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第三节　函数的奇偶性与周期性
课标解读 考向预测
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 2.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是综合利用函数的性质解决有关问题．预计2025年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性等相结合来综合考查，以多选题的形式呈现.
【知识梳理】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论】
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性；
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为常数，a≠b)：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；
(4)若f(x＋a)＝(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(5)若f(x＋a)＝－(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(6)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；
(7)若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；
(8)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|.
3．函数图象对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称；
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　)
(2)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　　)
(3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(多选)(人教A必修第一册3.2.2例6改编)下列给出的函数是奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝x3＋1 D．y＝sinx
答案　ABD
(2)已知定义域是R的函数f(x)满足： x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2027)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－3
答案　B
解析　因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故选B.
(3)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________．
答案　－
(4)(北师大版必修第二册习题1.1 T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________．
答案　－1
解析　因为f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
【考点探究】
考点一　函数的奇偶性(多考向探究)
考向1函数奇偶性的判断
例1判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝(x＋1)；
(4)f(x)＝
解　(1)由得x2＝3，
解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)由得－1∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
【通性通法】
1．判断函数奇偶性的方法
2．一些重要类型的奇偶函数模型
(1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数．
(2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(3)函数f(x)＝(a>0且a≠1)是奇函数．
(4)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数．
(5)函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．
【巩固迁移】
1．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案　B
解析　解法一：因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.
解法二：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称．故选B.
考向2函数奇偶性的应用
例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．x－1 B．x＋1
C．－x－1 D．－x＋1
答案　A
解析　当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故选A.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
答案　B
解析　解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝xln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B.
解法二：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，关于原点对称，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B.
【通性通法】
应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值，或得到方程(组)，进而得出参数的值．
【巩固迁移】
2．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________．
答案　－1
解析　∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.
3．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
答案　－　ln 2
解析　因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以＝－1，解得a＝－，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2，即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．
考点二　函数的周期性
例3已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2024)＝(　　)
A．1 B．
C．13 D．
答案　B
解析　∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2024)＝f(4)＝＝.故选B.
【通性通法】
根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期的运用．
【巩固迁移】
4．(2024·四川绵阳高三阶段考试)若函数f(x)＝则f(25)＝________．
答案　－1
解析　当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
考点三　函数图象的对称性
例4(2024·乌鲁木齐高三模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n的图象关于直线x＝－1对称，则m＋n＝(　　)
A．ln － B．ln 5－
C．ln － D．ln 3－
答案　B
解析　由题意知x≠，且≠0.因为函数f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n的图象关于直线x＝－1对称，则－是方程＝0的根，故＝0，解得m＝－，则f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n.又由f(0)＝f(－2)，得ln ＋n＝－ln －n，解得n＝ln 5.故f(x)＝(x＋1)·ln ＋(x＋1)ln 5，即f(x)＝(x＋1)·ln ，函数f(x)的定义域为，且f(－2－x)＝(－x－1)ln ＝(x＋1)ln ＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，满足题意．则m＋n＝ln 5－.故选B.
【通性通法】
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心．
(2)解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或求解参数问题．
【巩固迁移】
5．(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　)
A．0 B.m
C.2m D.4m
答案　B
解析　∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，∴xi＝0，yi＝×2＝m，∴ (xi＋yi)＝0＋m＝m.
考点四　函数性质的综合应用(多考向探究)
考向1函数的奇偶性与单调性的综合
例5(2023·山东鄄城第一中学高三三模)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为(　　)
A．(－2，4] B．(－3，5]
C. D．(－2，2]
答案　C
解析　因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以
解得所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．由y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，得f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等价于f(2x＋1)>f(－4)，所以解得－【通性通法】
(1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．
(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解．
【巩固迁移】
6．(2024·福建师范大学附属中学高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增．设a＝f(log45)，b＝f，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．a答案　A
解析　依题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为b＝f＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝＝<＝，log43>log4＝，log45>1>log43>>0.20.5＞0，所以a考向2函数的奇偶性与周期性的综合
例6(2024·河北衡水中学高三模拟)已知y＝f(x)为R上的奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2025)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　C
解析　∵f(x)为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故选C.
【通性通法】
综合应用奇偶性与周期性解题的技巧
综合应用奇偶性与周期性主要是解决求值问题，一般策略如下：
(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；
(2)利用函数的周期性将自变量的绝对值较大的函数值转化为自变量的绝对值较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；
(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值．
【巩固迁移】
7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　)
A．－3 B．－2
C．0 D．1
答案　A
解析　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.
考向3函数的奇偶性、单调性、对称性与周期性的综合
例7定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(　　)
A．f(11)B．f(21)C．f(11)D．f(21)答案　A
解析　∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)【通性通法】
综合应用函数性质的解题技巧
(1)根据奇偶性、对称性推得周期性．
(2)利用周期性转化自变量所在的区间．
(3)利用单调性解决相关问题．
【巩固迁移】
8．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下列关于f(x)的判断正确的是(　　)
A．f(0)是函数的最小值
B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．f(x)在[2，4]上单调递增
D．f(x)的图象关于直线x＝2对称
答案　ABD
解析　对于A，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴f(x)在[0，2]上单调递增，∴f(0)是函数的最小值，A正确；对于B，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，得f(x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；对于C，∵f(x)在[－2，0]上单调递减，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2，4]上单调递减，C错误；对于D，∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确．故选ABD.
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第三节　函数的奇偶性与周期性
课标解读 考向预测
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 2.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是综合利用函数的性质解决有关问题．预计2025年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性等相结合来综合考查，以多选题的形式呈现.
