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第一章　课时精练7　空间向量运算的坐标表示
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
3 　2 　
　5
2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
1 　 　
　
3.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　)
　 　　
　
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
等腰直角三角形
5.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为(　　)
0 －1
1 －2
6.已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是________.
7.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________.
8.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
9.(15分)若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4).
(1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求实数k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值.
10.(15分)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
二、综合运用
11.已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________.
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________，线段MN的长度为________.
13.(15分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，
C(3，2，－5).
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的为(　　)
已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0
已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O ABC的表面积S＝
课时精练7　空间向量运算的坐标表示
1.A　[∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
∴|a－b＋2c|＝＝3.]
2.D　[ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，
解得k＝.]
3.C　[由题意得AB中点M，
又C(0，1，0)，所以＝，
故M到C的距离为CM＝||
＝＝.]
4.C　[因为＝(3，4，－8)，＝(2，－3，1)，
＝(5，1，－7)，于是·＝10－3－7＝0，而||＝，||＝5，
所以△ABC是直角三角形.]
5.A　[因为＝(m－1，1，m－2n－3)，
＝(2，－2，6)，由题意得∥，
所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.]
6.(－1，3，3)　[设点P(x，y，z)，
则由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
则解得
即P(－1，3，3).]
7.　[∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.]
8.　[由BP⊥平面ABC，
可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，
∴
即
解得x＝，y＝－，z＝4，
∴x＋y＝－＝.]
9.解　∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)，
∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，
a－2b＝(5，－4，－9).
(1)∵(ka＋b)∥(a－2b)，
∴＝＝，解得k＝－.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－2b)，
∴(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0，
解得k＝.
10.解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
INCLUDEPICTURE"XB15.TIF" INCLUDEPICTURE "XB15.TIF" \* MERGEFORMAT
则D(0，0，0)，
E，
C(0，1，0)，
F，
G.
所以＝，
＝，＝，
＝.
(1)证明　因为·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)CE＝||＝＝.
11.∪　[由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，
使a＝λb(λ<0)，
即(5，3，1)＝λ，
所以
所以t＝－，故t的取值范围是∪.]
12.90°　　[以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体的棱长为1，
则A(0，0，0)，M，O，N.
∴＝，＝，
·＝·＝0，
∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°.
又＝，
∴MN＝||＝＝.]
13.解　(1)由已知，得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，
∴||＝＝，
||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
∴cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||||sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)设AB边上的高为CD，则||＝||·sin〈，〉＝3，
即△ABC中AB边上的高为3.
14.BC　[a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，
因为0<θ<π，且θ≠，
所以a·b≠0，故A错误；
如图所示，
INCLUDEPICTURE"B289.TIF" INCLUDEPICTURE "B289.TIF" \* MERGEFORMAT
设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，
由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；
根据“仿射”坐标的定义可得，
a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；
由已知可得三棱锥O ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误.故选BC.]

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