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第二节　函数的单调性与最值
课标解读 考向预测
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 2.理解函数单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性. 3.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性. 4.会求一些具体函数的单调区间. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题．预计2025年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档偏上.
【知识梳理】
1．(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0) ＝M
结论 M为最大值 M为最小值
【常用结论】
1．函数单调性的两个等价结论
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，则 x1，x2∈I(x1≠x2)，
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在I上单调递增；
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在I上单调递减．
2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
3．函数最值存在的两个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到；
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(2)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　　)
(3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小题热身
(1)(多选)(人教A必修第一册习题3.2 T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝－x2－2x D．y＝ex
答案　AC
(2)(人教A必修第一册3.2.1 P81练习 T2改编)已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)A. B.
C. D．(－1，1]
答案　B
解析　由题意，得解得－1≤x<.故选B.
(3)(人教A必修第一册3.2.1例5改编)已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，则函数f(x)的最大值为________，最小值为________．
答案　2　
(4)函数f(x)＝lg (9－x2)的定义域为________，其单调递增区间为________．
答案　(－3，3)　(－3，0]
解析　对于函数f(x)＝lg (9－x2)，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，故函数f(x)的定义域为(－3，3)．令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg (g(x))，又函数g(x)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]，所以函数f(x)＝lg (9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]．
【考点探究】
考点一　函数的单调性、单调区间(多考向探究)
考向1判断或证明函数的单调性
例1(1)(多选)(2023·河北石家庄模拟)下列函数在(－∞，0)上单调递减的是(　　)
A．y＝tanx B．y＝ln (－x)
C．y＝ D．y＝－
答案　BC
解析　函数y＝tanx在(－∞，0)上不单调，故A不满足题意；由复合函数的单调性可知函数y＝ln (－x)在(－∞，0)上单调递减，故B满足题意；函数y＝＝在(－∞，0)上单调递减，故C满足题意；函数y＝－在(－∞，0)上单调递增，故D不满足题意．故选BC.
(2)判断函数f(x)＝在(－1，1)上的单调性，并用定义证明．
解　函数f(x)在(－1，1)上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈(－1，1)且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝，
因为－1所以x1－x2<0，－1所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
【通性通法】
利用定义证明或判断函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般写成几个因式乘积的形式．
【巩固迁移】
1．(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝3x－3－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋ D．y＝
答案　AC
解析　∵y＝3x与y＝－3－x为R上的增函数，∴y＝3x－3－x为R上的增函数，故A满足题意；由y＝|x2－2x|的图象知，B不满足题意；对于C，∵y＝x＋＝x－1＋＋1，∴由对勾函数的性质知，y＝x＋在(0，＋∞)上为增函数，故C满足题意；y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，D不满足题意．故选AC.
2．(2024·广东揭阳高三摸底)用定义证明函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上单调递增．
证明　设0考向2求函数的单调区间
例2(1)(2023·四川资阳期末)函数f(x)＝－x的单调递增区间为(　　)
A. B．(0，1)
C. D．(1，＋∞)
答案　A
解析　令t＝，显然t＝在[0，＋∞)上单调递增．又y＝t－t2＝－＋在上单调递增，由0≤≤得0≤x≤，所以f(x)的单调递增区间是.故选A.
(2)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
答案　[0，1)
解析　由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1)．
【通性通法】
(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方法：①定义法；②导数法；③图象法；④性质法．
(2)求复合函数y＝f(g(x))的单调区间，一要注意先确定函数的定义域，二要利用外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，判断的依据是“同增异减”．
注意：单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示，当函数有多个不连续的单调区间时，不能用符号“∪”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
【巩固迁移】
3．设函数f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(1，4)
答案　B
解析　g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，由－x2＋2x＋8>0得－24．(2024·福建厦门外国语学校高三月考)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则函数f(x)的单调递增区间为________．
答案　[－1，1]
解析　因为函数f(x)＝－x|x|＋2x＝作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，1]．
考点二　函数单调性的应用(多考向探究)
考向1利用函数的单调性比较大小
例3(2023·重庆模拟)设函数f(x)＝
若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，则(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)
答案　D
解析　显然f(x)在R上单调递减，又因为30.2>30＝1，即b>1，0＝ln 1a>c，所以f(b)【通性通法】
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
【巩固迁移】
5．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案　D
解析　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，因为1<2<f>f(e)，即b>a>c.故选D.