【知识梳理】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论】
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性；
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为常数，a≠b)：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；
(4)若f(x＋a)＝(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(5)若f(x＋a)＝－(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
(6)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；
(7)若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；
(8)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|.
3．函数图象对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称；
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　)
(2)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　　)
(3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　)
2．小题热身
(1)(多选)(人教A必修第一册3.2.2例6改编)下列给出的函数是奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝x3＋1 D．y＝sinx
(2)已知定义域是R的函数f(x)满足： x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2027)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－3
(3)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________．
(4)(北师大版必修第二册习题1.1 T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________．
【考点探究】
考点一　函数的奇偶性(多考向探究)
考向1函数奇偶性的判断
例1判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝(x＋1)；
(4)f(x)＝
【通性通法】
1．判断函数奇偶性的方法
2．一些重要类型的奇偶函数模型
(1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数．
(2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(3)函数f(x)＝(a>0且a≠1)是奇函数．
(4)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数．
(5)函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．
【巩固迁移】
1．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
考向2函数奇偶性的应用
例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．x－1 B．x＋1
C．－x－1 D．－x＋1
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
【通性通法】
应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值，或得到方程(组)，进而得出参数的值．
【巩固迁移】
2．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________．
3．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
考点二　函数的周期性
例3已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2024)＝(　　)
A．1 B．
C．13 D．
【通性通法】
根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期的运用．
【巩固迁移】
4．(2024·四川绵阳高三阶段考试)若函数f(x)＝则f(25)＝________．
考点三　函数图象的对称性
例4(2024·乌鲁木齐高三模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln ＋nx＋n的图象关于直线x＝－1对称，则m＋n＝(　　)
A．ln － B．ln 5－
C．ln － D．ln 3－
【通性通法】
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心．
(2)解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或求解参数问题．
【巩固迁移】
5．(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　)
A．0 B.m
C.2m D.4m
考点四　函数性质的综合应用(多考向探究)
考向1函数的奇偶性与单调性的综合
例5(2023·山东鄄城第一中学高三三模)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为(　　)
A．(－2，4] B．(－3，5]
C. D．(－2，2]
【通性通法】
(1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．
(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解．
【巩固迁移】
6．(2024·福建师范大学附属中学高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增．设a＝f(log45)，b＝f，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．a考向2函数的奇偶性与周期性的综合
例6(2024·河北衡水中学高三模拟)已知y＝f(x)为R上的奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2025)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【通性通法】
综合应用奇偶性与周期性解题的技巧
综合应用奇偶性与周期性主要是解决求值问题，一般策略如下：
(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；
(2)利用函数的周期性将自变量的绝对值较大的函数值转化为自变量的绝对值较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；
(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值．
【巩固迁移】
7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　)
A．－3 B．－2
C．0 D．1
考向3函数的奇偶性、单调性、对称性与周期性的综合
例7定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(　　)
A．f(11)B．f(21)C．f(11)D．f(21)【通性通法】
综合应用函数性质的解题技巧
(1)根据奇偶性、对称性推得周期性．
(2)利用周期性转化自变量所在的区间．
(3)利用单调性解决相关问题．
【巩固迁移】
8．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下列关于f(x)的判断正确的是(　　)
A．f(0)是函数的最小值
B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．f(x)在[2，4]上单调递增
D．f(x)的图象关于直线x＝2对称
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上(　　)
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递减且最小值为－5
C．单调递增且最大值为－5
D．单调递减且最大值为－5
2．(2024·山东济南一中摸底)设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　)
A．fB．f(2)C．f(2)D．f(－1)3．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．(2024·辽宁沈阳高三模拟)已知函数f(x)＝(x－1)3，则下列函数是奇函数的是(　　)
A．f(x)＋1 B．f(x)－1
C．f(x＋1) D．f(x－1)
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列函数是周期函数的是(　　)
A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋x
C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x
6．下列函数是偶函数的是(　　)
A．g(x)＝sinx B．g(x)＝x2＋2x
C．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，则不等式f(x2)≥4f(x)的解集为(　　)
A．(－∞，0]∪[4，＋∞)
B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．[0，2]
8．(2024·福建师范大学附属中学高三模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x－1)的图象关于(1，0)中心对称，f(x＋1)是偶函数且f＝1.则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的周期为2
B．f(x)为偶函数
C．f(x－2)是奇函数
D．f＝1
二、多项选择题
9．若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是(　　)
A．|f(x)|一定是偶函数
B．f(x)f(－x)一定是偶函数
C．f(x)f(－x)≥0
D．f(－x)＋|f(x)|＝0
10．已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　)
A．f(3)＝0
B．f(3)＝f(5)
C．f(x＋3)＝f(x－1)
D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1
三、填空题
11．(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________．
12．已知函数f(x)满足 x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2＋mx，若f＝，则m＝________．
13．已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________．
14．(2024·浙江绍兴上虞区高三适应性考试)已知函数y＝f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(－x)＝2，则f(2022)＋f(2024)＝________．
15．(2023·河北石家庄高三三模)已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝－f(x)；② x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，>0，则函数f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝
C．f(x)＝sin4x D．f(x)＝x2
16．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于(2，0)对称
C．f(x)的最小正周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
17．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则(　　)
A．f＝0
B．f＝－2
C．函数f是偶函数
D．函数f是减函数
18．(2024·湖北荆宜三校高三联考)设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则g(k)＝________．
19．(2024·山东德州高三期末)函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)当x∈[1，2]时，求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)的最大值为1，当x∈[－2，2]时，求不等式f(x)>的解集．
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