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专题35 数列求和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】分组转化求和 4
【考点2】裂项相消法求和 5
【考点3】错位相减法求和 6
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 10
【培优篇】 11
考试要求：
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂项求和常用的三种变形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
6．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【考点1】分组转化求和
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）若，设，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
二、多选题
3．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（ ）
A． B．的前n项和为
C．的前100项和为100 D．的前30项和为357
4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数满足，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．时， D．
三、填空题
5．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 .
四、解答题
6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n．
反思提升：
1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}满足cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
【考点2】裂项相消法求和
一、单选题
1．（2025·江苏·模拟预测）已知数列满足，，记为数列的前n项和.数列满足，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．，
C．， D．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·河北·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，（），，数列的前项和为，则下面说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·福建宁德·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．的前项和
C． D．
三、填空题
5．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前n项和为，则 ．
四、解答题
6．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
反思提升：
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
【考点3】错位相减法求和
一、单选题
1．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
二、多选题
3．（2020·海南·模拟预测）已知数列的首项是4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前n项和
D．的前n项和
4．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）已知函数满足， 且， 则（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．
三、填空题
5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）数列 满足，则 .
四、解答题
6．（2024·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为.
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)在数列中，，，求数列的通项公式及.
反思提升：
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
2．（21-22高三上·湖南·阶段练习）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于轴，左边第一根弦在轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁柱曲线）方程为，第（，第0根弦表示与轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线交于点和，则（ ）参考数据：．
A．814 B．900 C．914 D．1000
3．（2024·浙江杭州·二模）设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
4．（2022高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
5．（21-22高二下·全国·单元测试）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
6．（2023·辽宁·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
三、填空题
8．（2022·江西萍乡·二模）已知函数，等差数列满足，则 ．
9．（2022·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和 .
10．（23-24高二上·湖北·期末）已知公差不为0的等差数列中，存在，，满足，，则项数 .
四、解答题
11．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
12．（2024·广东·二模）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、多选题
2．（2023·广东佛山·模拟预测）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
三、填空题
3．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
四、解答题
4．（2025·广东深圳·一模）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中．
(1)求及的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多选题
2．（2024·浙江·三模）利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·山东滨州·二模）已知函数，数列满足，，，则 ．
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专题35 数列求和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 9
【考点1】分组转化求和 9
【考点2】裂项相消法求和 14
【考点3】错位相减法求和 20
【分层检测】 26
【基础篇】 26
【能力篇】 33
【培优篇】 37
考试要求：
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂项求和常用的三种变形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
6．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
4．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
5．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
6．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
【考点1】分组转化求和
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）若，设，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
二、多选题
3．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（ ）
A． B．的前n项和为
C．的前100项和为100 D．的前30项和为357
4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数满足，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．时， D．
三、填空题
5．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 .
四、解答题
6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B D AD ABC
1．B
【分析】根据题意确定，进而利用等比数列的前项和即可求解.
【详解】为的系数，即每个括号中只有一个括号取，其余都取1，
则，即，
所以数列的前n项的和.
故选：B.
2．D
【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得.
【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，
记第n层球的个数为，则，
得，
其中也适合上式，则，
在第n堆中，
，
当时，，解得.
故选：D.
3．AD
【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D.
【详解】当时，，
当时，，
两式相减可得：，
所以，
显然当时，满足，故，故A正确；
由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误；
令，的前100项和为：
，故C错误；
令，
所以的前30项和为：
，故D正确.
故选：AD.
4．ABC
【分析】关键利用函数恒等式得到，和，从而可以利用数列思想求解并加以判断.
【详解】令得：，又因为，，
所以，所以选项A是正确的；
令得：，
因为，所以由上式得，，，
根据递推可得，，所以选项B是正确的；
令得：，
所以是等比数列，由，可得公比为，所以，所以选项C是正确的；
，所以选项D是错误的.
故选：ABC.
5．
【分析】依题意可得，记，即可得到，从而求出的通项公式，再由分组求和法计算可得.
【详解】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
记的前项和为，
则
.
故答案为：
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件进行化简，结合等比数列的知识求得正确答案.
（2）先求得，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案.
【详解】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
所以
，
数列是单调递增数列，
当时，，
当时，，
所以满足条件的最大整数为.
反思提升：
1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}满足cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
【考点2】裂项相消法求和
一、单选题
1．（2025·江苏·模拟预测）已知数列满足，，记为数列的前n项和.数列满足，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．，
C．， D．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·河北·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，（），，数列的前项和为，则下面说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·福建宁德·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．的前项和
C． D．
三、填空题
5．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前n项和为，则 ．
四、解答题
6．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D C ACD BCD
1．D
【分析】首先分析出数列单调递减，，，推导出即可判断AD，通过作差法得和即可判断BC.
