3.6 对数与对数函数--2025年高考数学一轮讲练复习

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3.6 对数与对数函数--2025年高考数学一轮讲练复习

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第六节 对数与对数函数
课标解读 考向预测
1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 对数函数中利用性质比较对数值大小,求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点,题型多以选择题、填空题为主,属于中档题.预计2025年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质,题型为选择题或填空题,难度中档;也可能会以对数或对数函数为载体,结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题,难度较大.
【知识梳理】
1.对数的概念
(1)定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)常用对数和自然对数
①常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg__N.
②自然对数:以e为底的对数叫做自然对数,并把logeN记为ln__N.
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2)loga1=0;
(3)logaa=1;
(4)对数恒等式:alogaN=N;logaab=b(a>0,且a≠1).
3.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
4.换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
5.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
性质 当x=1时,y=0,即图象过定点(1,0)
当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
6.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换.
【常用结论】
1.对数运算的两个重要结论
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)logambn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.
由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.
4.对于函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则必有mn=1.
【诊断自测】
1.概念辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)loga(MN)=logaM+logaN.(  )
(2)logax·logay=loga(x+y).(  )
(3)log2x2=2log2x.(  )
(4)函数y=log2x与y=log的图象重合.(  )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.小题热身
(1)(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设lg 2=a,lg 3=b,则log1210=(  )
A. B.
C.2a+b D.2b+a
答案 A
解析 log1210===.
(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(  )
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
答案 D
(3)已知实数a=log32,b=log2π,c=log2,则(  )
A.aC.c答案 A
(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数y=loga(x-3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是________.
答案 (4,-1)
【考点探究】
考点一 对数的概念与运算
例1(1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是(  )
A.log53×log32×log25
B.lg +lg 5
C.loga2(a>0,且a≠1)
D.eln 3-0.125
答案 AD
解析 对于A,原式=××=1;对于B,原式=lg 2+lg 5=lg (2×5)=;对于C,原式=2loga=2×2=4;对于D,原式=3-8=3-2=1.故选AD.
(2)已知正实数x,y,z满足3x=4y=(2)z,则(  )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
答案 C
解析 令3x=4y=(2)z=a,则x=log3a,y=log4a,z=log2a,故=loga3,=loga4,=loga2,故+=loga12=2loga=.故选C.
【通性通法】
对数运算的一般思路
转化 利用ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)对题目条件进行转化
利用换底公式转化为同底数的对数运算
恒等式 注意loga1=0,logaaN=N,alogaN=N(a>0,且a≠1)的应用
拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式,正用对数的运算法则化简
合并 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
注意:利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.
【巩固迁移】
1.化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(  )
A.1 B.2
C.4 D.6
答案 B
解析 原式==log23×log32=2.故选B.
2.(多选)(2024·江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若10a=4,10b=25,则(  )
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab>(lg 2)2 D.b-a>lg 6
答案 ACD
解析 由10a=4,10b=25,得a=lg 4,b=lg 25,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,故A正确;因为b-a=lg 25-lg 4=lg lg 2·lg 2=(lg 2)2,故C正确;因为b-a=lg 25-lg 4=lg >lg =lg 6,故D正确.故选ACD.
3.(2024·江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳 14含量与树龄之间的函数关系式为k=k0,其中k0为树木最初生长时的碳 14含量,n(单位:年)为树龄,通过测定发现某古树样品中碳 14含量为0.6k0,则该古树的树龄约为________万年.(精确到0.01,lg 3≈0.48,lg 5≈0.70)
答案 0.42
解析 由题意,得0.6k0=k0,即=,两边取对数,得lg =lg ,变形,得n=×5730=×5730,因为lg 3≈0.48,lg 5≈0.70,所以n≈×5730=4202,故该古树的树龄约为0.42万年.
考点二 对数函数的图象及其应用
例2(1)已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示,则函数y=loga(|x|+b)的图象可以是(  )
答案 D
解析 由函数f(x)=ax+b的图象,可知0(2)设x1,x2,x3均为实数,且e-x1=ln x1,e-x2=ln (x2+1),e-x3=lg x3,则(  )
A.x1C.x2答案 D
解析 画出函数y=,y=ln x,y=ln (x+1),y=lg x的图象,如图所示,数形结合,知x2【通性通法】
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
【巩固迁移】
4.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga|x+k|的大致图象是(  )
答案 B
解析 因为函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上是奇函数,所以f(0)=0,所以k=2,经检验,k=2满足题意.又因为f(x)为减函数,所以05.已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足0<a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a2,b]上的最大值为2,则+b=________.
