B
解析　若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,即与不共线,
因为=-=(3,1),
=-=(2-m,1-m),
所以3(1-m)≠2-m,即m≠.
2.如图,设P为△ABC内一点,且2+2+=0,则S△ABP∶S△ABC等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设AB的中点是D(图略),
因为+=2=-,
所以=-,
所以P为CD的五等分点,
所以△ABP的面积为△ABC的面积的.
3.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ,则λ=　 　　,μ=　　 　.
答案　　
解析　以D为原点,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略).不妨设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1).=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),
∵=λ+μ,
∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
∴解得
4.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　　.
答案　5
解析　以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x(0≤x≤a),
∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),
=(2,-x),=(1,a-x),
∴+3=(5,3a-4x),
|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,
当x=时取等号.
∴|+3|的最小值为5.
课时对点练　[分值:65分]
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如图,在△ABC中,=a,=b,=3,=2,则等于 (　　)
A.a+b B.a-b
C.a+b D.-a+b
答案　D
解析　由平面向量的三角形法则,可知=+=+=(-)-=-+=-a+b.
2.(多选)下列结论正确的是 (　　)
A.向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
B.已知直线上有P1,P2,P三点,其中P1(2,-1),P2(-1,3),且=,则点P的坐标为
C.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).若A,B,C三点共线,则k的值为-2或11
D.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y=1
答案　BCD
解析　对于A,向量与是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,A错误;
对于B,设P(x,y),由=,得(x-2,y+1)=(-1-x,3-y),
则解得B正确;
对于C,=-=(k,12)-(4,5)=(k-4,7),
=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k).
∵A,B,C三点共线,∴∥,
∴(k-4)(12-k)-7(k-10)=0,
整理得k2-9k-22=0,
解得k=-2或k=11,C正确;
对于D,∵A,B,C三点共线,
∴存在λ∈R,使=λ,
∴-=λ(-),
∴=(1-λ)+λ,
∴x=1-λ,y=λ,
∴x+y=1,D正确.
3.如图所示,||=||=1,||=,∠AOB=60°,OB⊥OC,设=x+y,则 (　　)
A.x=-2,y=-1 B.x=-2,y=1
C.x=2,y=-1 D.x=2,y=1
答案　B
解析　过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D,连接BC,如图所示.
因为∠AOB=60°,OB⊥OC,所以∠COD=30°,
在Rt△ODC中,||=,∠OCD=90°,
OD==2=2CD,因为||=1,所以CD=OB=1,
所以四边形OBCD为平行四边形,
所以=+=-2+,
因为=x+y,
所以x=-2,y=1.
4.我国东汉末三国初的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“勾股圆方图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若=a,=b,=3,则等于 (　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
答案　B
解析　因为“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,且=a,=b,=3,
则=+=+=+(+)=+=-+,解得=+,
所以=a+b.
5.如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个动点,若=x+y(x>0,y>0),则的最大值为 (　　)
A. B. C.1 D.2
答案　A
解析　设BD,AE交于点O(图略),
因为DE∥AB,
所以△AOB∽△EOD,所以==2,
所以AO=2OE,则=,
所以=x+y=x+y,
因为O,F,B三点共线,
所以x+y=1,即2-3x=2y,
因为x>0,y>0,
所以==,
4y+≥2=4,
当且仅当4y=,即y=时,等号成立,此时x=,
所以=≤=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且||=||,则点P的坐标为　　　　.
答案　(8,-15)
解析　∵点P在线段AB的延长线上,且||=||,
∴=,
∴=+2=(4,-3)+2(2,-6)
=(8,-15).
所以点P的坐标为(8,-15).
7.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近A点的三等分点,若=+,则m=　　　　.
答案　
解析　因为N为线段AC上靠近A点的三等分点,所以 =+=+(-)=m+=m+,
因为B,P,N三点共线,
所以+m=1,m=.
8.已知△ABC的三个顶点都在圆O上,=+,且||=10,则圆O的面积为　　　　.
答案　25π
解析　设BC的中点为D,因为=+=(+)=×2=,
所以点O与点D重合,
即△ABC的外接圆的圆心是边BC的中点,
因此△ABC是以BC为斜边的直角三角形,
因为||=10,
所以OA=OB=OC=||=5,
故圆O的面积为π·52=25π.