【详解】，且，
，即数列单调递减，
又，，
先来分析AD选项，
，
令，因为，则，
则，因为，
则，
则，
注意到D选项中的与的关系，
构造出数列，
因为函数在上单调递增，
则单调递增，则，即，
即
，，累加得故A选项错误，D选项正确.
对BC，注意到 ，
对于B选项，则需要比较与的大小,
作差可得,结合，
故，故B错误；
对于C选项，则需要比较与的大小，因为，
则，
待定系数并且令恒成立，
因为，则，则，即恒成立，
因为，则，则恒成立，
则恒成立，则恒成立，
因为，即，则，
则，则，
则，即，即，
故，
当足够大时，，此时，但小于，
则存在，使得，故C错误；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是作差得，则.
2．C
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，进而得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，且是与的等比中项，可得，
即，解得，所以，
又由，
可得.
故选：C.
3．ACD
【分析】由题设中的递推关系可得，故可得判断AB的正误，利用分组求和和错位相减法可判断C的正误，利用裂项相消法可判断D的正误.
【详解】选项A：，，正确；
选项B：，，而，所以，故，
所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，故，错误；
选项C：，
所以，
设，则，
两式作差可得，
所以，所以，正确；
选项D：，
所以，正确.
故选：ACD.
4．BCD
【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可．
【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，
所以，所以为等比数列，，
所以，故A错误；
，
故的前项和为，
故B正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列，
项数之和为，则的最大整数为11，此时,
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
取的就是第12行中的第3项，，故C正确；
是中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项，
所以，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解.
5．
【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式，即可计算出.
【详解】由，则，
当时，上式相加，得，
所以，又符合上式，可知，
所以．
故答案为：
6．(1)
(2)
【分析】（1）结合题意，利用与的关系式及等比数列的概念即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由，
得，即，
当时，，
两式相减得，
化简得，
当时，，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
反思提升：
1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
【考点3】错位相减法求和
一、单选题
1．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
二、多选题
3．（2020·海南·模拟预测）已知数列的首项是4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前n项和
D．的前n项和
4．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）已知函数满足， 且， 则（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．
三、填空题
5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）数列 满足，则 .
四、解答题
6．（2024·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为.
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)在数列中，，，求数列的通项公式及.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D BD ABD
1．C
【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解.
【详解】由，得，
所以，，，，（，），
累乘可得，又，得.
设①，
则②，
①-②得，
，
，
.
故选：C.
2．D
【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故选：D.
3．BD
【分析】根据题意，得到，得到为等比数列，可判定A；由，可判定B；利用错位相减法求和，可判定C；由，结合等差数列的求和公式，可判定D.
【详解】由，可得，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以A错误；
由，所以，显然数列为递增数列，所以B正确；
由，可得，
两式相减，可得，所以，所以C错误；
因为，所以数列的前项和为，所以D正确.
故选：BD.
4．ABD
【分析】令判断A，令判断B，令，求出，判断C，令，得，利用错位相减法判断D.
【详解】对于A，令时，则，又，所以，故A正确；
对于B，令时，则，又，所以，故B正确；
对于C，当时，则，又，，
所以，所以函数不为奇函数，故C错误；
对于D，当时，则，又，
所以，即，
所以当时，，
即，即，，
当时，代入上式，，所以，
设，
则 ①
②
①-②得，
，
所以，故，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：赋值法的直观应用，对于D选项，构造数列，利用错位相减法求解.
5．
【分析】由累乘法求出，再由错位相减法求出数列 的前项和为，即可求出，代入求解即可.
【详解】由可得：，
当时，
，，，……，，
所以上述式子相乘可得：，所以，
令，，所以满足，所以.
设数列 的前项和为，
①，
②，
①减②可得：
所以，
所以，
所以
.
故答案为：.
6．(1)证明见及解析，
(2)
(3)，
【分析】（1）依据等比数列的定义构造等比数列，再求解通项即可.
（2）利用裂项相消法求出，结合分离参数法求解参数范围即可.
（3）结合题意求出，再利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）∵，∴，
即，又，
∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴，.
（2），
∴，
由，得，
∴恒成立，，
当且仅当时取等，此时解得，
所以实数的取值范围是.
（3）由，，
∴，
数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，
偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列，
，
设，
，
两式相减得，
∴，
所以.
反思提升：
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
2．（21-22高三上·湖南·阶段练习）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于轴，左边第一根弦在轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁柱曲线）方程为，第（，第0根弦表示与轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线交于点和，则（ ）参考数据：．
A．814 B．900 C．914 D．1000
3．（2024·浙江杭州·二模）设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
4．（2022高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
5．（21-22高二下·全国·单元测试）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
6．（2023·辽宁·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
三、填空题
8．（2022·江西萍乡·二模）已知函数，等差数列满足，则 ．
9．（2022·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和 .