答案 4
解析 ∵f(x)=|log2x|,
∴f(x)的图象如图所示,又f(a)=f(b)且0<a<b,∴0<a<1,b>1且ab=1,∴a2<a,当a2≤x≤b时,由图可知,f(x)max=f(a2)=|log2a2|=-2log2a=2,∴a=,∴b=2,∴+b=4.
考点三 对数函数的性质及其应用(多考向探究)
考向1比较大小问题
例3(1)若a=0.50.3,b=log0.53,c=log0.30.2,则(  )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
答案 D
解析 因为0log0.30.3=1,所以c>a>b.故选D.
(2)若a=log23+log32,b=2,c=+log3π,则(  )
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
答案 B
解析 因为a=log23+log32>2=2,所以a>b.因为f(x)=log2x,g(x)=log3x单调递增,所以c=log2π+log3π>log23+log32,所以c>a.综上,c>a>b.故选B.
【通性通法】
对数值比较大小的四种常见类型
(1)底数为同一常数,可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)底数为同一字母,需对底数进行分类讨论.
(3)底数不同,真数相同,可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.
(4)底数与真数都不同,常借助1,0等中间量进行比较.
【巩固迁移】
6.(多选)(2024·河北尚义高三联考)已知a=log827,b=log916,c=log48,则(  )
A.ac
C.b答案 BCD
解析 因为a=log827=log2333=log23,b=log916=log34,c=log48=,所以==·==·=·>1,又a,b均大于0,所以a>b,故A错误,D正确;因为a=log23>log22==c,所以a>c,故B正确;因为16<33,即4<3,所以b=log916=log34考向2解简单的对数不等式
例4 (1)已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是(  )
A.(1,2)
B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(0,2)
D.(0,1)∪(2,+∞)
答案 D
解析 依题意,f(x)<0等价于log2x(2)不等式log(+1)-log (-1)<-的解集是________.
答案 (1,17+12)
解析 因为log(+1)-log(-1)<-可化为log<- > 1<<3+2,所以x∈(1,17+12),即原不等式的解集为(1,17+12).
【通性通法】
与对数函数有关的不等式的求解策略
【巩固迁移】
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)单调递减,则不等式f(log (2x-5))>f(log38)的解集为________.
答案 ∪
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以可将f(log(2x-5))>f(log38)化为|log(2x-5)|>|log38|,即log3(2x-5)>log38或log3(2x-5)<-log38=log3,即2x-5>8或0<2x-5<,解得x>或<x<.
考向3与对数函数有关的复合函数问题
例5(多选)(2024·广东部分地市高三模拟)已知函数f(x)=ln (x2+x+m)(m∈R),则(  )
A.当m>时,f(x)的定义域为R
B.f(x)一定存在最小值
C.f(x)的图象关于直线x=-对称
D.当m≥1时,f(x)的值域为R
答案 AC
解析 对于A,若m>,则Δ=1-4m<0,则二次函数y=x2+x+m的图象恒在x轴的上方,即x2+x+m>0恒成立,所以f(x)的定义域为R,故A正确;对于B,若m=0,则f(x)=ln (x2+x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞),值域为R,没有最小值,故B错误;对于C,由于函数y=ln 为偶函数,其图象关于y轴对称,将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)=ln =ln (x2+x+m)的图象,所以f(x)图象的对称轴为直线x=-,故C正确;对于D,若m≥1,则y=x2+x+m=+m-≥,故f(x)的值域不是R,故D错误.故选AC.
【通性通法】
解决对数函数综合问题的策略
(1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求,这是解决对数问题的出发点.
(2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形,这是研究性质的重要途径.
(3)注意等价转化思想方法的合理运用,这是解决对数综合问题的关键.
【巩固迁移】
8.已知函数f(x)=lg (x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
答案 D
解析 由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).又函数y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)=lg (x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5.故选D.
9.已知f(x)=1+log3x(1≤x≤9),设函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),则g(x)max-g(x)min=________.
