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章末复习课
一、向量的线性运算
1.向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间联系密切.
2.通过向量的线性运算,培养数学运算和逻辑推理素养.
例1　在△ABC中,若点D满足=2,则等于 (　　)
A.+ B.-
C.- D.+
答案　D
解析　如图所示,由题意可得=+=+=+(-)=+.
反思感悟　此类平面向量的线性运算问题,求解的关键是结合图形,正确运用平面向量加减运算的三角形法则,通过对向量的逐步分解即可求得答案.
跟踪训练1　如图所示,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于 (　　)
A. B.
C. D.2
答案　B
解析　因为=λ+μ
=λ(+)+μ(+)
=λ+μ(-+)
=(λ-μ)+,
且=+,所以解得
所以λ+μ=.
二、平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理的引入为向量的加、减、数乘的坐标运算提供了有力的理论依据,利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底,常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题.
2.通过平面向量基本定理的应用,培养逻辑推理素养.
例2　如图,在△AOB中,D是边OB的中点,C是边OA上靠近O的三等分点,AD与BC交于M点.设=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)过点M的直线与边OA,OB分别交于E,F.设=p,=q,求+的值.
解　(1)设=xa+yb,
则=-=xa+yb-a=(x-1)a+yb,
=-=-a+b,
=-=xa+yb-b=xa+(y-1)b,
=-=-=a-b,
因为A,M,D三点共线,所以,共线,
从而(x-1)=-y, ①
又C,M,B三点共线,所以,共线,
同理可得(y-1)=-x, ②
联立①②,解得故=a+b.
(2)=-=a+b-pa
=a+b.
=-=qb-pa,
因为,共线,所以q=-p,
整理得+=5.
反思感悟　运用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
跟踪训练2　在△ABC中,=,过点D作DE∥BC,与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,如图所示.设=a,=b,试用基底{a,b}表示.
解　因为M为BC的中点,
所以==(-)=(b-a),
=(+)=(a+b).
因为DN∥BM,AN与AM共线,
所以存在实数λ,μ使得=λ=λ(b-a),
=μ=μ(a+b)=a+b.
所以=+=a+λ(b-a)
=a+b,
所以根据平面向量基本定理,得
解得
所以=(b-a)=-a+b.
三、向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模,判断共线、平行等问题.
2.通过向量的坐标运算,培养数学运算素养.
例3　已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),试求当λ为何值时:
(1)点P在第一、三象限的角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
解　设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+λ,
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,∴λ=.
(2)若点P在第三象限内,则∴λ<-1.
反思感悟　解决向量问题时,把题中向量用坐标形式表示出来,运用坐标运算方法来解决是一种重要途径.
跟踪训练3　平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且=,连接DC并延长至点E,使||=||,则点E的坐标为　　　　.
答案　
解析　因为=,所以-=(-).
所以=2-=(3,-6),所以点C的坐标为(3,-6).
由||=||,且E在DC的延长线上,
得=-.设E(x,y),
则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),
得解得
即E.
四、向量在平面几何中的应用
1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基底表示涉及的向量;一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
2.借助向量在平面几何中的应用,提升数学抽象和数学运算素养.
例4　已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).
(1)证明　以C为坐标原点,边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(0,m),B(n,0).
因为D为AB的中点,所以D,
所以||=,||=,
所以||=||,即CD=AB.
(2)解　因为E为CD的中点,所以E,
设F(x,0),则=,=(x,-m).
因为A,F,E三点共线,所以=λ(λ>1),
即(x,-m)=λ,
则解得
所以F,所以||=,
即AF=.
反思感悟　把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.
跟踪训练4　如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.
(1)用a,b表示向量,,,,;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解　∵=(+)=(a+b),
∴==(a+b),∵==b,
∴=-=(a+b)-a=b-a,
=-=b-a.
(2)证明　由(1)知=-a+b,
=-a+b,
∴=,∴与共线.
又,有公共点B,∴B,E,F三点共线.章末复习课
一、向量的线性运算
1.向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间联系密切.
2.通过向量的线性运算,培养数学运算和逻辑推理素养.
例1　在△ABC中,若点D满足=2,则等于 (　　)
A.+ B.-
C.- D.+
反思感悟　此类平面向量的线性运算问题,求解的关键是结合图形,正确运用平面向量加减运算的三角形法则,通过对向量的逐步分解即可求得答案.
跟踪训练1　如图所示,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于 (　　)
A. B.
C. D.2
二、平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理的引入为向量的加、减、数乘的坐标运算提供了有力的理论依据,利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底,常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题.
2.通过平面向量基本定理的应用,培养逻辑推理素养.
例2　如图,在△AOB中,D是边OB的中点,C是边OA上靠近O的三等分点,AD与BC交于M点.设=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)过点M的直线与边OA,OB分别交于E,F.设=p=q,求+的值.
反思感悟　运用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
跟踪训练2　在△ABC中,=,过点D作DE∥BC,与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,如图所示.设=a,=b,试用基底{a,b}表示.
三、向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模,判断共线、平行等问题.
2.通过向量的坐标运算,培养数学运算素养.
例3　已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),试求当λ为何值时:
(1)点P在第一、三象限的角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
反思感悟　解决向量问题时,把题中向量用坐标形式表示出来,运用坐标运算方法来解决是一种重要途径.
跟踪训练3　平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且=,连接DC并延长至点E,使||=||,则点E的坐标为　　　　　　　.
四、向量在平面几何中的应用
1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基底表示涉及的向量;一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
2.借助向量在平面几何中的应用,提升数学抽象和数学运算素养.
例4　已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).
反思感悟　把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.
跟踪训练4　如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,==a,=b.
(1)用a,b表示向量;
(2)求证:B,E,F三点共线.
答案精析
例1　D
跟踪训练1　B
例2　解　(1)设＝xa＋yb，
则＝－＝xa＋yb－a
＝(x－1)a＋yb，
＝－＝－a＋b，
＝－＝xa＋yb－b
＝xa＋(y－1)b，
＝－＝－＝a－b，
因为A，M，D三点共线，
所以，共线，
从而(x－1)＝－y，①
又C，M，B三点共线，所以，共线，
同理可得(y－1)＝－x，②
联立①②，解得
故＝a＋b.
(2)＝－＝a＋b－pa
＝a＋b.
＝－＝qb－pa，
因为，共线，
所以q＝－p，
整理得＋＝5.
跟踪训练2　解　因为M为BC的中点，
所以＝＝(－)＝(b－a)，
＝(＋)＝(a＋b)．
因为DN∥BM，AN与AM共线，
所以存在实数λ，μ
使得＝λ＝λ(b－a)，
＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
所以＝＋
＝a＋λ(b－a)
＝a＋b，
所以根据平面向量基本定理，得
解得
所以＝(b－a)＝－a＋b.
例3　解　设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，
则∴λ<－1.
跟踪训练3　
例4　(1)证明　以C为坐标原点，边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，m)，B(n,0)．
因为D为AB的中点，
所以D，
所以||＝，
||＝，
所以||＝||，
即CD＝AB.
(2)解　因为E为CD的中点，
所以E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
因为A，F，E三点共线，
所以＝λ(λ>1)，
即(x，－m)＝λ，
则解得
所以F，
所以||＝，
即AF＝.
跟踪训练4　(1)解　∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，
∵＝＝b，
∴＝－＝(a＋b)－a
＝b－a，
＝－＝b－a.
(2)证明　由(1)知＝－a＋b，
＝－a＋b，
∴＝，∴与共线．
又，有公共点B，∴B，E，F三点共线．

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