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2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编 02
1. (湖南省长郡中学 2024- 2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)如图，已知长方体ABCD-
A B C D 中，AB=BC= 2，AA = 2，O为正方形ABCD的中心点，将长方体ABCD-A B C D 绕
直线OD 进行旋转．若平面 α满足直线OD 与 α所成的角为 53°，直线 l⊥ α，则旋转的过程中，直线
AB 4与 l夹角的正弦值的最小值为 ( ) (参考数据：sin53° ≈ ，cos53° ≈ 3 )
5 5
A. 4 3-3 B. 3 3-4 C. 3 3+3 D. 4 3+3
10 10 10 10
2. (湖南省长郡中学 2024 - 2025 学年高三上学期第一次调研考试数学试题 ) 已知函数 f x =
2sin ωx+φ ω>0, φ < π x∈R f x+ π ，对于任意的 ， = f π -x f x + f π， -x = 0都恒成2 12 12 2
π
立，且函数 f x 在 - ,0 上单调递增，则ω的值为 ( )10
A. 3 B. 9 C. 3或 9 D. 3
3. (湖南省长沙市六校 2025届高三九月大联考数学试卷)已知 f x 的定义域为R,f x+y + f x-y =
2025
3f x f y ，且 f
1
1 = ，则
3 f(k) = ( )k=1
A. - 1 B. - 2 C. 1 D. 2
3 3 3 3
4. (山东省济南市 2025届高三上学期开学摸底考试数学试题)设 x1< x2< x3< x4< x5，随机变量 ξ1取
值 x1,x2,x3,x4,
x1+2x2 , x2+2x3 , x3+2x4 , x4+2x5 , x5+2xx5的概率均为 0.2，随机变量 ξ2取值 1 的概3 3 3 3 3
率也均为 0.2，则 ( )
A. E ξ1 >E ξ2 B. E ξ1 D ξ2 D. D ξ1 5. (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)在正四棱锥P-A1B1C1D1中，PB1
⊥PD1．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCD-A1B1C1D1,AB= 1,A1B1=
2，则几何体ABCD-A1B1C1D1的体积为 ( )
A. 2 B. 4 2 C. 7 2 D. 17 2
6 3 6 9
1
6. (福建省漳州市 2025 π届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)已知函数 f x = tan ωx+ (ω4
> 0)，若方程 f x = 1在区间 0,π 上恰有 3个实数根，则ω的取值范围是 ( )
A. 2,3 B. 2,3 C. 3,4 D. 3,4
7. (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)已知函数 f x = 2x+ 2-x+ cosx+
x2，若 a= f -3 ,b= f e ,c= f π ，则 ( )
A. b< a< c B. b< c< a C. c< a< b D. c< b< a
8. (福建省名校联盟 2024 - 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)已知函数 f x = lnx -
a+1 x+ 1，g x = a x2+1 .当 x≥ 1时，2f x + g x ≥ 0恒成立，则 a的取值范围为 ( )
A. 0,1 B. 1,+∞ C. 0,1 D. 1,+∞
9. (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)如图，将绘有函数 f x =
M sin π x+φ (M> 0，0< φ< π) 2π部分图像的纸片沿 x轴折成钝二面角，夹角为 ，此时A，B之间3 3
的距离为 15，则 φ= ( )
A. π B. π C. 2π D. 5π
6 3 3 6
10. (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)已知 f(x) = 2x+ 2-x+
cosx+ x2，若 a= f(4lnπ3)，b= f(πln43)，c= f(4ln3π)，则 ( )
A. a< b< c B. b< c< a C. c< a< b D. b< a< c
11. (安徽省六校教育研究会 2025 x届高三上学期入学考试数学试卷)若当 x∈ 0,2π 时，函数 y= sin 与
2
y= 2sin ωx- π (ω> 0)的图象有且仅有 4个交点，则ω的取值范围是 ( )4
A. 9 , 13 B. 9 , 13 C. 13 , 17 D.8 8 8 8 8 8
13 , 17
8 8
12. (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)已知函数 f x 的定义域为 R，且
24
f x+2 + f x = f 12 ,f 1 1 1 -3x+1 为奇函数，且 f = ，则∑kf k- = ( )2 2 k=1 2
2
A. - 11 B. - 1 C. 21 D. 0
2 2
13. (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)已知函数 f x 的定义域为R,y= f x + ex是偶函
数，y= f x - 3ex是奇函数，则 f ln3 的值为 ( )
A. 7 B. 3 C. 10 D. 11
3 3 3
14. (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)数列 an 的前 n项和为 Sn，满足 an+1- an= {1,
3},a1= 2，则S10可能的不同取值的个数为 ( )
A. 45 B. 46 C. 90 D. 91
15. (安徽省亳州市 2024- 2025学年高三上学期开学摸底大联考数学试题)数列 an 的前n项和为Sn，满
足 an+1- an= dn∈ 1,3 ,a1= 2，则S10可能的不同取值的个数为 ( )
A. 45 B. 46 C. 90 D. 91
2
16. ( x安徽省安徽师范大学附属中学 2025届高三上学期 9月第一次测试数学试题)F1,F2是双曲线E: -
a2
y2 = 1 a,b>0 的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在 x轴上，满足∠F1MN=∠F2MN=
b2

60°，若 3MF1+ 5MF2= λMN λ∈R ，则双曲线E的离心率为
( )
A. 8 B. 6 C. 5 D. 7
7 5 3 2
17. (安徽省多校联考 2025届高三上学期开学质量检测数学试题)若锐角 θ满足 tan2θ= 2 3 cosθ，数列
an 的前 n S
10 3n 56
项和为 n,a1= 1,nan+1= +cos4θ n+1 a ，则使得 S + < 成立的 n的最大9 n n 2 3n 25
值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
a a18. 1根据递推公式分析可知数列 n 1 是以首项 = 1，公比为 的等比数列，进而可得 a ；n 1 3 n
19.利用裂项相消法求Sn，代入解不等式即可.
2 y2
20. (浙江省名校协作体 2024- 2025 x学年高三上学期开学考试数学试题)已知A,B是椭圆 + = 1与
4 3
x2 - y
2
双曲线 = 1的公共顶点，M是双曲线上一点，直线MA,MB分别交椭圆于C,D两点，若直线
4 3
CD过椭圆的焦点F，则线段CD的长度为 ( )
3
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 3
2 2
21. (浙江省名校协作体 2024- 2025学年高三上学期开学考试数学试题)正三棱台ABC-A1B1C1中，
AB= 2A1B1= 2 3 ,AA1= 2，点D为棱AB中点，直线 l为平面A1B1C1内的一条动直线．记二面角C
- l-D的平面角为 θ，则 cosθ的最小值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 7 D. 1
8 14 7
22. (江苏省海安高级中学 2025届高三上学期期初检测数学试卷)已知 a> 0，b> 0，log9a= log12b=
log16 a+b a ，则 = ( )b
A. 2-1 B. 3-1 C. 1 D. 5-1
2 2 2 2
23. (江苏省海安高级中学 2025届高三上学期期初检测数学试卷)已知 a= 5，b= 15(ln4- ln3)，c= 16
(ln5- ln4)，则 ( )
A. a< c< b B. c< b< a C. b< a< c D. a< b< c
24. (河北省部分地区 2025届高三上学期 9月摸底考试数学试卷)边长为 2的正方形ABCD的中心为O，
将其沿对角线AC折成直二面角.设E为AD的中点，F为BC的中点，将△EOF绕直线EF旋转一周
得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为 ( )
A. π B. 3π C. π D. 3π
2 4 2
25. (河北省部分地区 2025届高三上学期 9月摸底考试数学试卷)在空间直角坐标系Oxyz中，平面Oxy、
平面Oxz、平面Ozx把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系Oxyz中，确定若干个点，点的横坐
标、纵坐标、竖坐标均取自集合 -3,4,7 ，这样的点共有m个，从这m个点中任选 2个，则这 2个点不
在同一个部分的概率为 ( )
A. 16 B. 302 C. 24 D. 26
351 351 117 117
26. (河北省唐山市 2024- 2025学年高三上学期摸底演练数学试题)已知半径为 1的球可以整体放入圆锥
容器 (容器壁厚度忽略不计)内，则该圆锥容器容积的最小值为 ( )
A. 3π B. 2π C. 32π D. 8π
9 3
27. (多选题) (湖南省长郡中学 2024- 2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)嫁接，是植物的人
工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长
成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，
其中AC,BD分别为两个截面椭圆的长轴，且A,C,B,D都位于圆柱的同一个轴截面上，AD是圆柱截
4
面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为 e1,e2，则能够保证 CD ≥ 2 AB 的 e1,e2的
值可以是 ( )
A. e1= 6 ,e = 22 B. e = 1 ,e = 53 2 1 2 2 5
C. e 31= ,e 402= D. e = 3 ,e = 22 7 1 3 2 4
28. (多选题) (湖南省长郡中学 2024- 2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)对于任意实数 x,
y，定义运算“ ”x y= x-y + x+ y，则满足条件 a b= b c的实数 a,b,c的值可能为 ( )
A. a=-log0.50.3，b= 0.40.3，c= log0.50.4 B. a= 0.40.3，b= log0.50.4，c=-log0.50.3
C. a= 0.09，b= 0.1，c= ln 10 D. a= 0.1 b= ln 10， ，c= 0.09
e0.1 9 e0.1 9
29. (多选题) (湖南省长沙市六校 2025届高三九月大联考数学试卷)中国结是一种手工编织工艺品，因为
其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．
中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈
现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的
双纽线．曲线C:(x2+ y2)2= 9(x2- y2)是双纽线，则下列结论正确的是 ( )
A. 曲线C的图象关于 y= x对称
B. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过 3
C. 曲线C经过 7个整点 (横、纵坐标均为整数的点)
D. 若直线 y= kx与曲线C只有一个交点，则实数 k的取值范围为 (-∞,-1]∪ [1, +∞)
30. (多选题) (湖南省长沙市六校 2025届高三九月大联考数学试卷)已知函数 f x = x2- 2lnx，则下列选
项中正确的是 ( )
A. 函数 f x 的极小值点为 x= 1
B. f e > f 3 e
C. 若函数 g x = f x - t有 4个零点，则 t∈ 1,+∞
D. 若 f x1 = f x2 x1≠x2 ，则 x1+ x2< 2
5
31. (多选题) (山东省济南市 2025届高三上学期开学摸底考试数学试题)已知函数 f x = x3- 3x2+ ax-
a+ 1，则 ( )
A. f x 至少有一个零点 B. 存在 a，使得 f x 有且仅有一个极值点
C. 点 1,-1 是曲线 y= f x 的对称中心 D. 当 a≤ 0时，f x 在 0,1 上单调递减
32. (多选题) (山东省济南市 2025届高三上学期开学摸底考试数学试题)在平面直角坐标系 xOy中，已知
点A -1,0 ，B 1,0 ，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是 2.设动点M x,y 的轨迹为
曲线C，则 ( )
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C关于某条直线对称
C. 若曲线C与直线 y= kx(k> 0)无交点，则 k≥ 1
D. 在曲线C上取两点P a,b ，Q c,d ，其中 a< 0，c> 0，则 PQ > 2
33. (多选题) (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)已知定义在R上的函数
f x 不恒等于 0,f π = 0，且对任意的 x,y∈R，有 f 2x + f 2y = 2f x+y f x-y ，则 ( )
A. f 0 = 1 B. f x 是偶函数
C. f x 的图象关于点 π,0 中心对称 D. 2π是 f x 的一个周期
34. (多选题) (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)在 2024年巴黎奥运会艺
术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获
得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 C :y2=
2px(p> 0)绕其顶点分别逆时针旋转 90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的 (如图阴影区域)，A,
B为C与其中两条曲线的交点，若 p= 1，则 ( )
A. 1开口向上的抛物线的方程为 y= x2 B. AB = 4
2
C. 3直线 x+ y= t截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于 4
4
35. (多选题) (福建省名校联盟 2024- 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)记△ABC的内角A,
6
B,C的对边分别为 a,b,c，且 asinB+ csinA= 5sinA,bc= b+ c+ 1，△ABC的面积为 2 2，则△ABC
的周长可能为 ( )
A. 8 B. 5+ 17 C. 9 D. 5+ 15
36. (多选题) (福建省名校联盟 2024- 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)已知函数 f x =
sinx+ cosx+ x，则下列结论正确的是 ( )
A. f x y B. f x - π π 的图象关于 轴对称 的图象关于点 ,- 对称4 4
C. f x
π
的图象关于直线 x= 对称 D. x= π 是 f x 的极大值点
2 2
37. (多选题) (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)抛物线C :x2=
2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到 (t,1)时，|PF | = 2，直线 l与抛物线相交于A、B两点，
下列结论正确的是 ( )
A. 抛物线的方程为：x2= 8y
B. 抛物线的准线方程为：y=-1
C. 当直线 l过焦点F时，以AF为直径的圆与 x轴相切
D. AF + BF ≥ 4
38. (多选题) (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)已知函数 f x ，
g x 的定义域为R，g x 的导函数为 g x ，且 f x + g x = 5，f x-1 - g 5-x = 5，若 g x 为偶
函数，则下列说法正确的是 ( )
A. f 0 = 5
2024
B. f n =10120
n=1
C. 若存在 x0使 f x 在 0,x0 上单调递增，在 x0,2 上单调递减，则 g x 的极小值点为 4k k∈Z
D. 若 f x 为偶函数，则满足题意的 f x 唯一，满足题意的 g x 不唯一
39. (多选题) (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)1694年瑞士数学家雅各布
伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系 xOy中，把到定点
F1 -a,0 ,F2 a,0 距离之积等于 a2(a> 0)的点的轨迹称为双纽线，已知点P x0,y0 是 a= 1时的双纽
线C上一点，下列说法正确的是 ( )
A. 双纽线C的方程为 x2+y2 2 = 2 x2-y2 B. - 1 ≤ y ≤ 12 0 2
7
C. 双纽线C上满足 PF1 = PF2 的点有 2个 D. PO 的最大值为 2
40. (多选题) (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)已知函数 f x = ex,g x =
lnx，则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 f x 的图像与函数 y= x2的图像有且仅有一个公共点
B. 函数 f x 的图像与函数 g x 的图像没有公切线
g x
C. 函数 φ x = ，则 φ x 有极大值，且极大值点 x0∈ 1,2
f x
D. 当m≤ 2时，f x > g x+m 恒成立
41. (多选题) (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)设函数 f x = (x- a)2 x-4 ，定义域为
R，若关于 x的不等式 f x ≥ 0的解集为 {x x≥ 4或 x= 1}，下列说法正确的是 ( )
A. f x 的极大值为 0
B. 点 2,-2 是曲线 y= f x 的对称中心
C. 直线 y= 9x- 4与函数 f x 的图象相切
D. 若函数 f x 在区间 m,4 上存在最小值，则m的取值范围为 0,3
42. (多选题) (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)已知曲线C : x2+y2-2 2 = 4+ 8xy，点
P x0,y0 为曲线C上任意一点，则 ( )
A. 曲线C的图象由两个圆构成 B. x20+ y20的最大值为 2 2
y0+2C. 1+ 的取值范围为