答案 5
解析 由题意得∴1≤x≤3,∴g(x)的定义域为[1,3],g(x)=[f(x)]2+f(x2)=(1+log3x)2+1+log3x2=(log3x)2+4log3x+2,设t=log3x,则0≤t≤1,则y=t2+4t+2=(t+2)2-2在[0,1]上单调递增,∴当t=0,即x=1时,g(x)min=2,当t=1,即x=3时,g(x)max=7,∴g(x)max-g(x)min=5.
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第六节 对数与对数函数
课标解读 考向预测
1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 对数函数中利用性质比较对数值大小,求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点,题型多以选择题、填空题为主,属于中档题.预计2025年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质,题型为选择题或填空题,难度中档;也可能会以对数或对数函数为载体,结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题,难度较大.
【知识梳理】
1.对数的概念
(1)定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)常用对数和自然对数
①常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg__N.
②自然对数:以e为底的对数叫做自然对数,并把logeN记为ln__N.
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2)loga1=0;
(3)logaa=1;
(4)对数恒等式:alogaN=N;logaab=b(a>0,且a≠1).
3.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
4.换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
5.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
性质 当x=1时,y=0,即图象过定点(1,0)
当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
6.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换.
【常用结论】
1.对数运算的两个重要结论
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)logambn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.
由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.
4.对于函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则必有mn=1.
【诊断自测】
1.概念辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)loga(MN)=logaM+logaN.(  )
(2)logax·logay=loga(x+y).(  )
(3)log2x2=2log2x.(  )
(4)函数y=log2x与y=log的图象重合.(  )
2.小题热身
(1)(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设lg 2=a,lg 3=b,则log1210=(  )
A. B.
C.2a+b D.2b+a
(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(  )
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
(3)已知实数a=log32,b=log2π,c=log2,则(  )
A.aC.c(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数y=loga(x-3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是________.
【考点探究】
考点一 对数的概念与运算
例1(1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是(  )
A.log53×log32×log25
B.lg +lg 5
C.loga2(a>0,且a≠1)
D.eln 3-0.125
(2)已知正实数x,y,z满足3x=4y=(2)z,则(  )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
【通性通法】
对数运算的一般思路
转化 利用ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)对题目条件进行转化
利用换底公式转化为同底数的对数运算
恒等式 注意loga1=0,logaaN=N,alogaN=N(a>0,且a≠1)的应用
拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式,正用对数的运算法则化简
合并 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
注意:利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.
【巩固迁移】
1.化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(  )
A.1 B.2
C.4 D.6
2.(多选)(2024·江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若10a=4,10b=25,则(  )
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab>(lg 2)2 D.b-a>lg 6
3.(2024·江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳 14含量与树龄之间的函数关系式为k=k0,其中k0为树木最初生长时的碳 14含量,n(单位:年)为树龄,通过测定发现某古树样品中碳 14含量为0.6k0,则该古树的树龄约为________万年.(精确到0.01,lg 3≈0.48,lg 5≈0.70)
考点二 对数函数的图象及其应用
例2(1)已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示,则函数y=loga(|x|+b)的图象可以是(  )
(2)设x1,x2,x3均为实数,且e-x1=ln x1,e-x2=ln (x2+1),e-x3=lg x3,则(  )
A.x1C.x2【通性通法】
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
【巩固迁移】
4.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga|x+k|的大致图象是(  )
5.已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足0<a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a2,b]上的最大值为2,则+b=________.
考点三 对数函数的性质及其应用(多考向探究)
考向1比较大小问题
例3(1)若a=0.50.3,b=log0.53,c=log0.30.2,则(  )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
(2)若a=log23+log32,b=2,c=+log3π,则(  )
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
【通性通法】
对数值比较大小的四种常见类型
(1)底数为同一常数,可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)底数为同一字母,需对底数进行分类讨论.
(3)底数不同,真数相同,可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.
(4)底数与真数都不同,常借助1,0等中间量进行比较.
【巩固迁移】
6.(多选)(2024·河北尚义高三联考)已知a=log827,b=log916,c=log48,则(  )
A.ac
C.b考向2解简单的对数不等式
例4 (1)已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是(  )
A.(1,2)
B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(0,2)
D.(0,1)∪(2,+∞)
(2)不等式log(+1)-log (-1)<-的解集是________.