考向2利用函数的单调性解不等式
例4已知函数f(x)为定义在R上的函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0的解集为(　　)
A．[－2，4] B．[0，6]
C．[2，4] D．[－4，6]
答案　B
解析　由函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，可得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，因为f(－1)＝0，所以f(5)＝f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0，即－1≤x－1≤5，解得0≤x≤6，所以不等式f(x－1)≥0的解集为[0，6]．故选B.
【通性通法】
根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
【巩固迁移】
6．(2024·江苏泰州摸底)设定义在R上的函数f(x)满足：当x12x的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　由2x1f(x2)<2x2f(x1)，得<，令g(x)＝，可知当x12x >1＝，即g(x)>g(1)，所以由单调性解得x<1.故选A.
考向3利用函数的单调性求参数的取值范围
例5(2023·江苏镇江期中)若函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(1，2)
C．[2，6) D.
答案　D
解析　根据题意知f(x)是R上的增函数，
则解得2≤a≤.故选D.
【通性通法】
利用单调性求参数的范围(或值)的策略
【巩固迁移】
7．若函数f(x)＝－x2＋4ax在[1，3]上不单调，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　因为函数f(x)在[1，3]上不单调，所以1<2a<3，得8．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析　函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
考点三　函数的最值、值域问题
例6(1)当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　B
解析　由y＝，可得y＝－，因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，即≤y≤3.所以所求函数的最小值为.故选B.
(2)函数f(x)＝x＋的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，1]
答案　C
解析　令＝t≥0，则x＝，原函数即为g(t)＝－t2＋t＋(t≥0)，可知g(t)max＝g(1)＝－×12＋1＋＝2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2]．故选C.
(3)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
答案　1
解析　当x∈(－∞，1]时，f(x)＝ex－1单调递增，f(x)≤f(1)＝e1－1＝1；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝－x＋1单调递减，f(x)<－1＋1＝1.所以f(x)的最大值为1.
【通性通法】
求函数最值(或值域)的几种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(或值域)．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值(或值域)．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(或值域)．
(4)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的最值(或值域)常用分离常数法求解．
(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(或值域)．
(6)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定函数的最值(或值域)．
【巩固迁移】
9．(2023·山东烟台高三专题检测)已知f(x)＝3－
2|x|，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝
则F(x)的最值情况是(　　)
A．最大值为3，最小值为－1
B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．无最大值，最小值为－1
答案　B
解析　根据已知条件，可以求出F(x)＝
如图所示，F(x)在A处取得最大值，没有最小值．由F(x)的解析式，得xA＝2－，所以yA＝7－2.所以F(x)有最大值7－2，无最小值．故选B.
10．函数y＝的最大值为________．
答案　
解析　令＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝＝，设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(当x＝0时取等号)，即y的最大值为.
11．函数y＝＋的值域为________．
答案　[，2]
解析　由得3≤x≤5，则y2＝2＋2＝2＋2，3≤x≤5，又－(x－4)2＋1∈[0，1]，则2∈[0，2]，∴2≤y2≤4，又y≥0，∴≤y≤2，故函数的值域为[，2]．
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第二节　函数的单调性与最值
课标解读 考向预测
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 2.理解函数单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性. 3.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性. 4.会求一些具体函数的单调区间. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题．预计2025年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档偏上.
【知识梳理】
1．(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0) ＝M
结论 M为最大值 M为最小值
【常用结论】
1．函数单调性的两个等价结论
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，则 x1，x2∈I(x1≠x2)，
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在I上单调递增；
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在I上单调递减．
2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
3．函数最值存在的两个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到；
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(2)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　　)
(3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(　　)
2．小题热身
(1)(多选)(人教A必修第一册习题3.2 T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝－x2－2x D．y＝ex
(2)(人教A必修第一册3.2.1 P81练习 T2改编)已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)A. B.