- ,1 D. 直线 y= x+ 2与曲线C有且仅有 3个交点x0 4 7
43. (多选题) (安徽省安徽师范大学附属中学 2025届高三上学期 9月第一次测试数学试题)1675年，天文
学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的
点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系 xOy中，设定点 F1 -c,0 ，F2 c,0 ，其中 c> 0，动点
P x,y 满足 PF 21 PF2 = a (a≥ 0且 a为常数)，化简可得曲线 C：x2+ y2+ c2= 4c2x2+a4 ，则
( )
A. 原点O在曲线C的内部 B. 曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 若 a= c，则 OP 的最大值为 2a D. 若 0< a≤ 2c，则存在点P，使得PF1⊥PF2
2
44. (多选题) (安徽省多校联考 2025 x届高三上学期开学质量检测数学试题)设 F1,F2分别为椭圆C : +4
y2 = 1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，则 ( )
2
A. 存在四个点P，使得PF1⊥PF2
8
B. 若点P不在 x轴上，直线PF 21的斜率是直线PF2的斜率的-3倍，则点P的横坐标为- 2

C. 存在点P，使得PF1 PF2= 1
49 PF2
2+ PF1 2D. 的最小值为 14
PF1 PF2
45. (多选题) (江苏省海安高级中学 2025届高三上学期期初检测数学试卷)已知函数 f x = cosxsin2x．
则下列结论正确的是 ( )
A. y= f π x 图像关于点 π,0 中心对称 B. y= f x 图像关于直线 x= 对称
2
C. f 3 x 的最大值为 D. f x 既是奇函数又是周期函数
2
46. (多选题) (河北省部分地区 2025届高三上学期 9月摸底考试数学试卷)已知数列 {an}满足 an+1= 2an
+n- 1，且 a1= 2，记 {an}的前项和为Tn，{Tn}的前项和为Sn，则下列说法中正确的是 ( )
n2A. {an}的通项公式为 a = 3× 2n-1n -n B. Tn= 3× 2n- 3- +n2
C. S2n< an+1+n+10 D. 数列 n 是等差数列2
2
47. ( ) ( 2024- 2025 ) C : x
2 y
多选题 河北省唐山市 学年高三上学期摸底演练数学试题 已知双曲线 - = 1
4 16
与直线 l:y= kx+ t k≠±2 有唯一公共点M，过点M且与 l垂直的直线分别交 x轴，y轴于A m,0 ，
B 0,n 两点，当M运动时，下面说法正确的有 ( )
A. k<-2或 k> 2 B. 记点P k,t ，则点P在曲线C上
C. 直线 l与两渐近线所围成的面积为定值 D. 记点Q m,n ，则点Q的轨迹为椭圆
48. (湖南省长郡中学 2024- 2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)清代数学家明安图所著《割
圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”(以比利时数学家欧仁 查理 卡特兰的名字命名).有如
下问题：在 n× n的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中
只能在左下角与右上角的连线的右下方 (不能穿过，但可以到达该连线)，则共有多少种不同的走法？
此问题的结果即卡特兰数Cn -Cn-12n 2n .如图，现有 3× 4的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左
下角A走到右上角B共有 种不同的走法；若要求从左下角A走到右上角B的过程中只能在
直线AC的右下方，但可以到达直线AC，则有 种不同的走法.