三、解答题(共25分)
9.(12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=8,BC=CD=4,点P在线段AD上运动.求|+|的取值范围.
解　以点A为原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(8,0),D(2,2),
设=λ(λ∈[0,1]),
易知点P的坐标为(2λ,2λ),
则+=(-2λ,-2λ)+(8-2λ,-2λ)
=(8-4λ,-4λ),
则|+|==8=8,
又∵λ∈[0,1],
∴|+|max=8,|+|min=4,
∴|+|∈[4,8].
10.(13分)已知平行四边形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示;(5分)
(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如图建立直角坐标系,求和的坐标.(8分)
解　(1)=+,
=+,又=2,所以-=2(-),
所以=+=+.
(2)过点D作AB的垂线交AB于点D',如图所示,
在Rt△ADD'中,由∠BAD=45°可知,AD'=3,
根据题意得各点坐标为A(0,0),B(6,0),D(3,3),
F(7,1),=+
=(6,0)+(3,3)=,
所以G,
所以==,
=(4,-2).习题课　平面向量的综合问题
[学习目标]　会利用向量的有关知识去解决平面向量的综合问题.
一、共线向量定理的应用
例1　如图所示,在平行四边形ABCD中,==,CE与BF相交于G点,记=a,=b,试用基底{a,b}表示.
反思感悟　本题的解法中由两组三点共线(F,G,B以及E,G,C三点分别在一条直线上),利用平面内三点共线构造方程组求解,避免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本题的复杂运算,达到了简化解题过程的目的.
跟踪训练1　如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于点K,其中===λ,则λ的值为 (　　)
A. B.
C. D.
二、平面向量基本定理的应用
例2　如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则等于 (　　)
A.- B.-
C.-+ D.-+
跟踪训练2　如图,半径为的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,则λ+μ等于 (　　)
A. B.
C. D.2
三、向量线性运算中的最值与范围问题
例3　如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正实数),求+的最小值.
反思感悟　利用向量的概念及基本运算,将所求问题转化为相应的等式关系,然后用均值不等式求最值.
跟踪训练3　如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若=m+n,则m+n的取值范围是　　　　.
四、向量在三角形中的应用
例4　(1)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,求m的值.
(2)已知△ABC满足-=k(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
反思感悟　充分利用向量知识找到三角形中边或角之间的关系是解题的突破口.
跟踪训练4　已知点O是△ABC内部一点,并且满足2+3+5=0,△OAC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则等于 (　　)
A. B.
C. D.
1.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为 (　　)
A.m= B.m≠
C.m≠ D.m≠
2.如图,设P为△ABC内一点,且2+2+=0,则S△ABP∶S△ABC等于 (　　)
A. B.
C. D.
3.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ,则λ=　 　　,μ=　　 　.
4.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　　.
答案精析
例1　解　∵E，G，C三点共线，
∴由平面内三点共线可得：存在唯一的实数x使得
＝x＋(1－x)，
∵＝＝a，＝a＋b，
∴＝x×a＋(1－x)(a＋b)
＝a＋(1－x)b.①
又∵F，G，B三点共线，∴由平面内三点共线可得：存在唯一的实数λ使得＝λ＋(1－λ)·，
∵＝＝b，
∴＝λa＋(1－λ)b.②
由①②两式可得
∴∴＝a＋b.
跟踪训练1　A
例2　C
跟踪训练2　A
例3　解　由题意得＝＋＝－，
所以＝m＋n
＝m＋n
＝＋n，
由P，B，C三点共线得，
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2
＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时取等号)，
即＋的最小值为.
跟踪训练3　(－1,0)
例4　(1)解　由题意知，点M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于点D(图略)．
则＝.①
又∵AD为BC边上的中线，
∴＋＝2＝m，
即2＝m.②
由①②可得m＝3.
(2)C　[如图，取＝，
＝，
∴||＝||＝1.
又∵－＝k，
∴－＝k，
∴＝k，∴EF∥BC，
∴＝，
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．]
跟踪训练4　A
随堂演练
1．B　2.A　3.　　4.5

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