【通性通法】
与对数函数有关的不等式的求解策略
【巩固迁移】
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)单调递减,则不等式f(log (2x-5))>f(log38)的解集为________.
考向3与对数函数有关的复合函数问题
例5(多选)(2024·广东部分地市高三模拟)已知函数f(x)=ln (x2+x+m)(m∈R),则(  )
A.当m>时,f(x)的定义域为R
B.f(x)一定存在最小值
C.f(x)的图象关于直线x=-对称
D.当m≥1时,f(x)的值域为R
【通性通法】
解决对数函数综合问题的策略
(1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求,这是解决对数问题的出发点.
(2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形,这是研究性质的重要途径.
(3)注意等价转化思想方法的合理运用,这是解决对数综合问题的关键.
【巩固迁移】
8.已知函数f(x)=lg (x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
9.已知f(x)=1+log3x(1≤x≤9),设函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),则g(x)max-g(x)min=________.
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1.lg 4+2lg 5+log28+8=(  )
A.8 B.9
C.10 D.1
2.函数f(x)=的部分图象大致是(  )
3.(2023·广东三校高三联考(二))若函数f(x)=x3ln (-x)为偶函数,则a=(  )
A. B.
C.1 D.2
4.若f(x)=lg (x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围为(  )
A.[1,2) B.[1,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
5.(2024·湖南名校高三模拟)已知a=log32,b=log53,c=log85,则下列结论正确的是(  )
A.aC.a6.若函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为(  )
A.(0,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.
7.函数f(x)的定义域为D,若满足如下两个条件:①f(x)在D内是单调函数;②存在 D,使得f(x)在上的值域为[m,n],那么就称函数f(x)为“希望函数”.若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0,且a≠1)是“希望函数”,则t的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
8.当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则a的取值范围是(  )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,2] D.
二、多项选择题
9.在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是(  )
10.已知函数f(x)=ln (e2x+1)-x,则(  )
A.f(ln 2)=ln
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln 2
三、填空题
11.(2024·江苏名校高三联考)写出一个同时满足下列性质①②的函数为f(x)=________.
①f(xy)=f(x)+f(y);②f(x)在定义域上单调递增.
12.若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是________.
13.已知f(x)=ln (x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是________.
14.(2024·湖北黄冈中学高三模拟)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,3a+b=18,则+的最大值为________.
四、解答题
15.(2024·山东潍坊高三模拟)定义在(-1,1)上的函数f(x)和g(x),满足f(x)+g(-x)=0,且g(x)=loga,其中a>1.
(1)若f=2,求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)>1的解集为,求m-a的值.
解 (1)由题意知,
f(x)=-g(-x)=loga,
又f=2,所以loga4=2,即a=2.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=log2(-1(2)由f(x)>1,得>a,
由题意知1-x>0,所以1-所以即
所以m-a=-.
16.(2024·山东聊城高三期中)已知函数f(x)=loga(2-ax).
(1)当x∈[0,1]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为增函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解 (1)因为a>0且a≠1,设t(x)=2-ax,
则t(x)=2-ax为减函数,当x∈[0,1]时,t(x)的最小值为2-a,
当x∈[0,1]时,f(x)恒有意义,
即当x∈[0,1]时,2-ax>0恒成立,
所以2-a>0,所以a<2.
又a>0且a≠1,所以实数a的取值范围为(0,1)∪(1,2).
(2)t(x)=2-ax,因为a>0,所以函数t(x)为减函数.
因为f(x)在区间[1,2]上为增函数,
所以y=logat为减函数,
所以0当x∈[1,2]时,f(x)的最大值为
f(2)=loga(2-2a)=1,
所以即a=.
故存在a=,使得函数f(x)在区间[1,2]上为增函数,并且最大值为1.
【B组 素养提升】
17.(多选)已知正实数x,y满足log2x+logy<-,则(  )
A.< B.x3C.ln (y-x+1)>0 D.2x-y<
18.(多选)(2024·福建莆田第二中学高三模拟)下列关系式中正确的是(  )
A.log23>log34 B.2022lg 2023=2023lg 2022
C.2lg 2+2lg 5<2 D.ln 3+>2ln 2+
19.(2024·广东四校高三联考)已知函数f(x)=lg (ax-3)的图象经过定点(2,0),若k为正整数,那么使得不等式2f(x)>lg (kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是________.
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