9
49. (湖南省长沙市六校 2025届高三九月大联考数学试卷)十四届全国人大一次会议于 2023年 3月 5日
在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的 5名工作人员分配到 3个会议厅负责进场引
导工作，每个会议厅至少 1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安
排方法共有 种． (用数字作答)
2 y2
50. (湖南省长沙市六校 2025 x届高三九月大联考数学试卷)已知双曲线E: - = 1(a> 0,b> 0)的左、
a2 b2
右焦点分别为 F1,F2，离心率为 2，过点 F1的直线 l交 E的左支于A,B两点. OB = OF1 (O为坐标原
点) d，记点O到直线 l的距离为 d，则 = .
a
51. (山东省济南市 2025届高三上学期开学摸底考试数学试题)数列 an 满足 a1∈ -1,1 ，an+1= 2a2n-
1，记 Tn= a 21a2a3 αn，则 1-a1 T2025的最大值为 .
52. (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)已知数列 an 的前 n项和 S 2n= n
+ S +9n，当 n 取最小值时，n= .
an
53. (福建省名校联盟 2024- 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)已知 a> 0，b> 0，且 a b +
2b a= ab 2 + 1，则 = ， a+ 2 b的最小值为 ．
a b
54. (福建省名校联盟 2024- 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)对于任意的 x,y∈ R，函数
f x 满足 f x+y + f x-y = 2f x f y ，函数 g x 满足 g x+y = g x g y .若 f 2 =-1，g 3 =
8，则 g f 2024 = .
2
55. ( x福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)已知椭圆方程为 +
a2
y2 2 y2= 1(a> b> 0) x，双曲线方程为 - = 1(m> 0,n> 0)，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四
b2 m2 n2
个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和
为 ．
56. (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)已知 f(x)是定义在R上
1012
的奇函数，f(1) = 1，且对任意 x< 0 1，均有 f = xf 1- ，则 f
1 f 1- = ．x 1 x k=1 k 2025 k
57. (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)倾斜角为锐角的直线 l经过双曲线C:
x2 y
2
- = 1(m> 0)的左焦点F1，分别交双曲线的两条渐近线于A,B两点，若线段AB的垂直平分
3m2 m2
线经过双曲线C的右焦点F2，则直线 l的斜率为 .
58. (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)我国河流旅游资源非常丰富，夏季到
10
景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共 6个人，包括 4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景
点现有 3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘 3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，
则不同的乘船方式共有 种.
59. (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)已知函数 f x = 2sinωx与 g x = 2cosωx(ω> 0)
的图象上任意 3个相邻的交点构成直角三角形，则ω= ．
60. (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)用 n个不同的元素组成m个非空集合 (1≤m≤
n，每个元素只能使用一次)，不同的组成方案数记作 Smn ，且当 n>m≥ 2时，Sm= Sm-1 mn n-1 +mSn-1．现
有 7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得A,B,C,D四种不同卡片中一张，获得每
种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这 7名同学获得卡片后，可集齐全 4种卡片的概率为
．
61. (安徽省安徽师范大学附属中学 2025届高三上学期 9月第一次测试数学试题)已知正数 x，y满足 x+
2 2
y= 6 x y，若不等式 a≤ + + + 恒成立，则实数 a的取值范围是 ．x 1 y 2
62. (安徽省安徽师范大学附属中学 2025届高三上学期 9月第一次测试数学试题)已知函数 f x =
x+1 e
x, x≤0
2
lnx ，函数 g x = f x - a+2 f x + 2a，若函数 g x> 恰有三个零点，则 a的取值范围x , x 0
是 .
63. (浙江省名校协作体 2024- 2025学年高三上学期开学考试数学试题)已知正实数 a满足 a a < a a，
则 a的取值范围是 ．
64. (浙江省名校协作体 2024- 2025学年高三上学期开学考试数学试题)将 12张完全相同的卡牌分成 3
组，每组 4张．第 1组的卡牌左上角都标 1，右下角分别标上 1，2，3，4；第 2组的卡牌左上角都标 2，右
下角分别标上 2，3，4，5；第 3组的卡牌左上角都标 3，右下角分别标上 3，4，5，6．将这 12张卡牌打乱
放在一起，从中随机依次不放回选取 3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列
的概率为 ．
65. (江苏省海安高级中学 2025届高三上学期期初检测数学试卷)若存在实数 t，对任意的 x∈ (0，s]，不等
式 (lnx- x+ 2- t) (1- t- x)≤ 0成立，则整数 s的最大值为 ． (ln3≈ 1.099，ln4≈ 1.386)
66. (河北省部分地区 2025届高三上学期 9月摸底考试数学试卷)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲
产品 x件，乙产品件 y时，总成本为C= x2+ 2xy+ 3y2+ 5(单位：万元).若甲产品的产量不超过 5件，
且甲、乙两种产品的产量之和不超过 10件.则总成本C的最小值为 万元.
67. (河北省唐山市 2024- 2025学年高三上学期摸底演练数学试题)在正八面体ABCDEF中，任取四个
顶点，则这四点共面的概率为 ；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为 ．
11
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编 02
1. (湖南省长郡中学 2024- 2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)如图，已知长方体ABCD-
A B C D 中，AB=BC= 2，AA = 2，O为正方形ABCD的中心点，将长方体ABCD-A B C D 绕
直线OD 进行旋转．若平面 α满足直线OD 与 α所成的角为 53°，直线 l⊥ α，则旋转的过程中，直线
AB 4与 l夹角的正弦值的最小值为 ( ) (参考数据：sin53° ≈ ，cos53° ≈ 3 )
5 5
A. 4 3-3 B. 3 3-4 C. 3 3+3 D. 4 3+3
10 10 10 10
【答案】A
【解析】在长方体ABCD-A B C D 中，AB C D ，则直线AB与 l的夹角等于直线C D 与 l的夹角．
长方体ABCD-A B C D 中，AB=BC= 2，AA = 2，O为正方形ABCD的中心点，
2 2 2
则OD =OC = 2 +22 + 2 2 = 2，又C D = 2，
所以△OC D 是等边三角形，故直线OD 与C D 的夹角为 60°．
则C D 绕直线OD 旋转的轨迹为圆锥，如图所示，∠C D O= 60°．
因为直线OD 与 α所成的角为 53°，l⊥ α，所以直线OD 与 l的夹角为 37°．
在平面C D O中，作D E，D F，使得∠OD E=∠OD F= 37°．
结合图形可知，当 l与直线D E平行时，C D 与 l的夹角最小，为∠C D E= 60° -37° = 23°，
易知∠C D F= 60° +37° = 97°．
设直线C D 与 l的夹角为 φ，则 23° ≤ φ≤ 90°，故当 φ= 23°时 sinφ最小，
而 sin23° = sin 60°-37° = sin60°cos37° -cos60°sin37°
= sin60°sin53° -cos60°cos53° ≈ 4 3-3，
10
4 3-3
故直线AB与 l的夹角的正弦值的最小值为 .
10
故选：A
2. (湖南省长郡中学 2024 - 2025 学年高三上学期第一次调研考试数学试题 ) 已知函数 f x =
2sin ωx+φ ω>0, φ < π π ，对于任意的 x∈R，f x+ = f π -x ，f π x + f -x = 0都恒成2 12 12 2
1
立，且函数 f x 在 - π ,0 上单调递增，则ω的值为 ( )10
A. 3 B. 9 C. 3或 9 D. 3
【答案】A
π π T
【解析】设函数 f x 的最小正周期为T，因为函数 f x 在 - ,0 上单调递增，所以 0- -10 10 ≤ ，得2
2π =T≥ π，因此 0<ω≤ 10．
ω 5
由 f x+ π = f π -x 知 f x π π π 的图象关于直线 x= 对称，则ω + φ= k π+ ,k ∈ Z①．12 12 12 12 1 2 1
π
由 f x + f -x2 = 0
π
知 f x 的图象关于点 ,0 对称，则ω π + φ= k2π,k2∈ Z②．4 4
②-①得ω π = k π 2-k1 π- ,k1,k2∈ Z，令 k= k2- k1，则ω= 6k- 3,k∈ Z，6 2
结合 0<ω≤ 10可得ω= 3或 9．
ω= 3 φ= π + k π,k ∈ Z φ < π π当 时，代入①得 1 1 ，又 ，所以 φ= ，4 2 4
此时 f x = 2sin 3x+ π π，因为- < 3x+ π < π f x - π，故 在 ,0 上单调递增，符合题意；4 20 4 4 10
当ω= 9 π π π时，代入①得 φ=- + k1π，k1∈ Z，又 φ < ，所以 φ=- ，4 2 4
此时 f x = 2sin 9x- π ，因为- 23π < 9x- π <- π，4 20 4 4
f x π故 在 - ,0 上不是单调递增的，所以 ω= 9不符合题意，应舍去．10
综上，ω的值为 3．
故选：A.
3. (湖南省长沙市六校 2025届高三九月大联考数学试卷)已知 f x 的定义域为R,f x+y + f x-y =
1 20253f x f y ，且 f 1 = ，则 f(k) = ( )3 k=1
A. - 1 B. - 2 C. 1 D. 2
3 3 3 3
【答案】B
【解析】由题意知，函数 f x 的定义域为R,f x+y + f x-y = 3f x f y ，且 f 1 = 1 ，
3
令 x= 1,y= 0，得 f 1+0 + f 1-0 = 3f 1 2 f 0 ，所以 f 0 = ；
3
令 x= 0，得 f 0+y + f 0-y = 3f 0 f y ，所以 f -y = f y ，所以 f x 是偶函数，
令 y= 1，得 f x+1 + f x-1 = 3f x f 1 = f x ①，所以 f x+2 + f x = f x+1 ②，
由①②知 f x+2 + f x-1 = 0，所以 f x+3 + f x = 0,f x+3 =-f x ，
所以 f x+6 =-f x+3 = f x ，所以 f x 的一个周期是 6，
由②得 f 2 + f 0 = f 1 f 2 =- 1 2 ，所以 ，同理 f 3 + f 1 = f 2 ，所以 f 3 =- ，
3 3
1 1 2
又由周期性和偶函数可得：f 4 = f -2 = f 2 =- ,f 5 = f -1 = f 1 = ,f 6 = f 0 = ,
3 3 3
所以 f 1 + f 2 + f 3 + +f 6 = 0，
2
2025 6
所以 f(k) = 337 f(k) + f(1) + f(2) + f(3) =- 2 .
k=1 k=1 3
故选：B.
4. (山东省济南市 2025届高三上学期开学摸底考试数学试题)设 x1< x2< x3< x4< x5，随机变量 ξ1取
, , , , x1+2x2 , x2+2x3 , x +2x x +2x x +2x值 x1 x2 x3 x x 的概率均为 0.2 3，随机变量 ξ 取值 4 , 4 5 , 5 14 5 2 的概3 3 3 3 3
率也均为 0.2，则 ( )
A. E ξ1 >E ξ2 B. E ξ1 D ξ2 D. D ξ1 【答案】C
5
【解析】E ξ1 = 0.2× x1+ 0.2× x2+ +0.2× x = 15 ∑x5 i，i=1
x +2x x +2x
E ξ = 0.2× 1 2 + 0.2× 2 3 + ×
x3+2x0.2 42 +
x +2x x +2x
0.2× 4 5 + 0.2× 5 1
3 3 3 3 3
1 3 x1+x2+x3+x4+x= 5 1
5
= x，
5 3 5∑ ii=1
故E ξ1 =E ξ2 ，故A、B错误；
设E ξ1 =E ξ2 =m，
5 5 5 5
则D 1 1 2 ξ 21 = 0.2×∑ xi-m = ∑ x2i-2mx 25 i+m = 5∑x
2
i - m∑xi+m2
i=1 i=1 i=1 5 i=1
5 5
= 1∑x2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 25 i - m× 5m+m = ∑xi -m = x1+x2+x3+x4+x5-5m ，i=1 5 5 i=1 5
= 1 x1+2x2
2
+ x2+2x3
2 2 2
+ x3+2x4 + x4+2x5 + x +2x
2
同理：D ξ 5 1 -5m2 2 5 3 3 3 3 3
= 1 5x
2
1+5x2 2 2 22+5x3+5x4+5x5+4x1x2+4x2x3+4x3x4+4x4x5+4x5x1
-5m2
，
5 9
由 x1< x2， x1-x 22 = x21+ x22- 2x1x2> 0，故 4x1x2< 2 x2 21+x2 ，
< 1 5x
2 2
1+5x2+5x23+5x24+5x25+4x21+4x2+4x2+4x22 3 4+4x2同理，则有D ξ 5 -5m2 2 5 9
= 1 x2 21+x2+x2+x23 4+x25-5m2 =D ξ ，5 1
即D ξ1 >D ξ2 ，故C正确，D错误；
故选：C.
5. (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)在正四棱锥P-A1B1C1D1中，PB1
⊥PD1．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCD-A1B1C1D1,AB= 1,A1B1=
2，则几何体ABCD-A1B1C1D1的体积为 ( )
A. 2 B. 4 2 C. 7 2 D. 17 2
6 3 6 9
【答案】C
【解析】设正四棱锥P-A1B1C1D1的侧棱长为 a，
连接A1C1与B1D1交于点O1，连接PO1，则PO1⊥平面ABCD，
因为A1B1= 2，所以B1D = 221 +22= 2 2，
因为PB1⊥PD1，所以在Rt△PB 21D1中，a + a2= 2 2 2 ，
3
解得：a= 2，所以PO1= PB2 21-B1O = 22- 2 2 = 2，
又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCD-A1B1C1D1,AB= 1，
则几何体ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，
连接AC,BD交于点O，所以O为PO1的中点，
OO = PO = 2所以 1 ，所以几何体ABCD-A1B1C1D1的体积为：2 2
1 22+12+ 22 12 2 = 7 2 .3 2 6
故选：C.
6. ( π福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)已知函数 f x = tan ωx+ (ω4
> 0)，若方程 f x = 1在区间 0,π 上恰有 3个实数根，则ω的取值范围是 ( )
A. 2,3 B. 2,3 C. 3,4 D. 3,4
【答案】C
π π π
【解析】当 x∈ 0,π 时，ωx+ ∈ ,ωπ+ ，4 4 4
则由题意可得 y= tanx- 1 π在 x∈ ,ωπ+ π 上有 3个实数根，4 4
π π π
即可得 + 3π<ωπ+ ≤ + 4π，
4 4 4
解得 3<ω≤ 4，即ω的取值范围是 3,4 .
故选：C.
7. (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)已知函数 f x = 2x+ 2-x+ cosx+
x2，若 a= f -3 ,b= f e ,c= f π ，则 ( )
A. b< a< c B. b< c< a C. c< a< b D. c< b< a
【答案】A
【解析】因为 f x = 2x+ 2-x+ cosx+ x2，
所以函数定义域为R，f -x = 2-x+ 2x+ cos -x + -x 2 = 2x+ 2-x+ cosx+ x2= f x ，
所以函数 f x 为偶函数，故 a= f -3 = f 3 ，
当 x> 0时，f x = 2x-2-x ln2+ 2x-sinx = g x ，
所以 g x = 2x+2-x ln2 2 + 2-cosx ，
因为 2x+2-x ln2 2 > 0,2- cosx> 0，所以 g x > 0，
所以 g x 在 0,+∞ 单调递增，故 g x > g 0 = 0即 f x > 0，
4
所以 f x 在 0,+∞ 单调递增，又 e< 3< π，
所以 f e < f 3 < f π ，所以 b< a< c.
故选：A.
8. (福建省名校联盟 2024 - 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)已知函数 f x = lnx -
a+1 x+ 1，g x = a x2+1 .当 x≥ 1时，2f x + g x ≥ 0恒成立，则 a的取值范围为 ( )
A. 0,1 B. 1,+∞ C. 0,1 D. 1,+∞
【答案】D
【解析】令 h x = 2f x + g x = 2lnx- 2 a+1 x+ ax2+ a+ 2 x≥1 ，
2 2 x-1 ax-1 则 h x = - 2 a+1 + 2ax= .
x x
若 a≤ 0，则 h x ≤ 0在 1,+∞ 上恒成立，则 h x 在 1,+∞ 上单调递减，
则 h x ≤ h 1 = 0，不符合题意.
若 0< a< 1，则当 x∈ 1, 1 时，h x < 0，h x 单调递减，a
则 h x ≤ h 1 = 0，不符合题意.
若 a≥ 1，则 h x ≥ 0在 1,+∞ 上恒成立，则 h x 在 1,+∞ 上单调递增，
即 h x ≥ h 1 = 0，符合题意.
故 a的取值范围为 1,+∞ .
故选：D
9. (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)如图，将绘有函数 f x =
M sin π x+φ (M> 0 2π，0< φ< π)部分图像的纸片沿 x轴折成钝二面角，夹角为 ，此时A，B之间3 3
的距离为 15，则 φ= ( )
A. π B. π C. 2π D. 5π
6 3 3 6
【答案】C
【解析】过A,B分别作 x轴的垂线，垂足分别为C,D，过A,D分别作 y轴、x轴的垂线相交于点E，
5
连接AB,BE，则∠BDE= 2π ,BD=DE=M，
3
2π
由余弦定理得BE 2=M 2+M 2- 2M 2cos = 3M 2，
3
由上可知，x轴垂直于BD,DE，又BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE，
所以 x轴垂直于平面BDE，又AE x轴，所以AE⊥平面BDE，
因为BE 平面BDE，所以AE⊥BE，
因为 f x 的周期T= 2π = 6，所以AE=CD= 3，π
3
由勾股定理得 3M 2+ 9= 15，解得M= 2，
由图知，f x 的图象过点 0, 6 ，且在递减区间内，2
6
所以 f(0) = 2sinφ= ，即 sinφ= 3 ，
2 2
因为 0< φ< π，点 0, 6 2π在递减区间内，所以 φ= .2 3
故选：C
10. (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)已知 f(x) = 2x+ 2-x+
cosx+ x2，若 a= f(4lnπ3)，b= f(πln43)，c= f(4ln3π)，则 ( )
A. a< b< c B. b< c< a C. c< a< b D. b< a< c
【答案】D
【解析】设 x> 0，又 f (x) = 2x-2-x ln2- sinx+ 2x，
设 s(x) = 2x-2-x ln2- sinx+ 2x，s (x) = 2x+2-x ln22- cosx+ 2> 0，
故在 0,+∞ 上 s(x)为增函数，故 s(x)> s 0 = 0即 f x > 0(x> 0)，
故 f x 在 0,+∞ 上为增函数，
设u x = lnx ,x> e，则u x = 1-x < 0，故u2 x 在 e,+∞ 上为减函数，x x
e< 3< π< 4 ln3 > lnπ ln4而 ，故 > ，故 4lnπ> πln4，故 3× 4lnπ> 3× πln4，
3 π 4
所以 4lnπ3> πln43> 0，故 f 4lnπ3 > f πln43 ，故 a> b.
又 πln3> 3lnπ，故 4πln3> 4× 3lnπ即 4ln3π> 4lnπ3> 0，
故 f 4ln3π > f 4lnπ3 ，故 c> a，
综上，c> a> b，
故选：D.
11. ( x安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)若当 x∈ 0,2π 时，函数 y= sin 与
2
y= 2sin ωx- π (ω> 0)的图象有且仅有 4个交点，则ω的取值范围是 ( )4
A. 9 ,
13 B. 9 , 13 C.8 8 8 8
13 , 17 D. 13 , 178 8 8 8
【答案】C
【解析】如图所示，画出 y= sin x 在 x∈ 0,2π 的图象，
2
6
也画出 y= 2sin ωx- π (ω> 0)的草图，4
y= sin x函数 与 y= 2sin ωx- π
2 4 (ω> 0)的图象有且仅有 4个交点，
则将 y= 2sin ωx- π (ω> 0)的第 4个，第 5个与 x轴交点向 2π处移动即可.4
13π ≤ 2π< 17π 13满足 ，解得 ≤ω< 17．
4ω 4ω 8 8
故选：C．
12. (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)已知函数 f x 的定义域为 R，且
1 1 24f 1 x+2 + f x = f 12 ,f -3x+1 为奇函数，且 f = ，则∑kf k- = ( )2 2 k= 1 2
A. - 11 B. - 1 C. 21 D. 0
2 2
【答案】D
【解析】由于 f x+2 + f x = f 12 ，
所以 f x+4 + f x+2 = f 12 ，
则 f x+4 = f x ，因此T= 4.
令 x= 0，则 f 2 + f 0 = f 12 = f 0 ，故 f 2 = 0.
由于 f -3x+1 为奇函数，故-f -3x+1 = f 3x+1 ，
即 f x+1 + f -x+1 = 0，故 f x 关于点 1,0 对称.
由题，f x+2 + f x = f 12 = 0,
∴ f x+2 =-f x = f 2-x ，故 f x 关于直线 x= 2对称，
1 1 3 1 5
因此当 f = 时，f =- ,f =- 1 ,f 72 2 2 2 2 2 2 =
1 ，
2
4m+1 1 + 4m+2 - 1 + 4m+3 - 1 + 4m+4 1故 = 0，2 2 2 2
24
因此∑kf k- 1 = 0.
k=1 2
故选：D.
13. (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)已知函数 f x 的定义域为R,y= f x + ex是偶函
数，y= f x - 3ex是奇函数，则 f ln3 的值为 ( )
A. 7 B. 3 C. 10 D. 11
3 3 3
【答案】D
【解析】因为函数 y= f x + ex为偶函数，
则 f -x + e-x= f x + ex，即 f x - f -x = e-x- ex①，
7
又因为函数 y= f x - 3ex为奇函数，
则 f -x - 3e-x=-f x + 3ex，即 f x + f -x = 3ex+ 3e-x②，
11
联立①②可得 f x = ex+ 2e-x，所以 f ln3 = eln3+ 2e-ln3= ．
3
故选：D．
14. (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)数列 an 的前 n项和为 Sn，满足 an+1- an= {1,
3},a1= 2，则S10可能的不同取值的个数为 ( )
A. 45 B. 46 C. 90 D. 91
【答案】B
【解析】由题设可得 an= 2+ d1+ d2+ +dn-1，其中 di∈{1,3}，
故n+ 1≤ an≤ 3n- 1，且 an 奇偶交错出现．
若 an为奇数，由 di∈{1,3}可得对 an可取遍 [n+ 1,3n- 1]中的每一个奇数；
若 an为偶数，由 di∈{1,3}可得对 an可取遍 [n+ 1,3n- 1]中的每一个偶数，
又Sn= 2n+ (n- 1)d1+ (n- 2)d2+ +dn-1，
n(n+3)
当 di= 1(i= 1,2, ,n- 1)时，Sn= ，2
考虑 di= 1(i= 1,2, ,n- 1)时，di调整为 3，则对应的Sn可增加 2(n- i)，
n(n+3) n(n+3)
依次对诸 di(至少一个)调整为 3后 + 2≤Sn≤ + 2+ 2× 2+ 2× 3+ +2(n- 1)，2 2
n(n+3) + ≤ ≤ n(3n+1)即 2 Sn ，2 2
n(n+3) , n(3n+1)从上述的调整过程可得Sn，取遍了 中的奇数或偶数 (取奇数还是偶数取决于2 2
n(n+3)
的奇偶性)，
2
当n= 10时，Sn取遍了 [65,155]中的奇数，合计 46个，
故选：B．
15. (安徽省亳州市 2024- 2025学年高三上学期开学摸底大联考数学试题)数列 an 的前n项和为Sn，满
足 an+1- an= dn∈ 1,3 ,a1= 2，则S10可能的不同取值的个数为 ( )
A. 45 B. 46 C. 90 D. 91
【答案】B
【解析】由累加法可得 an= 2+ d1+ d2+ +dn-1，其中 di∈ 1,3 ，
故n+ 1≤ an≤ 3n- 1，且 an 奇偶交错出现.
(1)若 an为奇数，由 di∈ 1,3 可得对 an可取遍 n+1,3n-1 中的每一个奇数；
(2)若 an为偶数，由 di∈ 1,3 可得对 an可取遍 n+1,3n-1 中的每一个偶数，
又Sn= 2n+ n-1 d1+ n-2 d2+ +dn-1，
n n+3
当 di= 1 i=1,2, ,n-1 时，Sn= ；2
考虑 di= 1 i=1,2, ,n-1 时，di调整为 3，则对应的Sn可增加 2 n- i ，
依次对 di至少一个调整为 3后
n n+3 n n+3+ 2≤Sn≤
+ 2+ 2× 2+ 2× 3+ +2 n-1 ，
2 2
8
n n+3 n 3n+1
即 + 2≤S
2 n
≤ ，
2
n
n+3 n 3n+1
从上述的调整过程可得Sn取遍了 , 中的奇数或偶数 (取奇数还是偶数取决于 2 2
n n+3
的奇偶性)，
2
当n= 10时，Sn取遍了 65,155 中的奇数，合计 46个.
故选：B．
2
16. ( x安徽省安徽师范大学附属中学 2025届高三上学期 9月第一次测试数学试题)F1,F2是双曲线E: -
a2
y2 = 1 a,b>0 的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在 x轴上，满足∠F1MN=∠F2MN=
b2