10．（23-24高二上·湖北·期末）已知公差不为0的等差数列中，存在，，满足，，则项数 .
四、解答题
11．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
12．（2024·广东·二模）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C A C BCD BC BCD
1．B
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
2．C
【分析】根据题意，有，，则有，利用错位相减法分析可得答案．
【详解】根据题意，第根弦分别与雁柱曲线和直线交于点，和，，
则，，则有，
设，则，①
则，②
①-②可得：
；
，
故；
故选：C
3．A
【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.
【详解】
.
故选：A.
4．C
【分析】根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列，利用周期性即可求解.
【详解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，
故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
故选：C.
5．BCD
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
又，可得
故选：BCD
6．BC
【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.
【详解】由题意可知：，于是有，
显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时，，
显然适合上式，，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
7．BCD
【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD.
【详解】对于A选项，
取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，
取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，
由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正确．
故选:BCD．
8．/
【分析】利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
9．
【分析】先根据求出，进而求出，再利用错位相减法求和.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
综上：，，
所以，
所以①，①×得：
②，
两式相减得：，
所以
故答案为：
10．2023
【分析】设公差为，裂项相消得到，进而求和得到方程，求出答案.
【详解】设等差数列的公差为d，由，
可得
，
因为，所以.
故答案为：
11．(1)
(2)．
【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式；
（2）利用错位相减法可得数列的前n项和．
【详解】（1）设数列的公比为，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
两式相减得，
∴．
12．(1)
(2)．
【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又
因此是以为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，
∴．
（2）．因此
．
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、多选题
2．（2023·广东佛山·模拟预测）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
三、填空题
3．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
四、解答题
4．（2025·广东深圳·一模）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中．
(1)求及的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
参考答案：
题号 1 2
答案 C AB
1．C
【分析】根据题意求出函数的对称中心为，可得出，用倒序相加法即可求解.
【详解】由题意可知，所以，令，则，
所以，由题意可知函数的对称中心为，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.
故选：C
【点睛】对称性常用结论;
1、若对于上的任意，函数都有，则图象关于直线对称.
2、若对于上的任意，函数都有，则图象关于点中心对称.
2．AB
【分析】对代入特殊值，求出的性质，最后运用构造法求出的解析式，运用错位相减法求和即可.
【详解】对于A，令，则有，
，正确；
对于B，因为的定义域为，
因为对于，，
当时，令，则有，
当时，，
所以是奇函数，正确；
对于C，由B知，当时，，错误；
对于D，，令，，
则有，，令，则，
，是首项为1，公差为1的等差数列，
，即，，
令…①，
则…②，
①-②得：，
故，错误；
故选：AB.
3．
【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和.
【详解】由，有，
，两式相除得到，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，则，
所以，
所以.
故答案为：.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式，求出，再利用累加法求出通项公式.
（2）由（1）的结论求出，利用分组求和及裂项相消法求和即得.
【详解】（1）由，得，，
由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列，
因此，，
当时，，
满足上式，则，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多选题
2．（2024·浙江·三模）利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·山东滨州·二模）已知函数，数列满足，，，则 ．
参考答案：
题号 1 2
答案 D ABD
1．D
【分析】由数列递推式，整理构造出等差数列，求得通项，再利用错位相减法求得，最后代入不等式求解即得.
【详解】因为，
所以．
两边同乘得，，
又因为，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则．
则，
，
两式相减得，，
，
所以，
则由可得，，
解得，则n的最小值为11．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解题关键在于，对于已知的数列递推式，发现其特征，通过等价变形，将其转化为等差或等比数列的形式，有时从数列定义，有时是通过等差（比）中项的角度推得，对于通项具备“等差×等比”型的数列，考虑用错位相减法求和即得.
2．ABD
【分析】对于A：令，代入可得，运算整理即可；对于B：可得，令，可得，运算整理即可；对于C：取特值检验即可；对于D：令，可得，结合等比数列求和公式分析证明.
【详解】对于不等式，当且仅当时，等号成立，
对于选项A：令，则，
可得，
其中
，
所以，A正确；
对于选项B：将x替换为，可得，当且仅当时等号成立．
令，可得，整理可得，
故，
即，
所以，故B正确；
对于选项C：令，可得，即，
这显然不成立，故C错误；
对于选项D：等价于证明，
将中的x替换为，其中，，则，即，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求和进而放缩证明.
3．2
【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故答案为：2.
【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.
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