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北京一零一中 2024－2025 学年度第一学期初三练习
数 学 2024.9
班级__________________ 姓名__________________ 准考证号__________________
1．本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟；
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号；
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1—8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”
“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．解方程 x2 4x 3时，下列用配方法变形的结果正确的是（ ）
A． (x 2)2 19 B．(x 4)2 7 C (x 2)2 4 D (x 2)2 ． ． 7
23．对于抛物线 y x 2 5，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 x 2
C．抛物线的顶点坐标是 2,5 D．当 x 2时， y 随 x 的增大而增大
4．一元二次方程2x2 3x 5 0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．某工厂 2023 年生产某种机械 5000 台，研发生产技术后，预计 2025 年生产该种机械 6600
台.设生产该种机械的年平均增长率为 x，下面所列方程正确的是（ ）
2
A．5000 1 x 6600 B．5000x2 6600
C． 6600 2 21 x 5000 D．5000 1 x 5000 1 x 6600
第 1 页 共 8 页
6．在如图所示的正方形网格中，四边形 ABCD 绕某一点旋转某一角度得到四边形 A'B'C'D'
（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点 M，N，P，Q 中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图
2
7．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y ax bx c a 0 的图象如图所示，以下结论中
正确的是（ ）
A．abc 0 B．2a b 0
C．9a 3b c 0 D．若 m 为任意实数，则a b m am b
8．如图，菱形 ABCD 的边长为 2， A 60 ，E 是边 AD 的中点，F 是边 AB 上的一个动
点，将线段 EF 绕着点 E 逆时针旋转60 得到 EG，连接 BG，CG，则BG CG的最小值为
（ ）
A． 3 B．2 3 C． 7 D．1 3
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9．一元二次方程 x 2 3 x 的解为 ．
10 2．已知 x 2 是关于 x 的一元二次方程 x bx 6 0的一个根，则 b 的值是 ．
11．写出一个开口向下，并且经过点 0,1 的抛物线的解析式： ．
12 2．若二次函数 y 3x 1的图象上有两点 A 2, y1 ，B 1, y2 ，则 y1 _____ y2（填“>”“=”
或“<”）．
13．如图，AB 是⊙O 的弦，若⊙O 的半径 OA=5，圆心 O 到弦
AB 的距离 OC=3，则弦 AB 的长为 ．
第 13 题图
第 2 页 共 8 页
14．如图，正方形 ABCD的边长为 3，E 为CD边上一点，DE 1．△ ADE 绕着点 A 逆时针
旋转90 与△ ABF 重合，连结 EF，则 EF= ．
第 14 题图 第 15 题图
15 2．已知二次函数 y1 ax bx c 与一次函数 y2 kx m k 0 的图象相交于点 A 2,4 ，
B 8,2 ．如图所示，则能使 y1 y2 成立的 x 的取值范围是 ．
16．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A 1,3 , B 2, 6 ,C 0,0
等都是“三倍点”.在 3 x 1的范围内，若二次函数 y x2 x c 的图象上有且只有
一个“三倍点”，则 c 的取值范围是 ．
三、解答题（共 68 分，第 17 题 8 分，第 18 题 4 分，第 19-24 题，每题 5 分，第 25-26 题，
每题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）
17．解方程：
(1) 2x2 8 0 ； (2) x2 2x 3 0 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知 A 2,1 , B 4,5 ,
C 5,2 ， △ ABC 与△ A1B1C1关于原点对称，点 A，B，
C 的对称点分别是点 A1， B1，C1 ．
(1)点 A1的坐标为____________，画出△ A1B1C1；
(2)直接写出△ A1B1C1的面积为 ．
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19．已知二次函数的函数值 y与自变量 x 的部分对应值如下表，求该二次函数的解析式．
x 1 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0 5