60°，若 3MF1+ 5MF2= λMN λ∈R ，则双曲线E的离心率为
( )
A. 8 B. 6 C. 5 D. 7
7 5 3 2
【答案】D
【解析】

设 λMN =MQ，则 3MF1+ 5MF2=MQ，
∴MQ是以 3 MF1 ,5 MF2 为邻边的平行四边形的一条对角线，
又∠F1MN=∠F2MN= 60°，∴MQ为∠F1MF2的角平分线，
∴以 3 MF1 ,5 MF2 为邻边的平行四边形为菱形，∴ 3 MF1 = 5 MF2 ，
由双曲线定义知： MF1 - MF2 = 2a，∴ MF2 = 3a， MF1 = 5a，
在△FMF 中，由余弦定理得：4c2= 9a2+ 25a2- 30a2cos120° = 34a21 2 + 15a2= 49a2，
∴ c 7双曲线E的离心率 e= = 49 = .
a 4 2
故选：D.
17. (安徽省多校联考 2025届高三上学期开学质量检测数学试题)若锐角 θ满足 tan2θ= 2 3 cosθ，数列
an 的前 n S
10 3n 56
项和为 n,a1= 1,nan+1= +cos4θ n+1 an，则使得 Sn+ n < 成立的 n的最大9 2 3 25
值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
9
tan2θ= 2 3cosθ tan2θ= sin2θ = 2sinθcosθ 2sinθcosθ【解析】因为 ，且 ，即 = 2 3cosθ，
cos2θ 1-2sin2θ 1-2sin2θ
π sinθ
且 θ∈ 0, ，则 cosθ≠ 0，可得 = 3，2 1-2sin2θ
整理可得 2 3sin2θ+ sinθ- 3= 0，解得 sinθ= 3 或 sinθ=- 3 (舍去)，
3 2
则 cos2θ= 1- 2sin2θ= 1 ，cos4θ= 2cos22θ- 1=- 7 ，
3 9
a a
可得na 10n+1= +cos4θ 1 n+1 an= n+1 a ，则 n+1 1 n9 3 n = ，n+1 3 n
a a
且 a1= 1≠ 0，可知数列 n 1 1 是以首项 = 1，公比为 的等比数列，n 1 3
3
a n-1 n+
3 3n+ 9
则 n = 1 n，可得 a = = 2 4 - 2 4n ，n 3 3n-1 3n-1 3n
9 15 15 21 3 3 3 9 9
所以S = 4 - 4 + 4 - 4 + + 2
n+ 4 2n+ 4 3n+
n - - n =
9 - 2
1 3 3 32 3n 1 3 4 2×3n
，
S + 3n = 9 - 1 56则 n n - < ，整理可得 3
n-2< 25，
2 3 4 4×3n 2 25
则n- 2≤ 2，解得n≤ 4，
所以n的最大值为 4.
故选：C.
a a
18.根据递推公式分析可知数列 n 是以首项 1 = 1 1 ，公比为 的等比数列，进而可得 a ；n 1 3 n
19.利用裂项相消法求Sn，代入解不等式即可.
2 y2
20. ( x浙江省名校协作体 2024- 2025学年高三上学期开学考试数学试题)已知A,B是椭圆 + = 1与
4 3
x2
2
双曲线 - y = 1的公共顶点，M是双曲线上一点，直线MA,MB分别交椭圆于C,D两点，若直线
4 3
CD过椭圆的焦点F，则线段CD的长度为 ( )
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 3
2 2
【答案】B
, x
2
+ y
2
x2
2
【解析】由A B是椭圆 = 1与双曲线 - y = 1的公共顶点，得A -2,0 ,B 2,0 ，
4 3 4 3
不妨设直线CD过椭圆的右焦点F 1,0 ，
y y
设点M x 0 0 0,y0 ，则直线MA,MB的斜率分别为 kMA= + ，kx 2 MB=0 x0-
，
2
x2 2
又因为 0 - y0 = y y1 3，可得 kMA k
0 0
4 3 MB
= + - = ，x0 2 x0 2 4
设点C x1,
y y
y1 ，则直线CA,CB的斜率分别为 k = 1 ,k = 1CA x CB ，1+2 x1-2
x2 y2 y y 3
又因为 1 + 1 = 1，所以 kCA k =
1 1 =- ，
4 3 CB x1+2 x1-2 4
因为 kMA= kCA，所以 kMB= kBD=-kCB，
所以直线CB,DB关于 x轴对称，所以直线CD⊥ x轴，
10
又因为直线CD 3过椭圆右焦点F，所以C 1,y1 ，代入椭圆方程得 y1=± ，2
所以 CD = 3.
故选：B
21. (浙江省名校协作体 2024- 2025学年高三上学期开学考试数学试题)正三棱台ABC-A1B1C1中，
AB= 2A1B1= 2 3 ,AA1= 2，点D为棱AB中点，直线 l为平面A1B1C1内的一条动直线．记二面角C
- l-D的平面角为 θ，则 cosθ的最小值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 7 D. 1
8 14 7
【答案】D
【解析】取A1B1中点E，设 l交C1E于点F，
四边形ABB1A1为等腰梯形，D,E分别为AB,A1B1的中点，
则有C1E⊥A1B1，ED⊥A1B1，
C1E∩ED=E，C1E,ED 面EDCC1，所以A1B1⊥面EDCC1，
当 l A1B1，有 l⊥面EDCC1，
DF,CF 面EDCC1，得DF⊥ l，CF⊥ l，
则∠CFD为二面角C- l-D的平面角，
当 l,A1B1不平行时，二面角小于∠CFD，
由对称性可知当FC=FD时，∠CFD最大，
作FH⊥CD，AB= 2A1B1= 2 3 ,AA1= 2，点D为棱AB中点，则CD= 3，
设O,O1分别为△ABC 2和△A1B1C1的中心，则CO= CD= 2，C1O1= 1，3
又CC1= 2，解得OO1= 3，则棱台的高为 3，则有FH= 3，
2
所以DF= 32 +
21
3 2 = ，
2
2 2 2
在△FDC DF +CF -CD 1中，由余弦定理得 cosθ= = .
2DF CF 7
故选：D.
11
22. (江苏省海安高级中学 2025届高三上学期期初检测数学试卷)已知 a> 0，b> 0，log9a= log12b=
log a16 a+b ，则 = ( )b
A. 2-1 B. 3-1 C. 1 D. 5-1
2 2 2 2
【答案】D
【解析】设 log9a= log12b= log16 a+b = k，
则有 a= 9k= 32k，b= 12k= 3k× 4k，a+ b= 16k= 42k，
32k+ 3k× 4k= 42k 3
2k 3 k 3 k+ - 1= 0 = -1+ 5可得 ，即 ，解得 ，
4 4 4 2
a 32k k
所以 = = 3 = -1+ 5 .b 3k×4k 4 2
故选：D.
23. (江苏省海安高级中学 2025届高三上学期期初检测数学试卷)已知 a= 5，b= 15(ln4- ln3)，c= 16
(ln5- ln4)，则 ( )
A. a< c< b B. c< b< a C. b< a< c D. a< b< c
【答案】B
4 1 4 1 4 4 3
【解析】先比较 a与 b大小，先比较 1与 3ln 大小，比较 与 ln 大小，比较 e 3 与 大小，比较 e与
3 3 3 3 3
4 3 3
大小，e> 2.5， < 2.5，∴ e> 4 ，∴ a> b，3 3
4 15 16
比较 b与 c大小，先比较 ln 3 ln
5
与 大小，4
5 16 5 15
4 15 16 15 11 16 15
比较 与 5 大小， 4 = 4 5 = 15 5 = 15 253125 < 1 5 4，∴ < ，3 4 4 15 15 4 4 16 4 16 262144 4 3 3 3
∴ 16ln 5 < 15ln 4 ，即 c< b，∴ c< b< a，
4 3
故选：B．
24. (河北省部分地区 2025届高三上学期 9月摸底考试数学试卷)边长为 2的正方形ABCD的中心为O，
将其沿对角线AC折成直二面角.设E为AD的中点，F为BC的中点，将△EOF绕直线EF旋转一周
得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为 ( )
A. π B. 3π C. π D. 3π
2 4 2
【答案】B
【解析】由边长为 2的正方形ABCD的中心为O，将其沿对角线AC折成直二面角，
则可得，DO⊥AC，DO= 2，AC= 2 2，平面DAC⊥平面BAC，
又平面DAC∩平面BAC=AC，DO 平面DAC，
∴DO⊥平面BAC，
又E为AD的中点，F为BC的中点，O为AC的中点，
1
则可得OE= DC= 1,OF= 1 AB= 1,
2 2
过E作EH⊥AC于点H，连接HF，
12
则EH DO，∴EH⊥平面BAC，
又HF 平面BAC，∴EH⊥HF
又EH= 1 DO= 2 CH= 3 AC= 3 2， ，CF= 1，∠ACB= 45°,
2 2 4 2
2
∴HF= CF 2+CH 2-2CF CHcosACB = 12+ 3 2 -2×1× 3 2 cos45°= 5 = 10 ，2 2 2 2
2 2
在Rt△EHF中，EF= EH 2+HF 2= 22 +
10
2 = 3，
又OE=OF= 1，
2 2 2
∴ cos∠EOF= EO +FO -EF =- 1 ，∴∠EOF= 120°
2EO FO 2
将△EOF绕直线EF旋转一周得到一个旋转体为两个同底面的圆锥组合体，
作出其轴截面，如图，
则该轴截面中△OEG和△OFG为边长为 1的等边三角形，
∴该旋转体的内切球的半径 r即为菱形OEGF的内切圆的半径，
1
由等面积法，则 2S△EOG= OE+EG+GF+OF r，2
1 3 1 3
即 2× × 1× 1× = 1+1+1+1 r，则 r= ，
2 2 2 4
因此该旋转体的内切球的表面积为 4πr2= 3 π.
4
故选：B.
25. (河北省部分地区 2025届高三上学期 9月摸底考试数学试卷)在空间直角坐标系Oxyz中，平面Oxy、
平面Oxz、平面Ozx把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系Oxyz中，确定若干个点，点的横坐
标、纵坐标、竖坐标均取自集合 -3,4,7 ，这样的点共有m个，从这m个点中任选 2个，则这 2个点不
在同一个部分的概率为 ( )
A. 16 B. 302 C. 24 D. 26
351 351 117 117
【答案】B
【解析】由题意得m= 33= 27，从这m个点中任选 2个，共有C227种选法，
13
在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，
所以八个部分中的点的个数分别为 23,22,22,22,2,2,2,1，
从这 27个点中任选 2个，若这 2个点在同一个部分，
C2+3C2+3C2
P = 8 4 2 = 28+3×6+3×1 49概率为 1 =
C2 27×2627 3512
49
所以这 2个点不在同一个部分的概率为P= 1-P1= 1- = 302．351 351
故选：B.
26. (河北省唐山市 2024- 2025学年高三上学期摸底演练数学试题)已知半径为 1的球可以整体放入圆锥
容器 (容器壁厚度忽略不计)内，则该圆锥容器容积的最小值为 ( )
A. 3π B. 2π C. 32π D. 8π
9 3
【答案】D
【解析】
由题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小，
作圆锥轴截面如图，AO为圆锥的高，O 为球心，D、O为切点，

