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微专题(四)三角函数解析式中ω的求法
在三角函数的图象与性质中，求ω的值或取值范围是高考命题中的一个热点，由于其有时涉及三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，所以与其有关的问题灵活多样，历来是学习的难点，以下举例说明在不同条件下ω的求法．
类型一　根据函数的周期性求ω
y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．
例1 为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A．98π B．
C． D．100π
答案　B
解析　由题意，至少出现50次最大值，即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥.
结合正弦函数图象，只需在区间[0，1]上至少出现个周期即可，进而求出ω的最小值．
1．(2023·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝Acos(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．8
答案　D
解析　由题可知，是该函数的周期的整数倍，即＝×k，k∈Z，解得ω＝8k，k∈Z，又ω>0，故其最小值为8.
类型二　根据函数的单调性求ω
例2 (2024·辽宁联考)已知函数f(x)＝sin＋1(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　当x∈时，ωx－∈，因为f(x)在上单调递增，所以ω－≤，解得0<ω≤.当x∈时，ωx－∈，因为0<ω≤，所以ωx－∈，因为f(x)在上单调递减，所以ω－≥且ω－≤，解得≤ω≤，又0<ω≤，所以ω的取值范围是.故选A.
已知函数在某区间上的单调性求ω时，由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
2．(2023·安徽阜阳联考)已知函数f(x)＝cos(ω>0)在上单调递增，且当x∈时，f(x)≥0恒成立，则ω的取值范围为________．
答案　∪
解析　由已知，函数f(x)＝cos(ω>0)在上单调递增，所以2k1π－π≤ωx－≤2k1π(k1∈Z)，解得－≤x≤＋(k1∈Z)，由于 (k1∈Z)，所以解得12k1－4≤ω≤8k1＋(k1∈Z)　①，又因为函数f(x)＝cos(ω>0)在x∈上f(x)≥0恒成立，所以2k2π－≤ωx－≤2k2π＋(k2∈Z)，解得－≤x≤＋(k2∈Z)，由于 (k2∈Z)，所以解得8k2－≤ω≤6k2＋(k2∈Z)　②，又因为ω>0，当k1＝k2＝0时，由①②可知
解得ω∈；当k1＝k2＝1时，由①②可知解得ω∈.所以ω的取值范围为∪.
类型三　根据三角函数的对称性求ω
利用y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，利用y＝sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，结合已知的对称轴或对称中心，可求解ω.
例3 已知函数f(x)＝sinx，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到，若直线x＝是函数g(x)图象的一条对称轴，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．15
答案　B
解析　由题意知g(x)＝sin，因为直线x＝是函数g(x)图象的一条对称轴，则ω－＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6＋8k，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为6.
若已知函数的对称性，可将对称轴(对称中心横坐标)代入，建立等量关系，再根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以求得ω的取值．
3．已知函数f(x)＝3tan(ω>0)图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
答案　B
解析　设f(x)的最小正周期为T，由函数f(x)＝3tan(ω>0)图象的两个相邻对称中心之间的距离为，知＝，T＝，又T＝，所以＝，则ω＝4.故选B.
类型四　根据三角函数的最值(极值)求ω
例4 已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　因为f(x)在上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以－>，所以ω>.令t＝ωx＋，当x∈时，t∈，于是f(x)＝2sin在上的最值点个数等价于g(t)＝2sint在上的最值点个数．由ω>知，－ω＋<0，ω＋>0，因为g(t)在上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以
解得<ω≤4.故选B.
若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
4．若函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调，且在存在极值点，则ω的取值范围为________．
答案　
解析　因为函数f(x)在存在极值点，所以ω＋>，即ω>1，当x∈，ωx＋∈，又f(x)在上单调，所以 (k∈N)，即解得＋2k≤ω≤＋k，只能取k＝0，即≤ω≤.综上可知，1<ω≤，即ω的取值范围为.
类型五　根据三角函数的零点求ω
研究函数的零点个数等问题时，往往都是采取整体换元的思想，即通过ωx＋φ的取值情况确定函数零点的情况，因此可根据函数零点情况来确定ω的值或取值范围．
例5 (2024·山西大同统考)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在区间[0，1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由题意f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，则T＝，又f(T)＝，可得cos＝，即cosφ＝，又0<φ<π，所以φ＝，f(x)＝2cos在区间[0，1]上恰有3个零点，当x∈[0，1]时，ωx＋∈，结合函数y＝cosx的图象如图所示，则y＝cosx在原点右侧的零点依次为，，，，…，所以≤ω＋<，解得≤ω<，即ω的取值范围为.故选D.
将函数零点转化成函数与x轴的交点问题，结合图形得出ωx＋φ的范围即可求解．
5．设ω∈R，函数f(x)＝g(x)＝ωx.若f(x)在上单调递增，且函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．∪
答案　B
解析　当x∈时，ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，所以解得≤ω≤，又函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，当x≥0时，f(x)－g(x)＝2sin－ωx，由f(0)－g(0)＝1>0，当ωx＋＝时，ωx＝，此时f(x)－g(x)＝2－<0，结合图象，当x≥0时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点．
所以在x∈(－∞，0)上，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，即方程x2＋4ωx＋＝ωx在x∈(－∞，0)上有两个不同的实数根，即方程3x2＋6ωx＋1＝0在x∈(－∞，0)上有两个不同的实数根，所以解得ω>.综上所述，ω的取值范围是.故选B.
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在三角函数的图象与性质中，求ω的值或取值范围是高考命题中的一个热点，由于其有时涉及三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，所以与其有关的问题灵活多样，历来是学习的难点，以下举例说明在不同条件下ω的求法．
类型一　根据函数的周期性求ω
y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．
例1 为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A．98π B．
C． D．100π
1．(2023·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝Acos(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．8
类型二　根据函数的单调性求ω
例2 (2024·辽宁联考)已知函数f(x)＝sin＋1(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
2．(2023·安徽阜阳联考)已知函数f(x)＝cos(ω>0)在上单调递增，且当x∈时，f(x)≥0恒成立，则ω的取值范围为________．
类型三　根据三角函数的对称性求ω
利用y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，利用y＝sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，结合已知的对称轴或对称中心，可求解ω.
例3 已知函数f(x)＝sinx，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到，若直线x＝是函数g(x)图象的一条对称轴，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．15
3．已知函数f(x)＝3tan(ω>0)图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
类型四　根据三角函数的最值(极值)求ω
例4 已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
4．若函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调，且在存在极值点，则ω的取值范围为________．
类型五　根据三角函数的零点求ω
研究函数的零点个数等问题时，往往都是采取整体换元的思想，即通过ωx＋φ的取值情况确定函数零点的情况，因此可根据函数零点情况来确定ω的值或取值范围．
例5 (2024·山西大同统考)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在区间[0，1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．设ω∈R，函数f(x)＝g(x)＝ωx.若f(x)在上单调递增，且函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．∪
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