20 2．已知关于 x 的方程 x 2x 2m 1 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方
程的根．
21．如图，在△ ABC 中，点 E 在边BC上，AE AB ，将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置，
使得 CAF BAE，连接EF ，EF 与 AC 交于点 G．
(1)求证：EF BC ；
(2)若 ABC 65 ， ACB 28 ，求 FGC的度数．
第 4 页 共 8 页
22．已知二次函数 y x2 4x 3．
(1)抛物线 y x2 4x 3的顶点坐标为_________，画出其函数图象；
(2)观察图象，回答下列问题：
①函数 y 0时， x 的取值范围是_________；
3
②方程 x 4的根是_________；
x
③若当a x 0时，函数 y 的最小值是 1，最大值是3，
则a的取值范围是_________．
23．如图，OA OB， AB 交⊙O于点 C，D，OE 是半径，且OE AB于点 F．
(1)求证： AC BD；
(2)若CD 6，EF 1，求⊙O的半径．
24．列方程解决实际问题：
为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101 中教育集团成立了
众多种类的学生社团.其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如
图①，在生态大棚中有一块矩形空地 ABCD ，其中 AD 边的长比 AB 边的 2 倍少 1，
计划在矩形空地上一边增加 7m ，另一边增加3m，构成一个正方形区域 AEFG ，作
为学生栽种鲜花的劳动教育基地．
7m
A E
B
3m D C
G F
图① 图②
第 5 页 共 8 页
(1)直接写出正方形区域 AEFG 的边长是_____________m；
(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方
形区域一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽
种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90m2，求小道的宽度．
25．如图 1，某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，OA所在直线为 x 轴
建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽OA 8米，桥拱顶点 B 到水面的距
离是 4 米．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最
大宽度是多少？
(3)如图 2，桥拱所在的抛物线在 x 轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新
函数图象，将新函数图象向右平移n n 0 个单位长度，平移后的函数图象在8 x 9
时，y 的值随 x 值的增大而减小，结合函数图象，直接写出 n 的取值范围．
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26．在平面直角坐标系 xOy 中，点 (x1, y1) ， (x2 , y2 )在抛物线 y ax
2 bx c(a 0)上，
设抛物线的对称轴为直线 x t ．
(1)若对于 x1 1， x2 3，有 y1 y2 ，直接写出 t的值为_____________；
(2)若对于 t x1 t 1，1 x2 2 ，都有 y1 y2 ，求 t的取值范围．
27．在△ ABC 中， C 90 ， AC BC，点E 是直线BC 上一点．
图 1 图 2 备用图
(1)如图 1，点D是 AC 边上一点，连接DE ，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90 至EF ，
连接 BF ．
①请按照要求补全图形；
②若 AC 6 ， BE 2，直接写出△BEF 的面积为_____________；
(2)连接 AE ，将线段 AE 绕点E 顺时针旋转90 至EM ，连接BM ，取线段BM 的中点 N ，
连接EN ．
①如图 2，点E 在线段BC 上时，请写出线段 AB ， EN 和EB 之间的数量关系并证明；
②当点E 在直线BC 上时，请直接写出线段 AB ，EN 和 EB 之间的数量关系．
第 7 页 共 8 页
28．已知点 P 为线段 AB 上一动点(点 P 不与 A,B 重合), 分别以 AP,BP 为底边在 AB 的同
侧作等边三角形 APE 和等边三角形 BPF, 连接 EF, 点 M 为 EF 的中点. 我们将点 M
称之为线段 AB 关于点 P 的“中顶点”. 如图所示，点 M 为线段 AB 关于点 P 的“中顶
点”.
(1)已知点 A 4,0 , 点B 4,0 , 点 P 为线段 AB 上一动点(点 P 不与 A,B 重合), 则以下
四个点M 2,2 3 , 1 M 2 1,2 3 , M3 1, 2 3 ,M 中, 能作为线段 AB 关于4 2, 2 3
点 P 的“中顶点”的有 ;
(2)已知点 A t,0 , B t 4 3,0 2, 在函数 y x 上存在线段 AB 关于点 P 的“中顶点”,
则 t的取值范围为 ;
(3) 已知点 A t 2,0 , B t 2,0 , 点 P 为线段 AB 上一动点, 一个边长为 4 的正方形 M,
其中心坐标为 0, t , 若正方形 M 上存在线段 AB 关于点 P 的“中顶点”, 则 t的取值范
围为 .