则OC= OO ，又∠ACB= 2∠OCO ，OO = 1
tan∠OCO
则AO=OC tan∠ACB= 1 tan2∠OCO = 2 ，
tan∠OCO 1-tan2∠OCO
1 1 1 2 2
所以圆锥的体积V= π OC2 AO= π× ×
3 3 tan∠OCO 1-tan2∠OCO
= 2π × 1 ，
3 tan2∠OCO 1-tan2∠OCO
因为∠ACB< 90°,∠OCO < 45°，所以 tan∠OCO < 1,1- tan2∠OCO > 0，
又 tan2∠OCO + 1-tan2∠OCO = 1为定值，
所以当 tan2∠OCO = 1- tan2∠OCO ，即 tan∠OCO = 2 时，
2
圆锥的体积最小为V= 2π × 1 = 8π，
3 1
2 × 1-
1 3
2
8π
即圆锥容器容积的最小值为 .
3
故选：D.
27. (多选题) (湖南省长郡中学 2024- 2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)嫁接，是植物的人
工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长
成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，
其中AC,BD分别为两个截面椭圆的长轴，且A,C,B,D都位于圆柱的同一个轴截面上，AD是圆柱截
面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为 e1,e2，则能够保证 CD ≥ 2 AB 的 e1,e2的
值可以是 ( )
14
A. e = 61 ,e 22= B. e1= 1 ,e = 53 2 2 2 5
C. e1= 3 ,e2= 40 D. e1= 3 ,e = 22 7 3 2 4
【答案】AD
【解析】设AD= 2r,AB= 2m,CD= 2n,且n≥ 2m，
故BD= AB2+AD2= 2 m2+r2 ,AC= CD2+AD2= 2 n2+r2 ,
2 AC
2- 2 BD 2 r 2
e = 2 = n
2 -r
故 1 ,e2= 2 = m ，AC n2+r2 BD m2+r2
1 r2 1 r2
故 - 1= , - 1= ，
e2 n2 e2 m21 2
1 2
2 -1 r 12 2 2 -1
由于n≥ 2m，故n2≥ e e2m2 n，故 2 = m2 = ≥ 2，即
2 ≥ 2，
1 r m2 1
e2
-1 2 -1
n21 e1
1
6 2 e2
-1
对于A，e 21= ,e2= ，满足 = 2≥ 2，故A正确，3 2 1
2 -1e1
1 -1
1 2
对于B，e1= ,e = 5
e
， 2 = 4 < 2，故B错误，
2 2 5 1
2 -1 3e1
1 -1
B e = 3 ,e = 40 e
2 27
对于 ， 1 2 ，
2 = < 2，故C错误，
2 7 1 40
e2
-1
1
1
2 -1e
对于D，e = 3 ,e 2 2 71 3 2= ， = > 2，故D正确，4 1 -1 2
e21
故选：AD
28. (多选题) (湖南省长郡中学 2024- 2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)对于任意实数 x,
y，定义运算“ ”x y= x-y + x+ y，则满足条件 a b= b c的实数 a,b,c的值可能为 ( )
A. a=-log 0.3，b= 0.40.3，c= log 0.4 B. a= 0.40.30.5 0.5 ，b= log0.50.4，c=-log0.50.3
C. a= 0.09，b= 0.1，c= ln 10 D. a= 0.1 10，b= ln ，c= 0.09
e0.1 9 e0.1 9
【答案】BD
【解析】由 a b= b c，可得 a-b + a+ b= b-c + b+ c，即 a-b - b-c = c- a，
15
若 a≤ b,c≤ b，可得 a-b - b-c = c- a，符合题意，
若 a≤ b,c> b，可得 a-b - b-c = 2b- a- c，不符合题意，
若 a> b,c≤ b，可得 a-b - b-c = a- c，不符合题意，
若 a> b,c> b，可得 a-b - b-c = c+ a- 2b，不符合题意，
综上所述 a- b≤ 0，b- c≥ 0，可得 b≥ a,b≥ c，
故只需判断四个选项中的 b是否为最大值即可．
10
对于A，B，由题知-log0.50.3= log 0.3 00.5 < log0.51= 0，而 0< 0.4 < 0.4 = 1，3
log0.50.4> log0.50.5= 1，所以-log 0.30.50.3< 0.4 < log0.50.4．
(点拨：函数 y= log0.5x为减函数，y= 0.4x为减函数)，
对于A，a< b< c；对于B，c< a< b，故A错误，B正确．
对于C D 0.09， ， = 0.9e0.1= 1-0.10.1 e
0.1，
e0.1
(将 0.9转化为 1- 0.1，方便构造函数)构造函数 f x = 1-x ex,x∈ 0,1 ，
则 f x =-xex，因为 x∈ 0,1 ，所以 f x ≤ 0,f x 单调递减，因为 f 0 = 1，所以 f 0.1 < 1，
即 0.9e0.1< 1 0.1 0.1 10，所以 0.09< ． (若找选项中的最大值，下面只需判断 与 ln 的大小即可)
e0.1 e0.1 9
0.1 - ln 10 = 0.1 9
-1
- ln = 0.1 + ln 9 = 0.1 + ln 1-0.1 ，e0.1 9 e0.1 10 e0.1 10 e0.1
1-x 2-ex
构造函数 h x = x + ln 1-x ,x∈ 0,1 h x = 1-x - 1

x ，则 x = ，e e 1-x ex 1-x
因为 x∈ 0,1 ，所以 ex 1-x > 0，令ω x = 1-x 2 - ex，则ω x =-2 1-x - ex，
当 x∈ 0,1 时，ω x < 0,ω x 单调递减，因为ω 0 = 0，
所以ω x ≤ 0，即 h x ≤ 0,h x 单调递减，又 h 0 = 0，所以 h 0.1 < 0，
0.1
即 + ln 1-0.1 0.1 100.1 < 0，所以 < ln ．e e0.1 9
0.09< 0.1综上， < ln 10．对于C，a< b< c；对于D，c< a< b，故C错误，D正确．
e0.1 9
(提醒：本题要比较 0.09 ln 10与 的大小关系的话可以利用作差法判断，
9
-1
即 0.09- ln 10 = 0.1× 0.9- ln 9 = 1-0.9 × 0.9+ ln0.9，9 10
构造函数 g x = 1-x x+ lnx,x∈ 0,1 ，
g x = 1- 2x+ 1 = -2x
2+x+1 2x+1 -x+1
则 =

