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第四节　幂函数与二次函数
课标解读 考向预测
1.通过具体实例，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度．预计2025年高考对于幂函数的考查最多出一道选择题，以幂函数的图象和性质应用为主．对于二次函数的考查一般与其他知识综合，题型一般为选择题、填空题，中档难度.
【知识梳理】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α＞0时，幂函数的图象都过点(0，0)和(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－x是幂函数．(　　)
(2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　)
(3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　)
2．小题热身
(1)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　)
A．64 B．4
C. D.
(2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　)
(3)已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________．
(4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
【考点探究】
考点一　幂函数的图象与性质
例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1C．－1(2)(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．
【通性通法】
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．
【巩固迁移】
1．(2023·皖淮联考)已知a＝2ln 2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
2．(2023·江苏南京高三二模)幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)考点二　二次函数的解析式
例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________．
【通性通法】
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
【巩固迁移】
3．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3， x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________．
考点三　二次函数的图象与性质(多考向探究)
考向1二次函数的图象
例3(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
【通性通法】
1．识别二次函数图象应学会“三看”
2．解决二次函数图象问题的基本方法
(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．
(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
【巩固迁移】
4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
考向2二次函数的单调性
例4若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
【通性通法】
解决二次函数单调性问题的基本方法
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A ，即区间A一定在函数图象的对称轴的左侧(右侧)．
【巩固迁移】
5．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－3，0) B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
考向3二次函数的最值
例5已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________．
【通性通法】
求二次函数在闭区间上最值的类型及策略
【巩固迁移】
6．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是(　　)
A．y＝x3 B．y＝x2
C．y＝x D．y＝x
2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，则(　　)
A． x∈(0，1)，都有f(x)>0
B． x∈(0，1)，都有f(x)<0
C． x∈(0，1)，使得f(x)＝0
D． x∈(0，1)，使得f(x)>0
4．(2024·甘肃武威十八中一诊)若函数f(x)＝ax2＋2x－1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．(2024·江苏南京高三摸底)已知a＝2，b＝4，c＝25，d＝6，则(　　)
A．bC．c6．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
7．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
8．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　)
A．[－，] B．[1，]
C．[2，3] D．[1，2]
二、多项选择题
9.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
10．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的是(　　)
A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能
三、填空题
11．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝________．
12．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
13．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．
14．(2024·浙江台州模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是________．
四、解答题
15．(2024·福建百校高三联考)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是减函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若(5－a)>(2a－1)，求实数a的取值范围．
【B组 素养提升】
16．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________．
17．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－3t，对任意x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则t的取值范围是________．
18．(2024·福建福州高三模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
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第四节　幂函数与二次函数
课标解读 考向预测
1.通过具体实例，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度．预计2025年高考对于幂函数的考查最多出一道选择题，以幂函数的图象和性质应用为主．对于二次函数的考查一般与其他知识综合，题型一般为选择题、填空题，中档难度.
【知识梳理】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α＞0时，幂函数的图象都过点(0，0)和(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－x是幂函数．(　　)
(2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　)
(3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　)
A．64 B．4
C. D.
答案　D
(2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　)
答案　C
解析　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－<0，且过原点．故选C.
(3)已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________．
答案　1
解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1.
(4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
答案　c解析　由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c【考点探究】
考点一　幂函数的图象与性质
例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1C．－1答案　D
解析　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0(2)(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．
答案　3
解析　因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，所以由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3.
【通性通法】
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．
【巩固迁移】
1．(2023·皖淮联考)已知a＝2ln 2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案　B
解析　因为2ln 2＝ln 4>ln e＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B.
2．(2023·江苏南京高三二模)幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)答案　x (答案不唯一)
解析　取f(x)＝x，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)＝x＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2＝，满足f(－1)考点二　二次函数的解析式
例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________．
答案　－4x2＋4x＋7
解析　解法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝＝，∴m＝.又函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三(利用“两根式”)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4.∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【通性通法】
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
【巩固迁移】
3．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3， x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________．
答案　x2－2x＋3
解析　由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
考点三　二次函数的图象与性质(多考向探究)
考向1二次函数的图象
例3(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
答案　AD
解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；因为2a－b＝0，即b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD.
【通性通法】
1．识别二次函数图象应学会“三看”
2．解决二次函数图象问题的基本方法
(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．
(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
【巩固迁移】
4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
答案　D
解析　因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于A，a<0，b<0，c<0，不符合题意；对于B，a<0，b>0，c>0，不符合题意；对于C，a>0，b>0，c<0，不符合题意．故选D.
考向2二次函数的单调性
例4若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
答案　B
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1，2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x>0时，f(x)＝x2＋ax＋2，图象的对称轴为直线x＝－，∴2≤－≤3，解得－6≤a≤－4.故选B.
【通性通法】
解决二次函数单调性问题的基本方法
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A ，即区间A一定在函数图象的对称轴的左侧(右侧)．
【巩固迁移】
5．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－3，0) B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
答案　D
解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0]．故选D.
考向3二次函数的最值
例5已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________．
答案　或－3
解析　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a的值为或－3.
【通性通法】
求二次函数在闭区间上最值的类型及策略
【巩固迁移】
6．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．
答案　7
解析　由题意得且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为直线m＝－，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7.
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