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2.3 一元二次方程根的判别式
我们在运用公式法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？
我们知道,任何一个一元二次方程
∵a≠0
∴4a2>0
配方
∵a≠0 ∴4a2>0
当 时，
当 时，
当 时，
方程有两个不相等的实数根：
方程有两个相等的实数根：
方程没有实数根.
1.
3.
2.
我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 .
记住了，别搞错!
结论
1.当 时，方程有两个不相等的实数根，其根为：
一元二次方程： 的根的情况可由 来判断：
2.当 时，方程有两个相等的实数根，其根为：
3.当 时，方程有没有实数根.
x1= ，x2= ；
x1=x2= ；
例题讲解
例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况.
（1） 3x2－x＋1 = 3x ；
（2） 5（x2＋1）= 7x ；
（3） x2－4x = －4 .
方程要先化为一般形式，再求判别式
解：（1）原方程化为一般形式为：
3x2－4x＋1 = 0 .
因为 =（－4）2－4×3×1
=16－12=4>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
解：（2）原方程化为一般形式为：
5x2－7x＋5 = 0 .
因为 =（－7）2－4×5×5
=49－100=－51<0，
所以，原方程没有实数根.
解：（3）原方程化为一般形式为：
x2－4x＋4 = 0 .
因为 =（－4）2－4×1×4
=16－16=0，
所以，原方程有两个相等的实数根.
（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（3）一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)（△=b2-4ac）
判别式
情况
根 的 情 况
定 理 与 逆 定 理
△＞0
X1,X2=
△≥0<=>有（两个）实数根
△＞0<=>有两个不等实数根
△＝0
X1,X2=
△=0<=>有两个相等实数根
△＜0
无意义, X1,X2不存在
△＜0<=>无实根
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 （ ）
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
A
3.下列一元一次方程中，有实数根的是 （ ）
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
C
练习
练习
4.若方程 2x2-(k-1)x+8=0 有两个相等的实数根，求k的值.
解：
又∵方程有两个相等的实数根,

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