，
x x x
因为 x∈ 0,1 ，所以 g x ≥ 0,g x 单调递增，因为 g 1 = 0，所以 g 0.9 < 0，
即 0.09- ln 10 < 0 10，所以 0.09< ln )
9 9
故选：BD.
29. (多选题) (湖南省长沙市六校 2025届高三九月大联考数学试卷)中国结是一种手工编织工艺品，因为
其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．
中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈
现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的
双纽线．曲线C:(x2+ y2)2= 9(x2- y2)是双纽线，则下列结论正确的是 ( )
16
A. 曲线C的图象关于 y= x对称
B. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过 3
C. 曲线C经过 7个整点 (横、纵坐标均为整数的点)
D. 若直线 y= kx与曲线C只有一个交点，则实数 k的取值范围为 (-∞,-1]∪ [1, +∞)
【答案】BD
【解析】对于A项，把 (y,x)代入 (x2+ y2)2= 9(x2- y2)得 (x2+ y2)2= 9(y2- x2)，
显然点 (y,x)不满足双纽线方程，
所以曲线C的图象不关于 y= x对称，故A项错误；
( 2+ 2)2= ( 2- 2) 2+ 2= 9(x
2-y2) 18y2
对于B项，由 x y 9 x y 可得 x y = 9- ≤ 9，
x2+y2 x2+y2
所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离 d= x2+y2≤ 3，即都不超过 3，故B项正确：
对于C项，令 y= 0解得 x= 0或 x=±3，即曲线经过 (0,0)，(3,0)，(-3,0)，
由题意可知，-3≤ x≤ 3，
x=±1 y2= -11+ 153令 ，得 < 1，
2
令 x=±2，得 1< y2= -17+ 369 < 2，
2
因此曲线C只能经过 3个整点 (0,0)，(3,0)，(-3,0)，故C项错误；
对于D项，直线 y= kx与曲线 (x2+ y2)2= 9(x2- y2)一定有公共点 (0,0)，
若直线 y= kx与曲线C只有一个交点，
x2+y2 2 =9 x2-y2
所以 4 y=kx ，整理得 x (1+
k2)2= 9x2(1- k2)，只有一个解 x= 0，
即 1- k2≤ 0，解得 k∈ (-∞,-1]∪ [1, +∞)，故D项正确．
故选：BD.
30. (多选题) (湖南省长沙市六校 2025届高三九月大联考数学试卷)已知函数 f x = x2- 2lnx，则下列选
项中正确的是 ( )
A. 函数 f x 的极小值点为 x= 1
B. f e > f 3 e
C. 若函数 g x = f x - t有 4个零点，则 t∈ 1,+∞
D. 若 f x1 = f x2 x1≠x2 ，则 x1+ x2< 2
【答案】AC
2 x22 -1
【解析】由题意可知：f x 的定义域为 0,+∞ ，且 f x = 2x- = ，
x x
令 f x > 0，解得 x> 1；令 f x < 0，解得 0< x< 1；
可知 f x 在 0,1 内单调递减，在 1,+∞ 内单调递增，
则 f x ≥ f 1 = 1，且当 x趋近于 0或+∞时，f x 趋近于+∞，
可得函数 f x 的图象，如图所示：
17
对于选项A：可知函数 f x 的极小值点为 x= 1，故A正确；
3
对于选项B：因为 1< e< ，且 f x 在 1,+∞ 内单调递增，
e
所以 f e < f 3 ，故B错误；e
对于选项C：令 g x = f x - t= 0，可得 f x = t，
可知函数 g x = f x - t有 4个零点，即 y= f x 与 y= t有 4个交点，
且 y= f x 的定义域为 -∞,0 ∪ 0,+∞ ，且 f -x = f x ，
可知 y= f x 为偶函数，且当 x> 0时，y= f x = f x
原题意等价于当 x> 0时，y= f x 与 y= t有 2个交点，
由题意可知：t> 2，故C正确；
对于选项D：设 g x = f 2-x - f x = 2lnx- 2ln 2-x + 4- 4x,x∈ 0,1 ，
4 x-1
2
则 g x = 2 + 2- - 4= > 0，x 2 x x 2-x
可知 y= g x 在 0,1 内单调递增，则 g x < g 1 = 0，
即 f 2-x < f x ,x∈ 0,1 ，
若 f x1 = f x2 x1≠x2 ，不妨设 0< x1< 1< x2，
则 f 2-x1 < f x1 = f x2 ，
且 2- x1> 1,x2> 1，且 f x 在 1,+∞ 内单调递增，
则 2- x1< x2，所以 x1+ x2> 2，故D错误；
故选：AC.
31. (多选题) (山东省济南市 2025届高三上学期开学摸底考试数学试题)已知函数 f x = x3- 3x2+ ax-
a+ 1，则 ( )
A. f x 至少有一个零点 B. 存在 a，使得 f x 有且仅有一个极值点
C. 点 1,-1 是曲线 y= f x 的对称中心 D. 当 a≤ 0时，f x 在 0,1 上单调递减
【答案】ACD
【解析】对A：由 f 1 = 1- 3+ a- a+ 1=-1< 0，当 x→+∞时，f x →+∞，
故 f x 在 1,+∞ 上必有零点，即 f x 至少有一个零点，故A正确；
对B：若存在 a，使得 f x 有且仅有一个极值点，
则 f x = 3x2- 6x+ a有唯一变号零点，
由二次函数性质可知，二次函数在R上不可能有唯一变号零点，
故不存在 a，使得 f x 有且仅有一个极值点，故B错误；
18
对C：f -x+2 + 2= -x+2 3 - 3 -x+2 2 + a -x+2 - a+ 1+ 2
=-x3+ 6x2- 12x+ 8- 3x2+ 12x- 12- ax+ 2a- a+ 1+ 2=-x3+ 3x2- ax+ a- 1，
有 f x + f -x+2 + 2= x3- 3x2+ ax- a+ 1- x3+ 3x2- ax+ a- 1= 0，
故点 1,-1 是曲线 y= f x 的对称中心，故C正确；
对D：f x = 3x2- 6x+ a= 3 x-1 2 + a- 3，
当 x∈ 0,1 ，f x = 3 x-1 2 + a- 3∈ a-3,a ，由 a≤ 0，则 f x ≤ 0，
故 f x 在 0,1 上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
32. (多选题) (山东省济南市 2025届高三上学期开学摸底考试数学试题)在平面直角坐标系 xOy中，已知
点A -1,0 ，B 1,0 ，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是 2.设动点M x,y 的轨迹为
曲线C，则 ( )
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C关于某条直线对称
C. 若曲线C与直线 y= kx(k> 0)无交点，则 k≥ 1
D. 在曲线C上取两点P a,b ，Q c,d ，其中 a< 0，c> 0，则 PQ > 2
【答案】AC
y y
【解析】由已知 kAM+ kBM= 2，即 + = 2 x≠±1 ，x+1 x-1
化简可得动点M的轨迹方程为 x2- xy- 1= 0，
将 -x,-y 代入曲线方程可得 -x 2 - -x -y - 1= x2- xy- 1= 0成立，
所以曲线C关于原点对称，A选项正确，
做出曲线 x2- xy- 1= 0，易知该曲线可表示渐近线为 y= x及 y轴的双曲线，
3π 7π
则对称轴过原点且倾斜角为 或 ，
8 8
3π 1-cos
3π 7π
而 tan = 4
1-cos
3π = 1+ 2 ,tan
7π =- 4 = 1- 2
8 1+cos 8 7π4 1+cos 4
则其对称轴为 y= 1± 2 x，
又 x≠±1，所以曲线不是轴对称图形，
B选项错误；
x2-xy-1=0
联立直线与曲线方程 2 = ，得 1-k x - 1= 0无解，则 1- k= 0或 4 1-k < 0，y kx
即 k= 1或 k> 1，综上 k≥ 1，C选项正确；
19
x2-xy-1=0 x≠±1
联立曲线与单位圆 2 2 ，则 x+y+ = y= 0，x y 1
x= 2 x=- 2
解得 2 或
2
y=- 2 ，22 y= 2
2 2
即曲线与单位圆交于M ,-2 2 ，N -
2 , 2
2 2 两点，
且 MN = 2，
所以当P，Q分别与M，N重合时， PQ = 2，D选项错误；
故选：AC.
33. (多选题) (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)已知定义在R上的函数
f x 不恒等于 0,f π = 0，且对任意的 x,y∈R，有 f 2x + f 2y = 2f x+y f x-y ，则 ( )
A. f 0 = 1 B. f x 是偶函数
C. f x 的图象关于点 π,0 中心对称 D. 2π是 f x 的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令 x= y，则由 f 2x + f 2y = 2f x+y f x-y 可得 f 2x + f 2x =
2f 2x f 0 ，解得 f 0 = 1，即A正确；
对于B,令 x=-y可得 f 2x + f -2x = 2f 0 f 2x = 2f 2x ，所以 f 2x = f -2x ，
即可得对任意的 x∈R满足 f x = f -x ，即 f x 是偶函数，所以B正确；
对于C,令 x+ y= π，则由 f 2x + f 2y = 2f x+y f x-y 可得 f 2π-2y + f 2y = 2f π f π-2y =
0，
即 f x 满足 f 2π-x + f x = 0，因此可得 f x 的图象关于点 π,0 中心对称，即C正确；
对于D,由于 f x 是偶函数，所以满足 f x-2π + f x = 0，即 f x + f x+2π = 0，
可得 f x-2π = f x+2π ，也即 f x = f x+4π ，所以 4π是 f x 的一个周期，即D错误.
故选：ABC
34. (多选题) (福建省漳州市 2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题)在 2024年巴黎奥运会艺
术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获
得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 C :y2=
2px(p> 0)绕其顶点分别逆时针旋转 90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的 (如图阴影区域)，A,
B为C与其中两条曲线的交点，若 p= 1，则 ( )
20
A. 1开口向上的抛物线的方程为 y= x2 B. AB = 4
2
C. 直线 x+ y= t 3截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于 4
4
【答案】ABD
1
【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为C:y2= 2x，顶点在原点，焦点为F1 ,0 ,2
1 1
将其逆时针旋转 90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2 0, 2 ，则其方程为 x
2= 2y，即 y= x2，故A正
2
确；
y
2=2x
对于B，根据A项分析，由 2= 可解得，x= 0或 x= 2，即 xA= 2，代入可得 yA= 2，x 2y
由图象对称性，可得A(2,2),B(2, -2),故 AB = 4，即B正确；
对于C，
如图，设直线 x+ y= t与第一象限花瓣分别交于点M ,N ,
y=-x+t xM=t+1- 2t+1 y=-x+t xN= 2t+1-1由 y2= 解得 ，由 解得， ,2x y 2M= 2t+1-1 x =2y yN=t+1- 2t+1
即得M (t+ 1- 2t+1 , 2t+1- 1),N ( 2t+1- 1,t+ 1- 2t+1 ),
则弦长为：|MN | = 2(t+2-2 2t+1)2= 2 |t+ 2- 2 2t+1 |，
由图知，直线 x+ y= t经过点A时 t取最大值 4，经过点O时 t取最小值 0，
2
即在第一象限部分满足 0< t≤ 4，不妨设 u= 2t+1，则 12
2
代入得，|MN | = 2 u -1 +2-2u = 2 |(u- 2)2- 1|，(12
由此函数的图象知，当 u= 2时，|MN |取得最大值为 ，即C错误；
2
1
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 部分面积的近似值.
8
如图，
21
1
在抛物线 y= x2,(x≥ 0)上取一点P，使过点P的切线与直线OA平行，
2
1
由 y = x= 1 1可得切点坐标为P 1, ,因 lOA:x- y= 0, 2则点P到直线OA的距离为 d= 2 = ，2 2 4
于是S 1 2 2 2 1 1△OPA= × 2 +2 × = ,由图知，半个花瓣的面积必大于 ，2 4 2 2
1
故原图中的阴影部分面积必大于 8× = 4，故D正确.
2
故选：ABD.
35. (多选题) (福建省名校联盟 2024- 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)记△ABC的内角A,
B,C的对边分别为 a,b,c，且 asinB+ csinA= 5sinA,bc= b+ c+ 1，△ABC的面积为 2 2，则△ABC
的周长可能为 ( )
A. 8 B. 5+ 17 C. 9 D. 5+ 15
【答案】AB
【解析】由正弦定理得 ab+ ac= 5a，得 b+ c= 5，则 bc= b+ c+ 1= 6，
由S 1△ABC= bcsinA= 2 2，得 sinA=
2 2
，所以 cosA= 1-sin2A=± 1 ，
2 3 3
由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccosA，得 a2= (b+ c)2- 2bc- 2bccosA= 9或 17，
所以 a= 3或 17，
所以△ABC的周长为 8或 5+ 17，
故选：AB．
36. (多选题) (福建省名校联盟 2024- 2025学年高三上学期 9月质量检测数学试题)已知函数 f x =
sinx+ cosx+ x，则下列结论正确的是 ( )
A. f π π x 的图象关于 y轴对称 B. f x 的图象关于点 - ,- 对称4 4
C. f x x= π π 的图象关于直线 对称 D. x= 是 f x 的极大值点
2 2
【答案】BD
【解析】对于A：函数 f x = sinx+ cosx+ x的定义域为R，
但是 f -x = sin -x + cos -x + -x =-sinx+ cosx- x≠ f x ，
所以 f x 不是偶函数，则函数图象不关于 y轴对称，故A错误；
对于B π：因为 f - -x + f x π = sin - -x + cos - π -x + - π -x + sinx+ cosx+ x2 2 2 2
=-cosx- sinx- π - x+ sinx+ cosx+ x=- π，
2 2
π π
所以 f x 的图象关于点 - ,-4 4 对称，故B正确；
对于C：因为 f π-x = sin π-x + cos π-x + π-x = sinx- cosx+ π- x≠ f x ，
π
所以 f x 的图象不关于直线 x= 对称，故C错误；
2
对于D：因为 f x = sinx+ cosx+ x，所以 f x = cosx- sinx+ 1= 2cos x+ π + 1，4
则 f π = 2cos π + π + 1= 0 π π，且当-π< x< 时 f x > 0，当 < x< π时 f x < 0，2 2 4 2 2
22
所以 f x 在 -π, π 上单调递增，在 π ,π π上单调递增，所以 f x 在 x= 处取得极大值，故D正确.2 2 2
故选：BD
37. (多选题) (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)抛物线C :x2=
2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到 (t,1)时，|PF | = 2，直线 l与抛物线相交于A、B两点，
下列结论正确的是 ( )
A. 抛物线的方程为：x2= 8y
B. 抛物线的准线方程为：y=-1
C. 当直线 l过焦点F时，以AF为直径的圆与 x轴相切
D. AF + BF ≥ 4
【答案】BC
【解析】对于A：当P运动到 t,1 时， PF = 1+
p = 2，故 p= 2，即抛物线为 x2= 4y，故A错误；
2
对于B：由 x2= 4y，故抛物线的准线方程为：y=-1，故B正确；
p
对于C：当直线 l过焦点F时，设A为 x0,y0 ，则 FA = y0+ = y + 1，2 0
y +1 x y +1
故以AF为直径的圆的半径为 0 ，又F 0,1 ，故以AF为直径的圆的圆心坐标为 0 , 0 ，2 2 2
圆心到 x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与 x轴相切，故C正确；
y=kx+m
对于D：由题意直线 l斜率存在，设 l的方程为 y= kx+m，联立 x2= ，4y
整理得 x2- 4kx- 4m= 0，Δ= -4k 2 + 16m> 0，即 k2+m> 0，
所以 xA+ xB= 4k,xAxB=-4m，
x2 x2
所以 yA+ yB= k(xA+ xB) + 2m= 4k2+ 2m，y y =
A B
A B =m2，4 4
所以 AF + BF = y 2A+ 1+ yB+ 1= yA+ yB+ 2= 4k + 2m+ 2，
不能确定什么时候最小，则D错误.
故选：BC
38. (多选题) (福建省福州第一中学 2024- 2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)已知函数 f x ，
g x 的定义域为R，g x 的导函数为 g x ，且 f x + g x = 5，f x-1 - g 5-x = 5，若 g x 为偶
函数，则下列说法正确的是 ( )
A. f 0 = 5
2024
B. f n =10120
n=1
C. 若存在 x0使 f x 在 0,x0 上单调递增，在 x0,2 上单调递减，则 g x 的极小值点为 4k k∈Z
D. 若 f x 为偶函数，则满足题意的 f x 唯一，满足题意的 g x 不唯一
【答案】ABD
【解析】对A，因为 g x 为偶函数，所以 g x 是奇函数，所以 g 0 = 0，又 f x + g x = 5，所以 f 0 +
g 0 = 5 f 0 = 5，故A对；
23
对B，由 f x + g x = 5，f x-1 - g 5-x = 5，得 f 4-x - g x = 5，
所以 f 4-x + f x = 10，所以 f 1 + f 3 = 10，f 2 = f 4 = 5，
又 f x = 5- g x = 5+ g -x = f x+4 ，所以 f x 是周期为 4的函数，g x 也是周期为 4的函数，
所以 f 1 + f 2 + f 3 + +f 2024 = 20× 506= 10120，故B对；
对C，f x 在 0,x0 上单调递增，在 x0,2 上单调递减，
由 f 4-x + f x = 10，y= f x 的图象关于 2,5 对称且 f 2 = 5，
由A可得 f 0 = 5，故 f x 在 0,x0 上单调递增，在 x0,2 上单调递减，
可知 f x 在 2,4-x0 单调递减，在 4-x0,4 单调递增，
又 f x 的周期为 4，所以 f x 在 -x0,0 单调递增，
所以 g x 在 -x0,0 单调递减，在 0,x0 单调递减，
又 g 0 = 0，所以 0是 g x 的极大值点，g x 是周期为 4的函数，
所以则 g x 的极大值点为 4k k∈Z ，故C错；
对D，若 f x 为偶函数，由于 g x 是奇函数，f x + g x = 5，则 f -x + g -x = 5，
即 f x - g x = 5，所以 f x = 5，g x = 0，所以 f x 唯一，g x 不唯一，故D对.
故选：ABD.
39. (多选题) (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)1694年瑞士数学家雅各布
伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系 xOy中，把到定点
F1 -a,0 ,F2 a,0 距离之积等于 a2(a> 0)的点的轨迹称为双纽线，已知点P x0,y0 是 a= 1时的双纽
线C上一点，下列说法正确的是 ( )
A. 双纽线C的方程为 x2+y2 2 = 2 x2-y2 B. - 1 ≤ y ≤ 12 0 2
C. 双纽线C上满足 PF1 = PF2 的点有 2个 D. PO 的最大值为 2
【答案】ABD
【解析】由到定点F1 -a,0 ,F2 a,0 的距离之积等于 a2的点的轨迹称为双纽线，
当 a= 1时，则双纽线C的方程为 (x+1)2+y2 × (x-1)2+y2= 1，
化简可得 x2+y2 2 = 2 x2-y2 ，故A正确；
1 1
由等面积法得S△F = PF PF sin∠FPF = FF y ，1PF2 2 1 2 1 2 2 1 2 0
1
则 y0 = sin∠F1PF 1 12，所以- ≤ y2 2 0≤ ，故B正确；2
因为 PF1 = PF2 ， PF1 PF2 = 1，
所以P在线段F1F2的中垂线即 x= 0上，
令 x= 0，得 1+y2 × 1+y2= 1，解得 y= 0，
所以双曲线C上满足 PF1 = PF2 的点P有一个，故C错误；
1
因为O在线段F1F2的中点，所以PO= PF+PF ，2 1 2
24
2 1 2
所以PO = PF1 +2 PF1 PF2 cos∠F1PF2+ PF 24 2 ，
由余弦定理得 4a2= PF 21 + PF 22 - 2 PF1 PF2 cos∠F1PF2，