第 8 页 共 8 页北京一零一中教育集团 2024－2025 学年度第一学期初三练习
数 学 答 案 2024.9
一、选择题（本题共 16分，每小题 2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A A C C
二、填空题（本题共 16分，每小题 2分）
2
9. x1 0，x2 3 10. 1 11. y x 1（答案不唯一） 12. >
13. 8 14. 2 5 15. 2 x 8 16. 3 c 5或c 4
（9 题、16 题答对一个得一分，有错误答案不得分）
三、解答题（共 68 分，第 17 题 8 分，第 18 题 4 分，第 19-24 题，每题 5分，第 25-26 题，
每题 6分，第 27-28 题，每题 7分）
2
17. （1）2x 8 0
解： x2 4 …………….2 分
x1 2，x2 2. …………….4 分
（2） x2 2x 3 0
解： (x 3)(x 1) 0 …………….2 分
x1 3，x2 1. …………….4 分
18. (1) (2,-1) ; …………….1 分
y
6
B
5
4
3
2C
1
A O x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
–1 A1
–2 C1
–3
–4
–5 B1
–6
…………….2 分
(2) 5 . …………….4 分
1 / 8
19. 解：由表格可知抛物线的顶点为 (1, 4) ，
2
设抛物线的解析式为 y a x 1 4 ， …………….1 分
把 ( 1 ) 2，0 代入得0 a 1 1 4， …………….3 分
解得a 1， …………….4 分
∴此二次函数的表达式 y (x 1)2 4 . ……………5 分
20. 解：∵关于 x 的方程 x2 2x 2m 1 0 有实数根，
∴ ( 2)2 4(2m 1) 8 8m 0 , …………….2 分
∴m 1 , …………….3 分
又∵m 为正整数，∴m 1 …………….4 分
∴方程为： x2 2x 1 0
解得： x x 1 …………….5 分 1 2
21. (1)证明∶∵ CAF BAE，
∴ BAC EAF ． …………….1 分
∵将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置，
∴ AC AF．
在△ ABC 和△ AEF 中，
AB AE

BAC EAF

AC AF
∴△ ABC≌△ AEF SAS …………….2 分
∴EF BC ． …………….3 分
(2)解∶∵ AB AE， ABC 65 ，
∴ BAE 180 65 2 50 ，
∴ FAG BAE 50 ． …………….4 分
2 / 8
∵△ABC≌△AEF
∴ F C 28 ，
∴ FGC FAG F 50 28 78 ． …………….5 分
22.（1） 2， 1 …………….1 分
…………….2 分
（2）① x 3或x 1； …………….3 分
② x1 3， x2 1； …………….4 分
③ 4 a 2 ． ……………5 分
23. （1）证明：∵OE AB ， OA OB，
∴ AF BF ， …………….1 分
∵OE AB ，OE 是半径，
∴CF DF ， ……………2 分
∴ AF CF BF DF ，
∴ AC BD； …………….3 分
（2）解：连接 OC,设⊙O的半径是 r，
∵CO2 CF 2 OF 2 ，
2
∴ r 232 r 1 ， …………….4 分
∴ r 5，
∴⊙O的半径是 5． …………….5 分
3 / 8
24. （1）12; …………….1 分
（2）解：设小道的宽度为 x m，则栽种鲜花的区域可合成长 12 x m，宽 12 1 x m
的矩形，
由题意得： 12 x 12 1 x 90， …………….3 分
整理得： x2 23x 42 0，
解得： x1 2, x2 21（不合题意舍去）， ……………5 分
答：小道的宽度为2m．
0 8
25. （1）∵OA 8，∴ A 8,0 ，抛物线的对称轴为直线 x 4，∴B 4, 4 ，
2
2
设抛物线的解析式为 y a x 4 4，
2 1
把原点代入得0 a 0 4 4，解得a ，
4
1 2
∴此二次函数的表达式 y x 4 4 ( 0 x 8 ). …………….2 分
4
1
（2）∵二次函数的表达式 y 2x 4 4，
4
1
令 y 2.26 0.3 2.56
2
