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8.5.2 直线与平面平行
第八章 　立体几何初步
课程目标
1．理解直线和平面平行的判定定理及性质定理并能运用其解决相关问题.
2．通过对判定定理及性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
1、判断两条直线平行常用方法？
(1)三角形中位线定理；
(2)平行四边形的对边；
(3)成比例线段；
(4)平行公理.
知识回顾
2.直线和平面平行的定义：
直线和平面没有公共点。
在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用广泛，而且是学习平面与平面平行的基础.怎样判定直线与平面平行呢？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点，但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢
如图门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
如图将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动.在转动的过程中（AB离开桌面）,DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？
可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的,；
硬纸板的边AB与DC平行，只要边DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行
直线和平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符号表示：
简述为：
线线平行 线面平行
注意：使用定理时，必须具备三个条件：
（1）直线a在平面α外，
（2）直线b在平面α内，
（3）两条直线a、b平行
图形语言：
判定定理体现了等价转化思想，将“线面平行问题”转化为“线线平行题”，这也是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题.
应用判定定理判定线面平行时应注意六个字:
（1）面外，（2）面内，（3）平行。
已知：
求证：
证明：
经过a，b确定一个平面
是两个不同的平面
假设 与 有公共点P，则 ，
点P是a与b的交点，这与 矛盾，
a
b
p
A
B
C
D
E
F
【练习】
2.如图，在直四棱柱ABCD— 中，底面ABCD为菱形，E为 中点。求证： //平面ACE
解：设AC与BD交于点O，连接OE,∵底面ABCD是菱形，
∴O为DB中点，又因为E是 的中点，
∴OE// ,OE在平面AEC内，
不在平面AEC内，所以 //平面ACE
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,点E为线段PD的中点。
证明：PB//平面AEC
证明：连接BD,交AC于点O,连接OE,如图所示，∵O是正方形ABCD对角线的交点，∴PB//OE，又OE在平面AEC内，PB不在平面AEC内，∴PB//平面AEC
用判定定理证明直线与平面平行的步骤
（1）找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行
（2）证：证明已知直线与该直线平行
（3）结论：由判定定理得出结论
注：第一步“找”是证题关键，其常用方法由：①利用三角形中位线，梯形中位线性质②利用平行四边形的性质
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
b
α
a
α
b
（2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找出和直线a 平行的一条直线？
如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢？这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件.
假设a与α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3,过直线a,b有唯一的平面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线.
证明：
直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行 线线平行。
符号语言：
图形语言：
例2.如图（1）所示的一块木料中，棱BC平行于面A’C’.
（1）要经过面A’C’内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
解（1）如图（2），在平面A’C’内，过点P作直线EF,使EF//B’C’,并分别交棱A’B’,D’C’于点E,F.连接BE,CF,则EF,BE,CF就是应画的线。
（2）因为棱BC平行于平面A’C’,平面BC’与平面A’C’相交于B’C’,所以BC//B’C’.由（1）知，EF//B’C’,所以EF//BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF//平面AC。显然，BE,CF都与平面AC相交。
线面平行性质定理，它还是一种思想
要证a// ，通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
线//线
线//面
(1)平行公理 (2) 中位线
(3)平行线分线段成比例
(4)相似三角形对应边成比例
(5)平行四边形对边平行
【跟踪训练2】
利用线面平行的性质定理解题的步骤：
在已知条件中有线面平行时，就设法应用该条件，即着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，也就是找已知直线的平行线．有时为了得到交线还需作出辅助平面.
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的
一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
线线平行 线面平行
线面平行 线线平行
线面平行的判定定理
线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
课堂小结

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