PF 2

即 1 + PF 22 - 2 PF1 PF2 cos∠F1PF2= 4，

2 PF1 PF2 cos∠F1PF2+ 4= PF 21 + PF 22 ，

所以PO2= 12+ PF1 PF2 cos∠F1PF2= 1+ cos∠F1PF≤ 2，

所以 PO 的最大值为 2，故D正确.
故选：ABD.
40. (多选题) (安徽省六校教育研究会 2025届高三上学期入学考试数学试卷)已知函数 f x = ex,g x =
lnx，则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 f x 的图像与函数 y= x2的图像有且仅有一个公共点
B. 函数 f x 的图像与函数 g x 的图像没有公切线
g x
C. 函数 φ x = ，则 φ x 有极大值，且极大值点 x0∈ 1,2
f x
D. 当m≤ 2时，f x > g x+m 恒成立
【答案】ACD
【解析】对于选项A，易知当 x≤ 0时，函数 f x 与函数 y= x2的图像有一个公共点，
x xex x-2
当 x> 0 e时，令m x = ，则m x = ，
x2

x2
由m x > 0，得到 x> 2，由m x < 0，得到 0< x< 2，
ex
即m x = 在区间 0,2 上单调递减，在区间 (2, +∞)上单调递增，
x2
e2
所以在 x= 2时m x 取最小值m 2 = > 1，即 ex> x2，
4
所以当 x> 0时，函数 f x 与函数 y= x2的图像没有公共点，故A正确；
x
对于选项B，设与 f x 切于点 x 11,e ，与 g x 切于点 x2,lnx2
x1
x 1 lnx -e x x
则 e 1= = 2- ，化简得：x1e
1- x - e 11 - 1= 0，判断方程根的个数即为公切线条数，x2 x2 x1
x x x
令u x = x e 11 - x1- e 1- 1，则u x = x 1 1e - 1，易知u x x = x e 11 - 1在 -∞,0 上恒小于 0，
当 x∈ 0,+∞ 时，令M x = xex- 1，则M x = (x+ 1)ex> 0在区间 0,+∞ 上恒成立，
即M x = xex- 1在区间 0,+∞ 上单调递增，又M 0 =-1< 0，M 1 = e- 1> 0，
所以在 0,1 上有 x= x x x0使得u x0 = x0e 0- 1= 0，即 x 00e = 1，
所以u x 在 -∞,x 10 上单调递减，在 x0,+∞ 上单调递增，且 u x0 =-x0- < 0,x0
当 x→-∞,u x →+∞;x→+∞,u x →+∞，所以方程有两解，f x 与 g x 的图像有两条公切线，所以选项
B错误，
C φ x = lnx 1-xlnx 1对于选项 ，令 x ，所以 φ x =e ex
，
x
1 1 1
令 k x = - lnx，则 k x =- - < 0，
x x2 x
1
所以 k x 在 0,+∞ 上单调递减，又 k 1 = 1> 0,k 2 = - ln2< 0，
2
25
所以存在 x0∈ 1,2 ，使得 k x = 0，即 φ 0 x0 = 0，
则 φ x 在 0,x0 上单调递增，在 x0,+∞ 上单调递减，
所以 φ x 有极大值，且极大值点 x0∈ 1,2 ，故选项C正确，
对于选项D，G(x) = ex- x- 1，则G (x) = ex- 1，
当 x< 0时G (x) = ex- 1< 0，x> 0时，G (x) = ex- 1> 0，
所以G(x) = ex- x- 1≥G(0) = 0，即 ex≥ x+ 1，当且仅当 x= 0时取等号，
令 g(x) = x+ 1- ln x+2 ，则 g (x) = 1- 1 = x+1+ + > 0在区间 -2,+∞ 上恒成立，x 2 x 2
又 g(-1) =-1+ 1- ln -1+2 = 0，所以 x+ 1≥ ln x+2 ，当且仅当 x= 0时取等号，
又m≥ 2，当m= 2时，y= ln(x+ 2)与 y= ln(x+m)重合，当m> 2时，y= ln(x+m)的图象由 y= ln(x
+ 2)向右平移，此时 y= ln(x+m)图象恒在 y= ln(x+ 2)下方，
所以 ex≥ x+ 1≥ ln x+2 ≥ ln x+m ，且等号不能同时取到，故选项D正确.
故选：ACD.
41. (多选题) (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)设函数 f x = (x- a)2 x-4 ，定义域为
R，若关于 x的不等式 f x ≥ 0的解集为 {x x≥ 4或 x= 1}，下列说法正确的是 ( )
A. f x 的极大值为 0
B. 点 2,-2 是曲线 y= f x 的对称中心
C. 直线 y= 9x- 4与函数 f x 的图象相切
D. 若函数 f x 在区间 m,4 上存在最小值，则m的取值范围为 0,3
【答案】ABC
【解析】对于A，由 f x = (x- a)2 x-4 ≥ 0，解得 x≥ 4或 x= a，
所以 a= 1,f x = (x- 1)2 x-4 ，则 f x = 2 x-1 x-4 + (x- 1)2= 3 x-1 x-3 ，
当 x∈ 1,3 时，f x < 0；当 x∈ -∞,1 或 x∈ 3,+∞ 时，f x > 0；
可知 f x 在 -∞,1 , 3,+∞ 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
所以函数 f x 的极大值为 f 1 = 0，故A正确；
对于B，因为 f 2+x + f 2-x = (x+ 1)2 x-2 + (1- x)2 -x-2 =-4，故B正确；
y = x -1 2 0 0 x0-4 x =0,对于C，设切点为 (x0,y0)，则 9=3 x0-1 x0-3 ，解得
0
y0=-4,y0=9x0-4
所以直线 y= 9x- 4与函数 f x 的图象相切于 0,-4 ，故C正确；
对于D，由A选项知 f x 在 -∞,1 , 3,+∞ 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
又 f 3 =-4，令 f x =-4，解得 x= 0或 3，函数 f x 在区间 m,4 上存在最小值，
由图可知，m的取值范围为 0,3 ，故D错误．
故选：ABC．
42. (多选题) (2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试数学试题)已知曲线C : x2+y2-2 2 = 4+ 8xy，点
P x0,y0 为曲线C上任意一点，则 ( )
A. 曲线C的图象由两个圆构成 B. x2 20+ y0的最大值为 2 2
26
y0+2C. 1+ 的取值范围为