得：2.56 x 4 4， …………….3 分
4
解得： x1 6.4， x2 1.6， …………….4 分
∴小船的最大宽度为：6.4 1.6 4.8 米． …………….5 分
（3）5 n 8 …………….6 分
26.(1) t 1; …………….2 分
(2)代数法 1：
b
解：∵对称轴为 x t ， b 2at
2a
抛物线解析式为 y ax2 2atx c(a 0)
∵点 (x1, y1) ， (x2 , y2 )在抛物线上，
y1 ax
2
1 2atx1 c, y2 ax
2
2 2atx2 c
∵ y1 y2 , y1 y2 0
4 / 8
y1 y2 a(x1 x2 )(x1 x2 2t) 0 …………….3 分
∵a 0, (x1 x2 )(x1 x2 2t) 0
x1 x2 x1 x 2 或
x1 x2 2t x1 x2 2t
∵ t x1 t 1，1 x2 2
t 1 x1 x2 t 3
t 1 1 t 2
或 …………….4 分
t 1 2t t 3 2t
解得： t 0或t 3 ……………6 分
代数法 2：
解：设抛物线解析式为 y a(x t)2 k
∵点 (x1, y1) ， (x2 , y2 )在抛物线上，
y a(x t)21 1 k，y
2
2 a(x2 t) k
∵ y1 y2 , y1 y2 0
y1 y2 a(x
2
1 t) a(x2 t)
2 0 ……………3 分
∵ a 0, (x 21 t) (x2 t)
2
∵ t x1 t 1， 0 x1 t 1， 0 (x1 t)
2 1
(x2 t)
2 1
x2 t 1或x2 t 1
t x2 1或t x2 1 …………….4 分
∵1 x2 2
t 3或t 0 . ……………6 分
5 / 8
数形结合法：
①当 t 2时， (x1, y1) ， (x2 , y2 )位于对称轴两侧
(x2 , y2 )关于 x t 的对称点为 (2t x2 , y2 )
∵ x t 时， y 随 x增大而增大，且都有 y1 y2 ，
2t x2 x1 恒成立， x1 x2 2t 恒成立
∵ t x1 t 1，1 x2 2
t 1 x1 x2 t 3
t 3 2t ，
t 3 …………….3 分
②当1 t 2时，∵1 x2 2
当 x2 t 时，必有 y2 y1
不合题意，舍去. …………….4 分
③当 t 1时， (x1, y1) ， (x2 , y2 )都位于对称轴右侧，
∵ x t 时， y 随 x增大而增大，且都有 y1 y2 ，
x1 x2 恒成立，
∵ t x1 t 1，1 x2 2 ，
t 1 1，
t 0 . ……………5 分
综上所述： t 0或t 3. ……………6 分
27. 解：(1)①如图：
…………….1 分
6 / 8
② 4 …………….2 分
（2）① AB 2NE 2BE …………….3 分
证明∶如图 2，过点M 作MG∥BC ，交直线 NE 于点G ，过
点 E 作EQ∥AC ，交 AB 于Q，
∵MG∥BC ，
∴ G NEB， GMN EBN， GME CEM ，
∵点 N 是 BM 的中点，
∴MN BN ，
∴△BEN≌△MGN（AAS）， …………….4 分
∴ NE GN，MG BE ，
∴GE 2NE ，
∵ EQ∥AC ，
∴ CAB EQB 45 ABC， C QEB CEQ 90 ，
∴QE BE ，
∴MG EQ BE，BQ 2BE ，
∵将 AE 绕点E 顺时针旋转90 至EM ，
∴ AE ME， AEM 90 CEQ ，
∵ AEM AEC CEM ， CEQ AEC AEQ
∴ AEQ CEM ，
∴ AEQ EMG ，
∴△ AEQ≌△EMG（SAS），
∴ EG = AQ ，
∴ AB AQ BQ 2NE 2BE ； …………….5 分
②当E 在线段 BC 上时， AB 2NE 2BE
当 E 在线段CB的延长线上时， AB 2EN 2BE；
7 / 8
当 E 在线段 BC 的延长线上时， AB 2BE 2EN . …………….7 分
28.
（1）M 2 , M3 ; …………….2 分
（只要有正确答案就得 1 分，四个全选 0 分）
（2） 4 3 t 0且 t 2 3 ; …………….2 分
（3） 3 t 1或 t 3 2或 t 2 3 或1 t 3 . …………….3 分
（一个答案的得 1 分，两个或三个答案的得 2 分）
8 / 8

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