C. D．(－1，1]
(3)(人教A必修第一册3.2.1例5改编)已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，则函数f(x)的最大值为________，最小值为________．
(4)函数f(x)＝lg (9－x2)的定义域为________，其单调递增区间为________．
【考点探究】
考点一　函数的单调性、单调区间(多考向探究)
考向1判断或证明函数的单调性
例1(1)(多选)(2023·河北石家庄模拟)下列函数在(－∞，0)上单调递减的是(　　)
A．y＝tanx B．y＝ln (－x)
C．y＝ D．y＝－
(2)判断函数f(x)＝在(－1，1)上的单调性，并用定义证明．
解　函数f(x)在(－1，1)上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈(－1，1)且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝，
因为－1所以x1－x2<0，－1所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
【通性通法】
利用定义证明或判断函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般写成几个因式乘积的形式．
【巩固迁移】
1．(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝3x－3－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋ D．y＝
2．(2024·广东揭阳高三摸底)用定义证明函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上单调递增．
考向2求函数的单调区间
例2(1)(2023·四川资阳期末)函数f(x)＝－x的单调递增区间为(　　)
A. B．(0，1)
C. D．(1，＋∞)
(2)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
【通性通法】
(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方法：①定义法；②导数法；③图象法；④性质法．
(2)求复合函数y＝f(g(x))的单调区间，一要注意先确定函数的定义域，二要利用外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，判断的依据是“同增异减”．
注意：单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示，当函数有多个不连续的单调区间时，不能用符号“∪”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
【巩固迁移】
3．设函数f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(1，4)
4．(2024·福建厦门外国语学校高三月考)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则函数f(x)的单调递增区间为________．
考点二　函数单调性的应用(多考向探究)
考向1利用函数的单调性比较大小
例3(2023·重庆模拟)设函数f(x)＝
若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，则(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)
【通性通法】
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
【巩固迁移】
5．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
考向2利用函数的单调性解不等式
例4已知函数f(x)为定义在R上的函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0的解集为(　　)
A．[－2，4] B．[0，6]
C．[2，4] D．[－4，6]
【通性通法】
根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
【巩固迁移】
6．(2024·江苏泰州摸底)设定义在R上的函数f(x)满足：当x12x的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
考向3利用函数的单调性求参数的取值范围
例5(2023·江苏镇江期中)若函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(1，2)
C．[2，6) D.
【通性通法】
利用单调性求参数的范围(或值)的策略
【巩固迁移】
7．若函数f(x)＝－x2＋4ax在[1，3]上不单调，则实数a的取值范围是________．
8．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
考点三　函数的最值、值域问题
例6(1)当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为(　　)
A. B.
C．2 D．3
(2)函数f(x)＝x＋的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，1]
(3)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
【通性通法】
求函数最值(或值域)的几种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(或值域)．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值(或值域)．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(或值域)．
(4)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的最值(或值域)常用分离常数法求解．
(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(或值域)．
(6)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定函数的最值(或值域)．
【巩固迁移】
9．(2023·山东烟台高三专题检测)已知f(x)＝3－
2|x|，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝
则F(x)的最值情况是(　　)
A．最大值为3，最小值为－1
B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．无最大值，最小值为－1
10．函数y＝的最大值为________．
11．函数y＝＋的值域为________．
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则不等式f(3x－1)>f(x＋5)的解集为(　　)
A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
2．函数y＝的值域为(　　)
A．(0，2) B．[2，＋∞)
C．(2，3) D．[1，2]
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－3]，[0，3] B．[－3，0]，[3，＋∞)
C．(－∞，－5)，[0，1) D．(－1，0]，(5，＋∞)
4．(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝
C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1|
5．(2024·河南信阳高三期末)设a＞0，b＞0，若a2＋2a＝b2＋3b，则(　　)
A．a＜b B．a＞b
C．2a＞3b D．3a＞4b
6．(2023·河南郑州四中高三二调)已知函数f(x)＝若存在实数x0，使得对任意的实数x都有f(x)≤f(x0)成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)
7．(2024·辽宁沈阳二中高三期中)函数f(x)＝32x－4－2×3x－2的单调递增区间为(　　)
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[－2，＋∞)
8．已知函数f(x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
二、多项选择题
9．(2024·湖北荆州石首期中)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的单调递增区间是[－1，1]
B．f(x)的单调递减区间是[1，＋∞)
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)没有最小值
10．函数f(x)＝在区间(b，＋∞)上单调递增，则下列结论正确的是(　　)
A．a>－2 B．b>－1
C．b≥－1 D．a<－2
11．(2023·山东烟台检测)已知函数f(x)的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝x＋
三、填空题
12．(2024·福建龙岩摸底)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________．
①定义域为R；②值域为(－∞，1)；③对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
13．(2024·辽宁沈阳高三模拟)若函数f(x)＝ln (x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
14.，，的大小关系为________．
【B组 素养提升】
15．(2024·吉林长春吉大附中模拟)定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1，x2(x1≠x2)恒有x1f(x1)－x1f(x2)－x2f(x1)＋x2f(x2)>0，若a＝f(0)，b＝f(1)，c＝f(2)，则(　　)
A．cC．c16．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，若af(c)>f(b)，则下列结论错误的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．a＋c<1
17．(多选)已知函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m，n] D使得：
①f(x)在[m，n]上是单调函数；
②f(x)在[m，n]上的值域是[2m，2n]，则称区间[m，n]为函数f(x)的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
18．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
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