- ,1
D. 直线 y= x+ 2与曲线C有且仅有 3个交点x0 4 7
【答案】AC
【解析】对于A中，由 x2+y2-2 2 = 4+ 8xy，得 x2+y2 2 - 4 x2+y2 + 4= 4+ 8xy，
即 x2+y2 2 - 4(x+ y)2= 0，即 x2+y2+2x+2y x2+y2-2x-2y = 0，
所以 x2+ y2+ 2x+ 2y= 0或 x2+ y2- 2x- 2y= 0，
即 (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 2或 (x- 1)2+ (y- 1)2= 2，
所以曲线C表示以M -1,-1 ,N 1,1 为圆心， 2为半径的两个圆，所以A正确；
对于B中，由 x2 20+ y0表示点 x0,y0 到原点距离的平方，
最大值为 (NO+ 2 )2= (2 2 )2= 8，所以B错误；
对于C中，如图所示，设过点A -4,-2 且与圆N相切的直线方程为 y= k x+4 - 2，
5k-3
则点N到该直线的距离 d1= = 2，解得 k1= 1,k = 72 ，
1+k2 23
即图中直线AC的斜率为 1，可得直线AC的方程为 y= x+ 2，
点M到直线AC的距离 d2= 2，则直线AC与圆M相切，
设过点A且与圆M相切的直线方程为 y= k x+4 - 2，
3k -1
则点M到该直线的距离 d2= = 2 k = 1,k =- 1，解得 1 2 ，
1+ k 2 7
y0+2又由 + 表示的是点 x0,y0 到点 -4,-2 的斜率，x0 4
y0+2 1故 + 的取值范围为

- ,1

，所以C正确；x0 4 7
对于D中，由C项可知直线 y= x+ 2与圆M、N均相切，
所以直线 y= x+ 2与曲线C有且仅有 2个交点，所以D错误．
故选：AC．
43. (多选题) (安徽省安徽师范大学附属中学 2025届高三上学期 9月第一次测试数学试题)1675年，天文
学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的
点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系 xOy中，设定点 F1 -c,0 ，F2 c,0 ，其中 c> 0，动点
P x,y 满足 PF1 PF 22 = a (a≥ 0且 a为常数)，化简可得曲线 C：x2+ y2+ c2= 4c2x2+a4 ，则
( )
A. 原点O在曲线C的内部 B. 曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 若 a= c，则 OP 的最大值为 2a D. 若 0< a≤ 2c，则存在点P，使得PF1⊥PF2
【答案】BCD
【解析】对于A，将O(0,0)代入方程，得 c2= a2，所以当 a= c时，原点O在曲线C上，所以A错误，
对于B，以-x代 x，得 (-x)2+ y2+ c2= 4c2(-x)2+a4，得 x2+ y2+ c2= 4c2x2+a4，所以曲线关于 y轴对
称，
-y代 y，得 x2+ (-y)2+ c2= 4c2x2+a4，得 x2+ y2+ c2= 4c2x2+a4，所以曲线关于 x轴对称，
以-x代 x，-y代 y，得 (-x)2+ (-y)2+ c2= 4c2(-x)2+a4，得 x2+ y2+ c2= 4c2x2+a4，所以曲线关于原
点对称，所以曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，
对于C，当 a= c时，由 x2+ y2+ a2= 4a2x2+a4，得 y2= 4a2x2+a4- x2- a2≥ 0，解得 x2≤ 2a2，
27
所以 OP 2 = x2+ y2= 4x2a2+a4- a2≤ 4 2a2 a2+a4- a2= 2a2，
所以 OP ≤ 2a，所以 OP 的最大值为 2a，所以C正确，

对于D，若存在点P，使得PF1⊥PF2，则PF1⊥PF2，因为PF1= (-c- x, -y),PF2= (c- x, -y)，所以 x2-
c2+ y2= 0，所以 x2+ y2= c2，
所以由 x2+ y2+ c2= 4c2x2+a4，得 2c2= 4c2x2+a4，所以 2c2≥ a2，所以 0< a≤ 2c，反之也成立，所以
当 0< a≤ 2c，则存在点P，使得PF1⊥PF2，所以D正确，
故选：BCD
2
44. ( x多选题) (安徽省多校联考 2025届高三上学期开学质量检测数学试题)设 F1,F2分别为椭圆C : +4
y2 = 1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，则 ( )
2
A. 存在四个点P，使得PF1⊥PF2
B. 2若点P不在 x轴上，直线PF1的斜率是直线PF2的斜率的-3倍，则点P的横坐标为- 2

C. 存在点P，使得PF1 PF2= 1
49 PF 22 + PF 2D. 1 的最小值为 14
PF1 PF2
【答案】BC
x2
2
【解析】由椭圆C: + y = 1，可得 a2= 4,b2= 2，所以 a= 2,b= 2 ,c= 2，
4 2
对于A：若PF1⊥PF2，则P在以F1F2为直径的圆上，
因为 b= 2 ,c= 2，所以在椭圆上存在 2个点P，使得PF1⊥PF2，故A错误；
对于B：设P(m,n)，若存在点P使直线PF1的斜率是直线PF2的斜率的-3倍，
n-0 =-3× n-0 m=- 2则 ，解得 ，又-2m+ 2 m- 2 2
对于C：设P(m,n) (- 2≤n≤ 2 )，

PF1 PF 2 2 22= (- 2-m) ( 2-m) + (-n) (-n) =m +n - 2= 2-n ，
当n= 1时，PF1 PF2= 1，所以存在点P，使得PF1 PF2= 1，故C正确；
49 PF2
2+ PF 21 49 PF2 PF= + 1 ≥ 49 PF2 × PF 对于D： 2 1 = 14，
PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2
49 PF2 PF
当且仅当 = 1 ，即 PF1 = 7 PF2 时取等号，
PF1 PF2
PF + PF = 4 PF = 1又 1 2 ，则 2 < 2- 2，故等号不成立，故D错误.2
故选：BC.
45. (多选题) (江苏省海安高级中学 2025届高三上学期期初检测数学试卷)已知函数 f x = cosxsin2x．
则下列结论正确的是 ( )
A. y= f x π 图像关于点 π,0 中心对称 B. y= f x 图像关于直线 x= 对称
2
C. f x
3
的最大值为 D. f x 既是奇函数又是周期函数
2
28
【答案】ABD
【解析】A：因为 f π+x = cos π+x sin 2 π+x =-cosxsin2x，
f π-x = cos π-x sin 2 π-x = cosxsin2x，
所以 f π+x =-f π-x ，
因此 y= f x 图像关于点 π,0 中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为 f π +x = cos π +x sin 2 π +x = sinxsin2x，2 2 2
f π -x = cos π -x sin 2 π -x = sinxsin2x，2 2 2
f π所以 +x = f π -x2 2 ，
因此 y= f x 图像关于直线 x= π 对称，所以本选项结论正确；
2
C：f x = cosxsin2x= 2sinx cos2x= 2sinx(1- sin2x) =-2sin3x+ 2sinx，
sinx= t(-1≤ t≤ 1) g t =-2t3+ 2t g t =-6t2+ 2=-6 t+ 3 3设 ，所以 t- ，3 3
当-1< t<- 3 时，g t < 0,g t 3 3 3 单调递减，当- < t< 时，g t > 0,g t 单调递增，当 < t
3 3 3 3
< 1时，g t < 0,g t 单调递减，当 t= 3 时，函数有极大值，
3
g 3 = 4 3 4 3极大值为： ，而 g -1 = 0，所以函数 f x 的最大值为 ，因此本选项结论不正确；3 9 9
D：因为 f -x = cos -x sin 2 -x =-cosxsin2x=-f x ，
所以 f x 是奇函数，
因为 f x+2π = cos x+2π sin 2 x+2π = cosxsin2x= f x ，
所以 f x 是周期函数，因此本选项结论正确，
故选：ABD
46. (多选题) (河北省部分地区 2025届高三上学期 9月摸底考试数学试卷)已知数列 {an}满足 an+1= 2an
+n- 1，且 a1= 2，记 {an}的前项和为Tn，{Tn}的前项和为Sn，则下列说法中正确的是 ( )
2
A. {a }的通项公式为 a = 3× 2n-1n n -n B. Tn= 3× 2n- 3- n +n2
< an+1+n+1C. S2n 0 D. 数列 n 是等差数列2
【答案】ABD
【解析】A选项，an+1= 2an+n- 1，则 an+1+n+ 1= 2an+ 2n= 2 an+n ，
所以 an+n 为公比为 2的等比数列，其中 a1+ 1= 3，故 an+n= 3× 2n-1，则 a n-1n= 3× 2 -n，A正确；
B选项，Tn= a1+ a2+ a3+ +an= 3- 1+ 3× 2- 2+ 3× 22- 3+ +3× 2n-1-n
n 1+n n n 1+n 2
= 3+ 3× 2+ 3× 22+ +3× 2n-1- = 3× 1-2 - = 3× 2n- 3- n +n- ，B正确；2 1 2 2 2
n+1 2+n+1 2
C选项，T n+1n+1-Tn= 3× 2 - 3-
-
2 3×2
n-3- n +n = 3× 2n- 1-n，2
当n≥ 1时，3× 2n- 1-n> 0恒成立，故 Tn 为递增数列，且T1= 2> 0，
故Tn> 0恒成立，故S2n> 0，C错误；
an+1+n+1D = 3×2
n a +n+1
选项， n n = 3，故 n+1 n 为常数列，为等差为 0的等差数列，D正确.2 2 2
29
故选：ABD
2 y2
47. (多选题) (河北省唐山市 2024- 2025 x学年高三上学期摸底演练数学试题)已知双曲线C : - = 1
4 16
与直线 l:y= kx+ t k≠±2 有唯一公共点M，过点M且与 l垂直的直线分别交 x轴，y轴于A m,0 ，
B 0,n 两点，当M运动时，下面说法正确的有 ( )
A. k<-2或 k> 2 B. 记点P k,t ，则点P在曲线C上
C. 直线 l与两渐近线所围成的面积为定值 D. 记点Q m,n ，则点Q的轨迹为椭圆
【答案】ABC
x2 y
2
【解析】对A，∵双曲线C: - = 1与直线 l:y= kx+ t k≠±2 有唯一公共点M，
4 16
∴直线 l与双曲线的渐近线平行或者与双曲线相切，
2 y2
C: x双曲线 - = 1的渐近线方程为：y=± b x=±2x，
4 16 a
又∵ k≠±2，
∴直线 l与双曲线相切，
2
x
2
4 -
y
16 =1 ，y=kx+t
即 4-k2 x2- 2ktx- t2- 16= 0，
则Δ= 4k2t2+ 4 4-k2 t2+16 = 0，
即 t2- 4k2+ 16= 0，
2
∴ k2= t + 4≥ 4，
4
故 k<-2或 k> 2，故A对；
对B，由A知：t2- 4k2+ 16= 0，
k2 - t
2
即 = 1，即点P在曲线C上，故B对，
4 16
2
C x
2
- y对 ，双曲线 = 1的渐近线方程为：y=±2x，
4 16
设直线 l与双曲线的渐近线的交点分别为E,F，
y=kx+t t 2t则由 = 解得：E=y 2x - , ，2 k 2-k
y=kx+t由 y=- 解得：F=2x
-t 2t
2+ ,k 2+k
直线 l与 y轴的交点为 0,t ，
1
故直线 l与两渐近线所围成的面积S= t xE + x
1
F = t xE-x =
1
F

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